Bài tập Toán Lớp 11 - Chủ đề: Giới hạn - Trường THPT Trực Ninh

 CHUÛ ÑEÀ
 GIÔÙI HAÏN
 Baøi 01
 GIÔÙI HAÏN CUÛA DAÕY SOÁ
I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
 Ta nói dãy số (un ) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn 
 một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
 Kí hiệu: lim un = 0 hay un ® 0 khi n ® + ¥ . 
 n® + ¥
Định nghĩa 2
 Ta nói dãy số (vn ) có giới hạn là a (hay vn dần tới a ) khi n ® + ¥ , nếu 
 lim (vn - a)= 0.
 n® + ¥
 Kí hiệu: lim vn = a hay vn ® a khi n ® + ¥ . 
 n® + ¥
2. Một vài giới hạn đặc biệt 
 1 1
 a) lim = 0; lim = 0 với k nguyên dương;
 n® + ¥ n n® + ¥ nk
 b) lim q n = 0 nếu q < 1; 
 n® + ¥
 c) Nếu un = c ( c là hằng số) thì lim un = lim c = c. 
 n® + ¥ n® + ¥
Chú ý: Từ nay về sau thay cho lim un = a ta viết tắt là lim un = a .
 n® + ¥ 
II – ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
Định lí 1
 a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì 
 · lim(un + vn )= a + b · lim(un - vn )= a- b
 æu ö a
 · lim(u .v )= a.b · limç n ÷= (nếu b ¹ 0 ).
 n n ç ÷
 èvn ø b
 ì lim = ïì
 ï un a ï lim un = a
 b) Nếu íï thì í .
 ï u ³ 0," n ï
 îï n îï a ³ 0
III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
 Cấp số nhân vô hạn (un ) có công bội q , với q < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
 u
 S = u + u + u + ¼ + u + ¼ = 1 (q < 1).
 1 2 3 n 1- q
IV – GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Định nghĩa
 · Ta nói dãy số (un ) có giới hạn là + ¥ khi n ® + ¥ , nếu un có thể lớn hơn một số 
 dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim un = + ¥ hay un ® + ¥ khi n ® + ¥ . 
 · Dãy số (un ) có giới hạn là - ¥ khi n ® + ¥ , nếu lim(- un )= + ¥
 .
 Kí hiệu: lim un = - ¥ hay un ® - ¥ khi n ® + ¥ . 
Nhận xét: un = + ¥ Û lim(- un )= - ¥ . 
2. Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau
 a) lim nk = + ¥ với k nguyên dương; 
 b) lim q n = + ¥ nếu q > 1 .
3. Định lí 2
 un
 a) Nếu lim un = a và limvn = ± ¥ thì lim = 0 .
 vn
 un
 b) Nếu lim un = a > 0 , limvn = 0 và vn > 0," n > 0 thì lim = + ¥ .
 vn
 c) Nếu lim un = + ¥ và lim vn = a > 0 thì lim un .vn = + ¥ .
 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
 Vấn đề 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC
 æsin 5n ö
Câu 1. Kết quả của giới hạn limç - 2÷ bằng:
 èç 3n ø÷
 5
 A. - 2. B. 3. C. 0. D. .
 3
 1
 n - 2 nk cos
 1
Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để lim n = .
 2n 2
 A. 0. B. 1. C. 4. D. Vô số.
 3sin n + 4 cos n
Câu 3. Kết quả của giới hạn lim bằng:
 n + 1
 A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
 æ ncos 2nö
Câu 4. Kết quả của giới hạn limç5- ÷ bằng:
 èç n2 + 1 ø÷
 1
 A. 4. B. . C. 5. D. - 4.
 4
 æ2 np 3 ö
Câu 5. Kết quả của giới hạn limçn sin - 2n ÷ là:
 èç 5 ø÷
 A. - ¥ . B. - 2. C. 0. D. + ¥ .
 æ - 1 n ö
 ç ( ) ÷
Câu 6. Giá trị của giới hạn limç4 + ÷ bằng:
 èç n + 1 ø÷
 A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. n
 (- 1) 1
Câu 7. Cho hai dãy số (u ) và (v ) có u = và v = . Khi đó lim(u + v ) có giá 
 n n n n2 + 1 n n2 + 2 n n
trị bằng: 
 A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.
