Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương 3: Vecto trong không gian quan hệ vuông góc trong không gian - Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc - Trường THPT Quất Lâm

 §2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Góc giữa hai vectơ trong không gian
Định nghĩa
Trong không gian , cho u và v là hai vectơ khác vectơ- không. 
 Lấy một điểm A bất kỳ, 
 Gọi B và C là hai điểm sao cho u
 AB = u, AC = v. 
 Khi đó góc BAC (0°≤ BAC ≤ 180°) B
 A
 là góc giữa hai vectơ u và v trong C
 không gian, ký hiệu: ( u, v )
 v
 Chú ý : Góc giữa hai vectơ: 0°≤ ≤ 180° Nhận xét:
 (u,, v) = ( v u)
 (u, v) = 00 khi u vaø v cuøng höôùng.
 (u, v) = 1800 khi u vaø v ngöôïc höôùng.
 u
 v Ví dụ 1::Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của 
 AB . Hãy tính góc giữa các cặp véctơ sau:
 ;
 a)(AB , AC ) b)(AB , BC ) c)(CH , AC ) A
 Giải: H
 Do tứ diện đều nên các mặt 
 là tam giác đều, do đó ta có: B
 D
 (AB , AC )== BAC 600
Ta vẽ : BB' = AB C
 B’
(,AB BC )(',= BB BC ) = B ' BC = 1200
 Ta vẽ : CC'= AC
(CH , AC )(= CH , CC ') = HCC '150 = 0 2. Tích vô hướng của hai véctơ trong không gian. 
* Định nghĩa: 
Trong không gian cho hai véctơ và đều khác vectơ –không
Tích vô hướng của hai véctơ u và v là một số thực, 
kí hiệu là uv . được xác định bởi công thức:
 u. v= u . v . c os( u , v )
 Trường hợp u = 0 hoặc v = 0 ta quy ước uv.0= a. b= a . b .cos( a , b)
Nhận xét
 ab.0= ⊥ab
 2 2
 a = a. a .cos00 = a
 ab.
 cos(ab , ) =
 ab. Ví dụ 1::Cho tứ diện đều ABCD có A
H là trung điểm của AB . H
Tính AB.; AC AB.; BC CH. AC
Giải: ; B
 D
Ta có: AB. AC== AB . AC . c os( AB , AC)
 2
 0 a
 ==a. a . c os60 C
 2 B’
 AB. BC== AB . BC . c os( AB , BC)
 a2
 =a. a . c os1200 = -
 2
 CH. AC== CH . AC . c os( CH , AC)
 a3 a22 3æö 3 3 a
 0 ç ÷
 =.ac . os150 = .ç -÷ = -
 2 2èøç 2÷ 4 Ví dụ 2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một 
vuông góc và OA = OB = OC = a. Gọi M là trung điểm của 
cạnh AB. 
a) Tính OA. AC C
b) Tính góc giữa 2 véc tơ OM& AB
Lời giải:
Nhận xét: Vì OA, OB, OC đôi một O B
vuông góc và OA = OB = OC = a nên:
 M
 +)OA . OC = OA . OB = OB . OC = 0 A
 2 2 2
 +) OA = OB = OC = a2
a)OA . AC =−OA.( OC OA ) =OA. OC − OA . OA = 0 − a22 = − a II. Vectơ chỉ phương của đường thẳng: 2a
 1. Định nghĩa a d
Véctơ a khác véctơ – không được d '
gọi là véctơ chỉ phương (VTCP) 
 A
của đường thẳng d nếu giá của
véctơ a song song hoặc trùng với b
đường thẳng d.
 2. Nhận xét:
a) Nếu là VTCP của đường thẳng d thì ka với k≠0 cũng 
là VTCP của d
b) Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác định 
nếu biết một điểm A thuộc d và một VTCP a của nó.
c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng 
là hai đường thẳng phân biệt và có hai VTCP cùng phương. III. Góc giữa hai đường thẳng
1. Định nghĩa b’
 O
 a
 b a’
 Trong không gian cho 
ĐN: Góc giữahai đường2 đường thẳng thẳng a a vàvà b trong không 
gian là góc b,giữa góc 2 đườnggiữa 2 thẳng đường a’ và b’ cùng đi qua 1 
điểm và lầnthẳng lượt songa và songb được với xác a và b.
 định như thế nào?