Bài tập Toán Lớp 10 - Các hệ thức lượng trong tam giác

 §: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG.
 (Ngọn hải đăng Alexandria, Ai Cập)
(Tượng đài Hưng Đạo Đại Vương Trần 
Quốc Tuấn tại Nam Định)
 Có những cách nào để đo chiều cao của tượng đài và ngọn hải đăng?
Làm sao để tính khoảng cách từ một địa Tính bán kính đường tròn để phục chế 
điểm trên bờ sông đến một gốc cây trên những chiếc đĩa cổ bị vỡ?
một cù lao giữa sông ?
 Trang | 1 B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC.
1. ĐỊNH LÍ CÔSIN.
+) HĐ1: Khởi động. GỢI Ý
 r r
HĐ1.1. Cho hai vectơ a,b bất kì có độ 
dài bằng a và b. Hỏi có bao nhiêu mệnh 
đề đúng trong các mệnh đề được cho dưới 
đây? Cả ba mệnh đề đều đúng.
 r 2
(I ) a2 = (a)
 r r r r
(II ) a.b = a.b.cos(a;b) 
 r r 2 r r
(III ) (a - b) = a2 - 2a.b + b2
 uuur uuur 2
HĐ1.2. Với ba điểm A,B,C bất kì. Hãy (AC - AB)
 uuur uuur 2
 uuuur uuur 2 uuur uuur
khai triển AC - AB . 2
 ( ) = AB + AC - 2AB.AC
 Ta có
 uuur 2 uuur uuur 2
 BC 2 = BC = (AC - AB) = 
HĐ1.3. Cho tam giác ABC , biết hai 
cạnh AB = c,AC = b và góc A, hãy uuuur uuur 2 uuur uuur
 = AB 2 + AC - 2AB.AC 
tính BC 2 ?
 2 2
 = AB + AC - 2AB.AC.cosA 
 2 2
 = b c 2bc.cos A 
+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
 Trang | 2 Từ kết quả bài toán 2, ta suy ra định lí sau:
Định lí côsin. Trong tam giác ABC bất kì với BC = a,CA = b,AB = c ta có:
 a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA;
 b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB;
 c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC.
HĐ 2.1: Hãy phát biểu định lý cosin bằng lời? 
HĐ 2.2: Từ công thức của định lý cosin, hãy tìm cosA, cosB, cosC theo a, b, c?
Từ định lý cosin ta suy ra hệ quả sau:
 b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2
 cos A ; cos B ;cosC ;
 2bc 2ac 2ab
Câu hỏi 1. Cho tam giác ABC bất kì với BC = a,CA = b,AB = c. Trong các 
khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. a2 = b2 + c2 + 2bc.cosA. B. a2 = b2 + c2 - 2bc.sinA. 
C. a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA. D. a2 = b2 + c2 + 2bc.sinA. 
Câu hỏi 2. Cho tam giác ABC, trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
 A. BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2AB.AC.sinA 
 B. BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2AB.AC.cosA 
 C. BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2AB.AC.sinA 
 D. BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2AB.AC.cosA
Câu hỏi 3. Cho tam giác MNP, trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
 A. MN 2 = PM 2 + PN 2 - 2PM .PN.cosP 
 B. MP 2 = NM 2 + NP 2 - 2NM .NP.cosN 
 C. MP 2 = MN 2 + PN 2 - 2MN.PN.cosM 
 D. NP 2 = MN 2 + MP 2 - 2MN.MP.cosM
+) HĐ3: Củng cố. GỢI Ý
 Định lý pitago
 HĐ3.1. Khi tam giácABC là tam 
giác vuông, định lý cosin trở thành 
định lý quen thuộc nào ? 
 Trang | 3 HĐ3.2. Cho tam giác ABC có BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2AB.AC.cosA 
AB = 7cm,AC = 8cm và góc 
 Þ BC = 57 cm.
Aµ= 600. Tính độ dài cạnh BC ? 
HĐ3.3. Cho tam giác ABC có AB = 3cm,AC = 5cm và BC = 5cm. Tính 
 cosA = ?
HĐ3.4. Cho tam giác ABC có các cạnh 
 1
BC = 4, AB = 5 và cosB = . Tính độ dài 
 4
đường trung tuyến AM . 
Gợi ý. 
 æ ö2 æ ö
 2 2 çBC ÷ çBC ÷
AM = AB + ç ÷ - 2AB.ç ÷.cosB = 24 Þ AM = 2 6 
 èç 2 ø÷ èç 2 ø÷
HĐ3.5. Cho tam giác ABC có các cạnh
BC = a,CA = b,AB = c .Gọi ma,mb,mc là 
độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ
A,B,C. Tính ma,mb,mc theo a,b,c. 