 - 3
Câu 8. Giá trị của giới hạn lim là:
 4n2 - 2n + 1
 3
 A. - . B. - ¥ . C. 0. D. - 1.
 4
 n + 2n2
Câu 9. Giá trị của giới hạn lim bằng:
 n3 + 3n - 1
 2
 A. 2. B. 1. C. . D. 0.
 3
 3n3 - 2n + 1
Câu 10. Giá trị của giới hạn lim là:
 4n4 + 2n + 1
 2 3
 A. + ¥ . B. 0. C. . D. .
 7 4
 n n + 1
Câu 11. Giá trị của giới hạn lim bằng:
 n2 + 2
 3
 A. . B. 2. C. 1. D. 0.
 2
 1 2 vn
Câu 12. Cho hai dãy số (un ) và (vn ) có un = và vn = . Khi đó lim có giá trị 
 n + 1 n + 2 un
bằng: 
 A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.
 an + 4
Câu 13. Cho dãy số (u ) với u = trong đó a là tham số thực. Để dãy số (u ) có giới 
 n n 5n + 3 n
hạn bằng 2 , giá trị của a là:
 A. a = 10. B. a = 8. C. a = 6. D. a = 4. 
 2n + b
Câu 14. Cho dãy số (u ) với u = trong đó b là tham số thực. Để dãy số (u ) có giới 
 n n 5n + 3 n
hạn hữu hạn, giá trị của b là:
 A. b là một số thực tùy ý. B. b = 2.
 C. không tồn tại b. D. b = 5.
 n2 + n + 5
Câu 15. Tính giới hạn L = lim .
 2n2 + 1
 3 1
 A. L = . B. L = . C. L = 2. D. L = 1.
 2 2
 4n2 + n + 2
Câu 16. Cho dãy số (u ) với u = . Để dãy số đã cho có giới hạn bằng 2 , giá trị 
 n n an2 + 5
của a là:
 A. a = - 4. B. a = 4. C. a = 3. D. a = 2.
 n2 - 3n3
Câu 17. Tính giới hạn L = lim .
 2n3 + 5n - 2
 3 1 1
 A. L = - . B. L = . C. L = . D. L = 0.
 2 5 2 5n2 - 3an4
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để L = lim > 0.
 (1- a)n4 + 2n + 1
 A. a £ 0;a ³ 1. B. 0 1. D. 0 £ a < 1.
 (2n - n3 )(3n2 + 1)
Câu 19. Tính giới hạn L = lim .
 (2n - 1)(n4 - 7)
 3
 A. L = - . B. L = 1. C. L = 3. D. L = + ¥ .
 2
 (n2 + 2n)(2n3 + 1)(4n + 5)
Câu 20. Tính giới hạn L = lim .
 (n4 - 3n - 1)(3n2 - 7)
 8
 A. L = 0. B. L = 1. C. L = . D. L = + ¥ .
 3
 3 n + 1
Câu 21. Tính giới hạn L = lim .
 3 n + 8
 1 1
 A. L = . B. L = 1. C. L = . D. L = + ¥ .
 2 8
 n3 - 2n
Câu 22. Kết quả của giới hạn lim là:
 1- 3n2
 1 2
 A. - . B. + ¥ . C. - ¥ . D. .
 3 3
 2n + 3n3
Câu 23. Kết quả của giới hạn lim là:
 4n2 + 2n + 1
 3 5
 A. . B. + ¥ . C. 0 D. .
 4 7
 3n - n4
Câu 24. Kết quả của giới hạn lim là:
 4n - 5
 3
 A. 0. B. + ¥ . C. - ¥ . D. .
 4
Câu 25. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
 3+ 2n3 2n2 - 3 2n - 3n3 2n2 - 3n4
 A. lim . B. lim . C. lim . D. lim .
 2n2 - 1 - 2n3 - 4 - 2n2 - 1 - 2n4 + n2
 1
Câu 26. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng - ?
