Bài giảng Toán Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Bài 3: Tích của vectơ với một số - Trường THPT Quất Lâm

 Chương 1: VECTƠ
 Bài 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ
1 ĐỊNH NGHĨA
2 TÍNH CHẤT
3 TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG VÀ TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC 1 ĐỊNH NGHĨA
 Định nghĩa
 Cho số 풌 ≠ và ≠ . Tích của véctơ với số 풌 là một vectơ, kí hiệu 풌 ,
 được xác định như sau:
 + Về hướng: 풌 cùng hướng với véctơ nếu 풌 > 
 풌 ngược hướng với véctơ nếu 풌 < 
 + Về độ dài: 풌 = 풌 .
 * Qui ước: . = ; 풌. = . 1 ĐỊNH NGHĨA
 Ví dụ 1
Cho 퐚 và điểm 퐎 như hình vẽ sau. Xác định hai điểm 퐌 và 퐍 sao cho:
 푴 푶 푵
 a) 퐎퐌 = 퐚;
 3 −ퟒ 
 b) 퐎퐍 = −ퟒ퐚. 
 Bài giải
 − Vẽ d đi qua 푶 và song song với giá của .
 − Do 푶푴 = suy ra 푴 ∈ 풅 sao cho 푶푴 = và 푶푴 cùng hướng với .
 − Do 푶퐍 = −ퟒ suy ra N∈ 풅 sao cho 푶퐍 = ퟒ và 푶퐍 ngược hướng với . 1 ĐỊNH NGHĨA
 Ví dụ 2
Cho tam giác 푪 có trọng tâm 푮 và 푴 là trung điểm 푪. Tìm 풌 trong các
đẳng thức sau:
 ) 푴 = 풌 푮; )푮 = 풌푮푴; )푮푴 = 풌 푴; 풅) 푴 = 풌. 푪 
 Bài giải A
 퐚) 퐕ì 푴 = . 푮 퐯à 푴, 푮 퐜ù퐧퐠 퐡ướ퐧퐠
 푴 = 푮 풌 =
 G
 퐛) 퐕ì 푮 = . 푮푴 퐯à 푮 , 푮푴 퐧퐠ượ퐜 퐡ướ퐧퐠
 푮 = − 푮푴 풌 = − B M C 1 ĐỊNH NGHĨA
 Ví dụ 2
Cho tam giác 푪 có trọng tâm 푮 và 푴 là trung điểm 푪. Tìm 풌 trong các
đẳng thức sau:
 ) 푴 = 풌 푮; )푮 = 풌푮푴; )푮푴 = 풌 푴; 풅) 푴 = 풌. 푪 
 Bài giải A
 퐜) 퐕ì 퐆퐌 = . 퐀퐌 퐯à 퐆퐌, 퐀퐌 퐜ù퐧퐠 퐡ướ퐧퐠
 푮푴 = 푴 풌 =
 G
 퐝) 퐕ì 푴 = . 푪 풗à 푴, 푪 퐧퐠ượ퐜 퐡ướ퐧퐠
 B M C
 푴 = − 푪 풌 = − .
 2 TÍNH CHẤT
 Tính chất Ví dụ 3
 Cho vectơ ≠ , = − , = . Khi
 Với hai vectơ và bất kì, đó, bằng với vectơ nào sau đây?
 với mọi số h và k ta có: A. − . B. C. . D. − .
 풌 + = 풌 + 풌 
 Bài giải
 풉 + 풌 = 풉 + 풌 
 Ta có = = − = − .
 풉 풌 = 풉풌 
 . = , − = − Chọn A. 2 TÍNH CHẤT
 Tính chất Ví dụ 4
 Cho và là hai vectơ đối nhau.
 Với hai vectơ và bất kì,
 Hãy rút gọn 풙 = + − .
 với mọi số h và k ta có:
 풌 + = 풌 + 풌 Bài giải
 풉 + 풌 = 풉 + 풌 Ta có : và là hai vectơ đối nhau
 풉 풌 = 풉풌 nên = − .
 . = , − = − 퐒퐮퐲 퐫퐚: 풙 = + − = − + 
 = − + = + = . 3 TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG VÀ TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC
 a) Cho 푰 là trung điểm của đoạn thẳng , 푴 là điểm bất kì. Ta có:
 푴 + 푴 = 푴푰 ⇔ 푴푰 = 푴 + 푴 
 b) Cho 푮 là trọng tâm của tam giác 푪, 푴 là một điểm bất kì. Ta có:
 푴 + 푴 + 푴푪 = 푴푮 ⇔ 푴푮 = 푴 + 푴 + 푴푪
 3 TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG VÀ TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC
 a) Cho 푰 là trung điểm của đoạn thẳng , 푴 là điểm bất kì. Ta có:
 푴 + 푴 = 푴푰 ⇔ 푴푰 = 푴 + 푴 
 b) Cho 푮 là trọng tâm của tam giác 푪, 푴 là một điểm bất kì. Ta có:
 푴 + 푴 + 푴푪 = 푴푮 ⇔ 푴푮 = 푴 + 푴 + 푴푪
 3 TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG VÀ TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC
 Ví dụ 5
 Cho tứ giác 푪푫. Gọi 푴, 푵 lần lượt là trung điểm của 푪, 푫. Chứng minh:
 푫 + 푪 = 푴푵
 Bài giải
 퐓퐚 퐜ó: 푫 + 푪 
 = 푴 + 푴푵 + 푵푫 푪푴 + 푴푵 + 푵 
 +
 = 푴 + 푪푴 + 푴푵 + 푴푵 + 푵푫 + 푵 (
 퐃퐨 푴, 푵 퐥ầ퐧 퐥ượ퐭 퐥à 퐭퐫퐮퐧퐠 đ퐢ể퐦 퐜ủ퐚 푪, 푫
 = 푴푵
 nên 푴 + 푪푴 = và 푵푫 + 푵 =
 .)