Gợi ý:
 æ ö2
 2 2 a÷ a
· m = c + ç ÷ - 2.c. .cosB 
 a ç ÷
 èç2ø÷ 2
 a2
= c2 + - ac.cosB (1) 
 4
 2 2 2
 a2 + c2 - b2 2(b + c )- a
· cosB = (2). Từ (1),(2) Þ m2 = . 
 2ac a 4
 2(a2 + c2)- b2 2(a2 + b2)- c2
Tương tự ta có : m2 = ; m2 = .
 b 4 c 4
 Trang | 4 2. ĐỊNH LÍ SIN.
+) HĐ1: Khởi động. GỢI Ý
 Trong tam giác vuông 
 ABC (vuông tại A ), ta 
HĐ1.1. Cho tam giác ABC 
 có:
vuông ở A nội tiếp trong 
đường tròn bán kính R và có ì
 ï a = BC = 2R
BC = a,CA = b,AB = c. · í 1 
 ï sinA = 1 ( )
 Chứng minh hệ thức îï
 a b c
 = = = 2R AC b
 sinA sinB sinC · sinB = = (2) 
 BC 2R
 AB c
 · sinC = = (3)
 BC 2R
 Từ (1), (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.
+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
 Đối với tam giác ABC bất kỳ ta cũng có hệ thức trên. Hệ thức này được gọi là 
định lý sin trong tam giác
Định lí sin. Trong tam giác ABC bất kì với BC = a,CA = b,AB = c và R là 
bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:
 a b c
 = = = 2R
 sinA sinB sinC
Câu hỏi 1. Trong tam giác ABC bất kì với BC = a,CA = b,AB = c và R là 
bán kính đường tròn ngoại tiếp. Khẳng định nào sau đây là sai?
 a b c
A. = B. = 2R 
 sinA sinB cosC
 c.sinA
C. a = D. b = 2R.sinB 
 sinC
Câu hỏi 2. Trong tam giác ABC bất kì với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. 
Khẳng định nào sau đây là đúng?
 AC BC CA AB AC CB
A. = = = 2R B. = = = 2R 
 sinA sinB sinC sinA sinB sinC
 Trang | 5 BC AC AB BC AC AB
C. = = = 2R D. = = = R
 sinA sinB sinC sinA sinB sinC
+) HĐ3: Củng cố. GỢI Ý
 a a
 Ta có: = = 2R
HĐ3.1. Hãy phát biểu định lí sin đối sinA sin 600
với tam giác đều cạnh bằng a ,bán kính 
đường tròn ngoại tiếp bằng R? Từ đó a a
 Þ R = = .
hãy tính R. 0
 2sin 60 3
 BC CA BC
HĐ3.2. Cho tam giác ABC bất kì với · = Þ sinB = 
 4 sinA sinB CA.sinA
BC = 3,CA = 5 và sinA = . Tính 
 5
 BC BC
 sinB,R. · = 2R Þ R = 
 sinA 2sinA
HĐ3.3. Cho tam giác ABC có Tính được µA 1290 
 µ 0 µ 0
B = 20 ,C = 31 và cạnh b = 210cm. 
 Theo định lí sin ta có:
 µ
Tính A, các cạnh còn lại và bán kính R a b c
 = = = 2R 
của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. sinA sinB sinC
 Suy ra :
 bsinA
 a = » 477,2cm. 
 sinB
 bsinC
 c = » 316,2cm.
 sinB
 a
 R = » 307,02cm.
 2sinA
 Trang | 6 3. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC.
+) HĐ1: Khởi động. GỢI Ý
HĐ1.1. Nêu công thức tính diện tích tam 1 1 1
 S = a.h = b.h = c.h 
giác theo một cạnh và chiều cao tương 2 a 2 b 2 c
ứng?
 1 1
 S = AH.BC = AH.a
HĐ1.2. Cho tam giác ABC có 2 2
BC = a,AC = b và góc C. Dựa vào 
công thức tính diện tích đã biết ở HĐ1.1, 
 1
hãy chứng minh S = ab.sinC mà AH = b.sinC 
 2
 1
 Suy ra S = ab.sinC 
 2
 1
 · S = ab.sinC
 2
HĐ1.3. Dựa vào công thức tính diện tích 
 c c
đã xây dựng ở HĐ1.2 và định lí sin, hãy · = 2R Þ sinC = 
 abc sinC 2R
chứng minh S = .