 3
 n2 - 2n - n4 + 2n3 - 1 n2 - 3n3 - n2 + 2n - 5
 B. u = . A. u = . C. u = . D. u = .
 n 3n2 + 5 n 3n3 + 2n2 - 1 n 9n3 + n2 - 1 n 3n3 + 4n - 2
Câu 27. Dãy số nào sau đây có giới hạn là + ¥ ? 
 1+ n2 n2 - 2 n2 - 2n 1+ 2n
 A. u = . B. u = . C. u = . D. .
 n 5n + 5 n 5n + 5n3 n 5n + 5n2 5n + 5n2
Câu 28. Dãy số nào sau đây có giới hạn là - ¥ ? 
 1+ 2n n3 + 2n - 1 2n2 - 3n4 n2 - 2n
 A. . B. u = . C. u = . D. u = .
 5n + 5n2 n - n + 2n3 n n2 + 2n3 n 5n + 1
Câu 29. Tính giới hạn L = lim(3n2 + 5n - 3).
 A. L = 3. B. L = - ¥ . C. L = 5. D. L = + ¥ . Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (- 10;10) để 
 L = lim(5n - 3(a2 - 2)n3 )= - ¥ . 
 A. 19. B. 3. C. 5. D. 10.
Câu 31. Tính giới hạn lim(3n4 + 4n2 - n + 1).
 A. L = 7. B. L = - ¥ . C. L = 3. D. L = + ¥ .
 2 n
Câu 32. Cho dãy số (un ) với un = 2 + ( 2) + ...+ ( 2) . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
 2
 A. lim u = - ¥ . B. lim u = .
 n n 1- 2
 C. lim un = + ¥ . D. Không tồn tại lim un .
 1 3 n
 + 1+ + ...+
Câu 33. Giá trị của giới hạn lim 2 2 2 bằng:
 n2 + 1
 1 1 1
 A. . B. 1. C. . D. .
 8 2 4
 æ1 2 n - 1ö
Câu 34. Giá trị của giới hạn limç + + ...+ ÷ bằng:
 èçn2 n2 n2 ø÷
 1 1
 A. 0. B. . C. . D. 1.
 3 2
 æ ö
 ç1+ 3+ 5+ L + (2n + 1)÷
Câu 35. Giá trị của giới hạn limç ÷ bằng:
 èç 3n2 + 4 ø÷
 1 2
 A. 0.B. . C. . D. 1.
 3 3
 æ ö
 ç 1 1 1 ÷
Câu 36. Giá trị của giới hạn limç + + ...+ ÷ là:
 èç1.2 2.3 n(n + 1)ø÷
 1
 A. . B. 1. C. 0. D. - ¥ .
 2
 æ ö
 ç 1 1 1 ÷
Câu 37. Giá trị của giới hạn limç + + ...+ ÷ bằng:
 èç1.3 3.5 (2n - 1)(2n + 1)ø÷
 1 1
 A. . B. . C. 1. D. 2.
 2 4
 é ù
 ê1 1 1 ú
Câu 38. Giá trị của giới hạn lim ê + + ......+ ú bằng:
 ëê1.4 2.5 n(n + 3)ûú
 11 3
 A. . B. 2. C. 1. D. .
 18 2
 12 + 22 + ...+ n2
Câu 39. Giá trị của giới hạn lim bằng:
 n(n2 + 1)
 1 1
 A. 4. B. 1. C. . D. .
 2 3
 ì
 ï 1
 ï un =
 ï 2
Câu 40. Cho dãy số có giới hạn (u ) xác định bởi íï . Tính lim u .
 n ï 1 n
 ï u = , n ³ 1
 ï n+ 1
 îï 2- un 1
 A. lim u = - 1. B. lim u = 0. C. lim u = . D. lim u = 1.
 n n n 2 n
 ïì u1 = 2
 ï
Câu 41. Cho dãy số có giới hạn (un ) xác định bởi í u + 1 . Tính lim un .
