Bài tập Toán Lớp 11 - Chủ đề: Vecto trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian - Trường THPT Trực Ninh

 CHỦ ĐỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
 QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
 Bài 01
 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I – ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TỐN VỀ VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
Cho đoạn thẳng AB trong khơng gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A , điểm cuối là B ta cĩ một 
 uuur
vectơ, được kí hiệu là AB .
Định nghĩa
 uuur
 Vectơ trong khơng gian là một đoạn thẳng cĩ hướng. Kí hiệu AB chỉ vectơ cĩ điểm đầu 
 r r ur ur
 là A , điểm cuối B . Vectơ cịn được kí hiệu là a, b, x, y , 
Các khái niệm cĩ liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùng phương, 
cùng hướng của hai vectơ, vectơ – khơng, sự bằng nhau của hai vectơ, được định nghĩa 
tương tự như trong mặt phẳng.
II – ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ
1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong khơng gian
 r r r
Trong khơng gian cho ba vectơ a , b , c đều khác vectơ – khơng. Nếu từ một điểm O bất kì 
 uur r uur r uuur r
ta vẽ OA = a , OB = b , OC = c thì cĩ thể xả ra hai trường hợp: 
 · Trường hợp các đường thẳng OA , OB , OC khơng cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đĩ 
 r r r
ta nĩi rằng vectơ a , b , c khơng đồng phẳng.
 · Trường hợp các đường thẳng OA , OB , OC cùng nằm trong một mặt phẳng thi ta nĩi ba 
 r r r
vectơ a , b , c đồng phẳng.
 r r r
Trong trường hợp này giá của các vectơ a, b, c luơn luơn song song với một mặt phẳng.
 r
 r A
 a r A b 
 a r B
 c 
 O r B O C
 r b 
 c 
 C
 r r r r r r
 a) Ba vectơ a , b , c khơng đồng phẳng b) Ba vectơ a , b , c đồng phẳng
Chú ý. Việc xác định sự đồng phẳng hoặc khơng đồng phẳng của ba vectơ nĩi trên khơng phụ 
thuộc vào việc chọn điểm O .
Từ đĩ ta cĩ định nghĩa sau đây:
2. Định nghĩa
 Trong khơng gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song 
 với một mặt phẳng.
3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Từ định nghĩa ba vectơ đồng phẳng và từ định lí về sự phân tích (hay biểu thị) một vectơ 
theo hai vectơ hai vectơ khơng cùng phương trong hình học phẳng chúng ta cĩ thể chứng 
minh được định lí sau đây:
Định lí 1 r r r
 Trong khơng gian cho hai vectơ a , b khơng cùng phương và vectơ c . Khi đĩ ba vectơ 
 r r r r r r
 a , b , c đồng phẳng khi và chỉ khi cĩ cặp số m,n sao cho c = ma + nb . Ngồi ra cặp số 
 m,n là duy nhất.
Định lí 2
 r r r ur
 Trong khơng gian cho ba vectơ khơng đồng phẳng a , b , c . Khi đĩ với mọi vectơ x ta 
 ur r r r
 đều tìm được một bộ ba số m,n, p sao cho x = ma + nb + pc . Ngoại ra bộ ba số m,n, p 
 là duy nhất.
 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
 Vấn đề 1. BIỂU DIỄN VECTƠ
 r uuur r uuur r uuur
Câu 1. Cho hình lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢. Đặt a = AA¢, b = AB, c = AC. Gọi G¢ là trọng tâm 
 uuuur
của tam giác A¢B¢C ¢. Vectơ AG¢ bằng:
 1 r r r 1 r r r
 A. a + 3b + c . B. 3a + b + c .
 3( ) 3( )
 1 r r r 1 r r r
 C. a + b + 3c . D. a + b + c .
 3( ) 3( )
 r uuur r uuur r uuur
Câu 2. Cho hình lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢. Đặt a = AA¢, b = AB, c = AC. Hãy biểu diễn vectơ 
 uuur r r r
 B¢C theo các vectơ a, b, c. 