 4R
 abc
 Suy ra S = . 
 4R
HĐ1.3. Gọi (I ;r ) là đường tròn nội tiếp 
tam giác ABC .
a) Tính diện tích tam giác IBC theo r và 
BC = a. 
b) Hãy xây dựng công thức tính diện tích 
tam giác ABC theo r và độ dài các cạnh 
BC = a, CA = b, AB = c. 
+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
 Trang | 7 Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau:
 1 1 1
· S = absinC = bc sinA = ca sinB 
 2 2 2
 abc
· S = ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp).
 4R
· S = pr (p là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp).
· S = p(p - a)(p - b)(p - c) (công thức Hê-rông).
Câu hỏi 1. Cho tam giác ABC bất kì có các cạnh BC = a,CA = b,AB = c . 
Trong các công thức được cho dưới đây, công thức nào là công thức tính diện tích 
tam giác ABC. 
A. S = p(p + a)(p + b)(p + c) B. S = pR 
 abc 1
C. S = D. S = bc.sinA
 4r 2
+) HĐ3: Củng cố. GỢI Ý
 HĐ3.1. Tính diện tích tam giác ABC có 
 1
cạnh a = 2 3, cạnh b = 2 và góc Áp dụng: S = ab.sinC
 2
Cµ= 300. 
HĐ3.2. Hãy sử dụng nhiều cách khác nhau 
để tính diện tích của một tam giác đều có 
cạnh bằng a. 
 a + b + c
 a) Tính p = 
HĐ3.3. Tam giác ABC có các cạnh 2
a = 13m,b = 14m và c = 15m. 
 Áp dụng: 
a) Tính diện tích tam giác ABC. 
 S = p(p - a)(p - b)(p - c)
b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và 
ngoại tiếp tam giác ABC. 4S S
 b) Áp dụng: R = và r = 
 abc p
C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP.
 Trang | 8 1) Tam giác ABC có Aµ= 1200. Tính cạnh BC cho biết cạnh AC = m và 
 AB = n .
 µ 0 0
 2) Cho tam giác ABC biết cạnh a = 137,5cm , góc B = 83 và Cµ= 57 . 
 Tính góc A, bán kính R của đường tròn ngoại tiếp, cạnh b,c của tam giác 
 ABC. 
 3) Tam giác ABC có các cạnh a = 13m,b = 14m và c = 15m. Tính diện tích 
 S và bán kính r của đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. 
 4) Hãy giải bài toán sau bằng nhiều cách khác nhau?
 Cho hình bình hành ABCD có AB = a,BC = b,BD = m và AC = n. 
 Chứng minh rằng m2 + n 2 = 2(a2 + b2).
D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG.
Bài toán 1. Muốn đo chiều cao của 
Tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh 
Thuận, người ta lấy hai điểm A và B 
trên mặt đất có khoảng cách AB = 12m 
cùng thẳng hàng với chân C của tháp 
để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có 
chiều cao h = 1,3m. Gọi D là đỉnh 
tháp và hai điểm A1,B1 cùng thẳng hàng 
với C1 thuộc chiều cao CD của tháp. 
 · 0
Người ta đo được DA1C1 = 49 và 
 · 0
DB1C1 = 35 . Tính chiều cao CD của 
tháp đó.
 Trang | 9 Bài toán 2. Tính khoảng cách từ một 
địa điểm trên bờ sông đến một gốc cây 
trên một cù lao giữa sông.
Để đo khoảng cách từ một điểm A trên 
bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa 
sông, người ta chọn một điểm B cùng 
ở trên bờ với A sao cho từ A và B có 
thể nhìn thấy điểm C. Ta đo được 
khoảng cách AB, góc C·AB và C·BA. 
Chẳng hạn ta đo được 
AB = 40m,C·AB = a = 450,C·BA = b = 700.
 Tính AC = ? 
Bài toán 3. Khi khai quật một ngôi mộ 
cổ, người ta tìm được một mảnh của 1 
chiếc đĩa phẳng hình tròn bị vỡ. Dựa 
vào các tài liệu đã có, các nhà khảo cổ 
đã biết hình vẽ trên phần còn lại của 
chiếc đĩa. Họ muốn làm một chiếc đĩa 
mới phỏng theo chiếc đĩa này. Em hãy 
giúp họ tìm bán kính chiếc đĩa. 
E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG.
 1) Bài tập thực hành: Hãy đo chiều cao của một tượng đài hoặc một tòa tháp 
 ở gần nhà em.
 2)
 Trang | 10