 ï n
 ï un+ 1 = , n ³ 1
 îï 2
 A. lim un = 1. B. lim un = 0. C. lim un = 2. D. lim un = + ¥ .
 9n2 - n + 1
Câu 42. Kết quả của giới hạn lim bằng:
 4n - 2
 2 3
 A. . B. . C. 0. D. 3.
 3 4
 - n2 + 2n + 1
Câu 43. Kết quả của giới hạn lim bằng:
 3n4 + 2
 2 1 3 1
 A. - . B. . C. - . D. - .
 3 2 3 2
 2n + 3
Câu 44. Kết quả của giới hạn lim là:
 2n + 5
 5 5
 A. . B. . C. + ¥ . D. 1.
 2 7
 n + 1- 4
Câu 45. Kết quả của giới hạn lim bằng:
 n + 1 + n
 1
 A. 1. B. 0. C. - 1. D. .
 2
 n + n2 + 1 p
Câu 46. Biết rằng lim = a sin + b. Tính S = a3 + b3. 
 n2 - n - 2 4
 A. S = 1. B. S = 8. C. S = 0. D. S = - 1.
 10
Câu 47. Kết quả của giới hạn lim là:
 n4 + n2 + 1
 A. + ¥ . B. 10. C. 0. D. - ¥ .
 2n + 2
Câu 48. Kết quả của giới hạn lim(n + 1) là:
 n4 + n2 - 1
 A. + ¥ . B. 1. C. 0. D. - ¥ .
 3 an3 + 5n2 - 7
Câu 49. Biết rằng lim = b 3 + c với a, b, c là các tham số. Tính giá trị của 
 3n2 - n + 2
 a + c
biểu thức P = . 
 b3
 1 1
 A. P = 3. B. P = . C. P = 2. D. P = .
 3 2
Câu 50. Kết quả của giới hạn lim 5 200- 3n5 + 2n2 là:
 A. + ¥ . B. 1. C. 0. D. - ¥ .
 Vấn đề 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC Câu 51. Giá trị của giới hạn lim( n + 5 - n + 1) bằng:
 A. 0. B. 1. C. 3. D. 5. 
Câu 52. Giá trị của giới hạn lim( n2 - n + 1- n) là:
 1
 A. - . B. 0. C. 1. D. - ¥ . 
 2
Câu 53. Giá trị của giới hạn lim( n2 - 1- 3n2 + 2) là:
 A. - 2. B. 0. C. - ¥ . D. + ¥ . 
Câu 54. Giá trị của giới hạn lim( n2 + 2n - n2 - 2n) là:
 A. 1. B. 2. C. 4. D. + ¥ . 
Câu 55. Có bao nhiêu giá trị của a để lim( n2 + a2n - n2 + (a + 2)n + 1)= 0.
 A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. 
Câu 56. Giá trị của giới hạn lim( 2n2 - n + 1- 2n2 - 3n + 2) là:
 2
 A. 0. B. . C. - ¥ . D. + ¥ . 
 2
Câu 57. Giá trị của giới hạn lim( n2 + 2n - 1- 2n2 + n) là:
 A. - 1. B. 1- 2. C. - ¥ . D. + ¥ . 
Câu 58. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa lim( n2 - 8n - n + a2 )= 0 .
 A. 0. B. 2. C. 1. D. Vô số. 
Câu 59. Giá trị của giới hạn lim( n2 - 2n + 3 - n) là:
 A. - 1. B. 0. C. 1. D. + ¥ . 
 2 2
Câu 60. Cho dãy số (un ) với un = n + an + 5 - n + 1 , trong đó a là tham số thực. Tìm a 
để lim un = - 1. 
 A. 3. B. 2. C. - 2. D. - 3. 
Câu 61. Giá trị của giới hạn lim(3 n3 + 1- 3 n3 + 2) bằng:
 A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. 
