Bài giảng Hình học Lớp 11 - Bài 5: Khoảng cách - Trường THPT Đoàn Kết

 Hình học
 Bài 5 KHOẢNG CÁCH
 11
 LỚP
 HÌNH HỌC 11
 Chương 3: QUAN HỆ VUÔNG GÓC
 Bài 5. KHOẢNG CÁCH
 I KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG
 1
 KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, 
 II 2
 GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
 III KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Hình học
 Bài 5 KHOẢNG CÁCH
 11
 Câu hỏi
 Cho hình chóp 푺. 푪푫 có đáy 푪푫 là hình chữ nhật, cạnh bên 
푺 vuông góc với mặt đáy. Gọi 푲 là hình chiếu của lên 푺 . M là điểm bất kỳ 
trên đường thẳng BC (M không trùng với B) và N là điểm bất kì trên mặt phẳng 
(SBC) ( N không trùng với K).
 Chứng minh a) 푲 ⊥ 푺 푪 .
 b) So sánh: AM và AB; AN và AK. 
 Lời giải
a) Ta có: 푺 ⊥ 푪푫 → 푺 ⊥ 퐁퐂 . 
Vì ABCD là hình chữ nhật nên 퐁퐂 ⊥ 퐁 ( )
Từ (1)và (2)→ 푪 ⊥ 퐒퐀퐁 → 푪 ⊥ 푲 (( )
 Ta có 푲 ⊥ 푺 품풕 (4).
Từ (3) và (4)→ 푲 ⊥ (푺퐁퐂)
b) Ta có: Tam giác ABM vuông tại B nên 
 푴 > . Người ta gọi : AB là khoảng cách từ điểm A đến đường 
 푲 ⊥ 푺퐁퐂 → 푲 ⊥ 푲푵 → 푵 > 푲. thẳng BC.
 +AK là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Hình học
 Bài 5 KHOẢNG CÁCH
 11
 Bài 5. KHOẢNG CÁCH
I KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG
 1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng M
 a) Định nghĩa: 풅(푴; 휟) = 푴푯 ⇔ 푴푯 ⊥ 휟(푯 ∈ 휟)
 b) Nhận xét: 푴 ∈ 휟 ⇔ 푴푯 = 
 푴푯 ≤ 푴푲 ∀푲 ∈ 휟
 H K
 2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
 M
 a) Định nghĩa: 풅 푴; 휶 = 푴푯 ⇔ 푴푯 ⊥ 휶 (푯 ∈ 휶 )
 b) Nhận xét: 푴푯 ≤ 푴푲∀푲 ∈ (휶)
 K
 3 Áp dụng H Hình học
 Bài 5 KHOẢNG CÁCH
 11
I
 Ví dụ 1 
 Cho hình chóp 푺. 푪 có SA vuông góc với mặt phẳng 푪 , 휟 푪 là 
 tam giác đều cạnh a, 푺 = . 
 a) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.
 b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng 푺 푪 .
 Lời giải 
a) Gọi 푴 là trung điểm 푪. 푽ì 푪 풍à 풕 품풊á đề풖 풏ê풏 푴 ⊥ 푪( ) S
⇒d(A;BC)=AM= .
 2a
 b) 푺 ⊥ 푪 → 푺 ⊥ 푪 .Từ (1)(2)→ 푪 ⊥ (푺 푴) → (푺 푪) ⊥ (푺 푴) H
 푺 . 푴 푺 . 푴 C
Kẻ 푯 ⊥ 푺푴(푯 ∈ 푺푴) → 풅( ; (푺 푪) = 푯 = = = A
 푺푴 푺 + 푴 
 a M
 B Hình học
 Bài 5 KHOẢNG CÁCH
 11
 II KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, 
 GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
1 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
 Định nghĩa B a
 A
 Cho 퐚//(푷) . Khi đó 풅(퐚; (푷)) = 풅 , 푷 , ∀ ∈ .
 A' B'
 P Hình học
 Bài 5 KHOẢNG CÁCH
 11
 1 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
 Ví dụ 
 Cho hình chóp 푺. 푪푫 có SA vuông góc với mặt phẳng 푪푫 , SA=2a, ABCD là 
 hình vuông cạnh a. Tính khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng 퐒퐀퐁.
 Lời giải
Ta có 푺 ⊥ 푪푫 → 푺 ⊥ 푫 . 
Vì ABCD là hình vuông nên 퐃 ⊥ .
 Từ (1) và (2) suy ra 퐃 ⊥ 푺 .
Ta có 퐂퐃// ⇒ 푪푫//(푺 ) 
⇒d(CD;(SAB))=d(D;(SAB))=DA=a. Hình học
 Bài 5 KHOẢNG CÁCH
 11
 II KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, 
 GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
2 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
 Định nghĩa M
 N
 Cho (푷)//(푸) .Khi đó 풅 (푷); (푸) = 풅 푴; 푸 , ∀푴 ∈ 퐏 . P
 M'
 Q N' Hình học
 Bài 5 KHOẢNG CÁCH
 11
 2 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
 Ví dụ 
 Cho hình lập phương 푪푫. ′ ′푪′푫′ có cạnh bẳng a.
 a)Chứng minh ( ′푫′푫) và ′푪′푪 song song với nhau.
 a)Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( ′푫′푫) và ( ′푪′푪). 
 Lời giải 
a) Ta có 퐀퐀′//(퐁퐁′퐂′퐂) ; 퐀퐃//(퐁퐁′퐂′퐂),
 AA’ và AD cắt nhau tại A, do đó ′푫′푫 // ′푪′푪 .
b) ⊥ 푪, ⊥ ′ nên ⊥ ′푪′푪 .
 Ta có d( ′푫′푫 , ′푪′푪 )=d (퐀, ′푪′푪 )=AB=a. Hình học
 Bài 5 KHOẢNG CÁCH
 11
III KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
 Định nghĩa
 Cho 1hai đường thẳng chéo nhau và . 
 휟 ⊥ ; 휟 ⊥ ; 휟 = 푴 ; 휟 = 푵. M
 a
 ∗ 휟 gọi là đường vuông góc chung của hai 
 đường thẳng chéo nhau , . tại 
 * MN là đoạn vuông góc chung. b
 N
 * Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau a, b 
 là: 풅( , ) = 푴푵 Hình học
 Bài 5 KHOẢNG CÁCH
 11
III KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
 Ví dụ 
 ′ ′ ′
Cho hình lập phương 푪푫. 푪 푫′. Khi đó : D C
1. Với 2 đường thẳng chéo nhau 퐀퐀′, 퐁퐂, ta có: 
 A
 - đường vuông góc chung là: đường thẳng B
 - đoạn vuông góc chung là đoạn thẳng 
 - khoảng cách 풅( ′; 퐁퐂) = D' C'
 A' B'
 2. Em hãy xác định các yếu tố tương tự như trên 
 với các cặp đường thẳng sau đây?
 a) và 푪푪′ b) 푪 và ′