Câu 62. Giá trị của giới hạn lim(3 n2 - n3 + n) là:
 1
 A. . B. + ¥ . C. 0. D. 1. 
 3
Câu 63. Giá trị của giới hạn lim(3 n3 - 2n2 - n) bằng:
 1 2
 A. . B. - . C. 0. D. 1. 
 3 3
Câu 64. Giá trị của giới hạn lim é n n + 1- n - 1 ù là:
 ëê ( )ûú
 A. - 1. B. + ¥ . C. 0. D. 1. 
Câu 65. Giá trị của giới hạn lim é n n + 1- n ù bằng:
 ëê ( )ûú
 1 1 1
 A. 0. B. . C. . D. . 
 2 3 4 é 2 2 ù
Câu 66. Giá trị của giới hạn lim ên n + 1- n - 3 ú bằng:
 ë ( )û
 A. - 1. B. 2. C. 4. D. + ¥ . 
 é 2 2 ù
Câu 67. Giá trị của giới hạn lim ên n + n + 1- n + n - 6 ú là:
 ë ( )û
 7
 A. 7 - 1. B. 3. C. . D. + ¥ . 
 2
 1
Câu 68. Giá trị của giới hạn lim là:
 n2 + 2 - n2 + 4
 A. 1. B. 0. C. - ¥ . D. + ¥ . 
 9n2 - n - n + 2
Câu 69. Giá trị của giới hạn lim là:
 3n - 2
 A. 1. B. 0. C. 3. D. + ¥ . 
 1
Câu 70. Giá trị của giới hạn lim là:
 3 n3 + 1- n
 A. 2. B. 0. C. - ¥ . D. + ¥ . 
 Vấn đề 3. DÃY SỐ CHỨA HÀM LŨY THỪA
 2- 5n+ 2
Câu 71. Kết quả của giới hạn lim bằng:
 3n + 2.5n
 25 5 5
 A. - . B. . C. 1. D. - .
 2 2 2
 3n - 2.5n+ 1
Câu 72. Kết quả của giới hạn lim bằng:
 2n+ 1 + 5n
 A. - 15. B. - 10. C. 10. D. 15.
 3n - 4.2n+ 1 - 3
Câu 73. Kết quả của giới hạn lim là:
 3.2n + 4n
 A. 0. B. 1. C. - ¥ . D. + ¥ .
 3n - 1
Câu 74. Kết quả của giới hạn lim bằng:
 2n - 2.3n + 1
 1 1 3
 A. - 1. B. - . C. . D. .
 2 2 2
 n
 æ n+ 1 ö
 2 ÷
 ç ( 5) - 2 + 1 2n + 3÷ a 5
 ç + ÷= + Î ¢
Câu 75. Biết rằng limç n+ 1 2 ÷ c với a, b, c . Tính giá trị 
 ç n n - 1 ÷ b
 èç5.2 + ( 5) - 3 ø÷
của biểu thức S = a2 + b2 + c 2 . 
 A. S = 26. B. S = 30. C. S = 21. D. S = 31.
 pn + 3n + 22n
Câu 76. Kết quả của giới hạn lim là:
 3pn - 3n + 22n+ 2
 1 1
 A. 1. B. . C. + ¥ . D. .
 3 4
 n
 é n ù
Câu 77. Kết quả của giới hạn lim ê3 - 5 ú là:
 ë û A. 3. B. - 5. C. - ¥ . D. + ¥ .
Câu 78. Kết quả của giới hạn lim(34.2n+ 1 - 5.3n ) là:
 2 1
 A. . B. - 1. C. - ¥ . D. .
 3 3
 3n - 4.2n+ 1 - 3
Câu 79. Kết quả của giới hạn lim là:
 3.2n + 4n
 A. 0. B. 1. C. - ¥ . D. + ¥ .
 2n+ 1 + 3n + 10
Câu 80. Kết quả của giới hạn lim là:
 3n2 - n + 2
 2 3
 A. + ¥ . B. . C. . D. - ¥ .
 3 2
 4n + 2n+ 1 1
Câu 81. Tìm tất cả giá trị nguyên của a thuộc (0;2018) để lim 4 £ .
 3n + 4n+ a 1024
 A. 2007. B. 2008. C. 2017. D. 2016.
 æ 2 n ö
 ç n + 2n (- 1) ÷
Câu 82. Kết quả của giới hạn limç + ÷ bằng:
 ç n ÷
 èç 3n - 1 3 ø÷
 2 1 1
 A. . B. - 1. C. . D. - .
 3 3 3
 æ 3n + - 1 n cos3nö
 ç ( ) ÷
Câu 83. Kết quả của giới hạn limç ÷ bằng:
 èç n - 1 ø÷
 3
 A. . B. 3. C. 5. D. - 1.
 2
 an2 - 1 1
Câu 84. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc (0;20) sao cho lim 3+ - là một 
 3+ n2 2n
số nguyên.
 A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.
Câu 85. Kết quả của giới hạn lim 2.3n - n + 2 là:
 A. 0. B. 2. C. 3. D. + ¥ .
 Vấn đề 4. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Câu 86. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 2 , tổng của ba số hạng đầu tiên của cấp số 
 9
nhân bằng . Số hạng đầu u của cấp số nhân đó là:
 4 1
 9
 A. u = 3. B. u = 4. C. u = . D. u = 5.
 1 1 1 2 1
 1 1 1
Câu 87. Tính tổng S = 9 + 3+ 1+ + + L + + L .
 3 9 3n- 3
 27
 A. S = . B. S = 14. C. S = 16. D. S = 15.
 2 æ 1 1 1 1 ö
Câu 88. Tính tổng S = 2ç1+ + + + L + + L ÷.
 èç 2 4 8 2n ø÷
 1
 A. S = 2 + 1. B. S = 2. C. S = 2 2. D. S = .
 2
 2 4 2n
Câu 89. Tính tổng S = 1+ + + L + + L .
 3 9 3n
 A. S = 3. B. S = 4. C. S = 5. D. S = 6.
 n+ 1
 1 1 1 (- 1)
Câu 90. Tổng của cấp số nhân vô hạn ,- , ,..., ,... bằng:
 2 6 18 2.3n- 1
 3 8 2 3
 A. . B. . C. . D. .
 4 3 3 8
 æ1 1ö æ1 1ö æ1 1 ö
Câu 91. Tính tổng S = ç - ÷+ ç - ÷+ ...+ ç - ÷+ ... .
 èç2 3ø÷ èç4 9ø÷ èç2n 3n ø÷
 2 3 1
 A. 1. B. . C. . D. .
 3 4 2
 1+ a + a2 + ...+ an
Câu 92. Giá trị của giới hạn lim (a < 1, b < 1) bằng:
 1+ b + b2 + ...+ bn
 1- b 1- a
 A. 0. B. . C. . D. Không tồn tại.
 1- a 1- b
Câu 93. Rút gọn S = 1+ cos2 x + cos4 x + cos6 x + L + cos2n x + L với cos x ¹ ± 1.
 1 1
 A. S = sin2 x. B. S = cos2 x. C. S = . D. S = .
 sin2 x cos2 x
Câu 94. Rút gọn S = 1- sin2 x + sin4 x - sin6 x + L + (- 1)n .sin2n x + L với sin x ¹ ± 1.
 1
 A. S = sin2 x. B. S = cos2 x. C. S = . D. S = tan2 x.
 1+ sin2 x
 p
Câu 95. Thu gọn S = 1- tan a + tan2 a - tan3 a + ¼ với 0 < a < .
 4
 1 cosa tan a
 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = tan2 a.
 1- tan a æ pö 1+ tan a
 2 sinça + ÷
 èç 4ø÷
Câu 96. Cho m, n là các số thực thuộc (- 1;1) và các biểu thức:
 M = 1+ m + m2 + m3 + L
 N = 1+ n + n2 + n3 + L
 A = 1+ mn + m2n2 + m3n3 + L 
Khẳng định nào dưới đây đúng?
 MN MN
 A. A = . B. A = . 
 M + N - 1 M + N + 1
 1 1 1 1 1 1
 C. A = + - . D. A = + + .
 M N MN M N MN
 a
Câu 97. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111L được biểu diễn bởi phân số tối giản . 
 b
Tính tổng T = a + b. 
 A. 17. B. 68. C. 133. D. 137.