 uuur r r r uuur r r r
 A. B¢C = a + b - c. B. B¢C = - a + b - c.
 uuur r r r uuur r r r
 C. B¢C = a + b + c. D. B¢C = - a - b + c.
Câu 3. Cho hình lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢. Gọi M là trung điểm của BB¢. Đặt 
 uur r uur r uuur r
CA = a, CB = b, AA¢= c. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
 uuuur r r 1 r uuuur r r 1 r
 A. AM = a + c - b. B. AM = b + c - a.
 2 2
 uuuur r r 1 r uuuur r r 1 r
 C. AM = b - a + c. D. AM = a - c + b.
 2 2
Câu 4. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C ¢D¢ tâm O. Gọi I là tâm của hình hình hành ABCD. Đặt 
 uuuur r uuur r uuuur r uuuur r
 AC ¢= u, CA¢= v, BD¢= x, DB¢= y. Khi đĩ
 uur 1 r r r r uur 1 r r r r
 A. 2OI = - (u + v + x + y). B. 2OI = - (u + v + x + y).
 4 2
 uur 1 r r r r uur 1 r r r r
 C. 2OI = (u + v + x + y). D. 2OI = (u + v + x + y).
 2 4
 uuur r uuur r uuur r
Câu 5. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C ¢D¢ cĩ AB = a, AC = b, AA¢= c . Gọi I là trung điểm của 
 B¢C ¢, K là giao điểm của A¢I và B¢D¢. Mệnh đều nào sau đây đúng ?
 uuur 1 r r r uuur 1 r r r
 A. DK = 4a - 2b + 3c . B. DK = 4a - 2b + c .
 3( ) 3( )
 uuur r r r uuur r r r
 C. DK = 4a - 2b + c. D. DK = 4a - 2b + 3c.
Câu 6. Cho tứ diện ABCD cĩ trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây là sai ? uuur 2 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur
 A. AG = AB + AC + AD . B. AG = AB + AC + AD .
 3 ( ) 4 ( )
 uuur 1 uur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
 C. OG = OA + OB + OC + OD . D. GA + GB + GC + GD = 0.
 4 ( )
 uuur r uuur r uuur r
Câu 7. Cho tứ diện ABCD. Đặt AB = a, AC = b, AD = c . Gọi G là trọng tâm của tam giác 
 BCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sau đây đúng ? 
 uuur r r r uuur 1 r r r
 A. AG = a + b + c. B. AG = a + b + c .
 3( )
 uuur 1 r r r uuur 1 r r r
 C. AG = a + b + c . D. AG = a + b + c .
 2 ( ) 4 ( )
 uuur r uuur r uuur r
Câu 8. Cho tứ diện ABCD. Đặt AB = a, AC = b, AD = c . Gọi M là trung điểm của đoạn 
thẳng BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?
 uuuur 1 r r r uuuur 1 r r r
 A. DM = a + b - 2c . B. DM = - 2a + b + c .
 2 ( ) 2 ( )
 uuuur 1 r r r uuuur 1 r r r
 C. DM = a - 2b + c . D. DM = a + 2b - c .
 2 ( ) 2 ( )
Câu 9. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt 
 uuur r uuur r uuur r
 AB = b, AC = c , AD = d. Khẳng định nào sau đây là đúng ? 
 uuur 1 r r r uuur 1 r r r
 A. MP = c + d + b . B. MP = d + b - c .
 2 ( ) 2 ( )
 uuur 1 r r r uuur 1 r r r
 C. MP = c + b - d . D. MP = c + d - b .
 2 ( ) 2 ( )
 Vấn đề 2. ĐẲNG THỨC VECTƠ
 uuur r uuur r uuur r uuur r
Câu 10. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C ¢. Đặt AA¢= a, AB = b, AC = c , BC = d . 
Khẳng định nào dưới đây là đúng ? 
 r r r r r r r r
 A. a = b + c. B. a + b + c + d = 0.
 r r r r r r r r
 C. b - c + d = 0. D. a + b + c = d.
Câu 11. Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C ¢D¢. Gọi O là tâm của hình lập phương. 
Khẳng định nào dưới đây là đúng ? 
 uuur 1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur
 A. AO = AB + AD + AA¢. B. AO = AB + AD + AA¢.
 3( ) 2 ( )
 uuur 1 uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur uuur
 C. AO = AB + AD + AA¢. D. AO = AB + AD + AA¢.
 4 ( ) 3 ( )
Câu 12. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C ¢D¢ tâm O. Khẳng định nào dưới đây là sai ? 
 uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur r
 A. AC ¢= AB + AD + AA¢. B. AB + BC ¢+ CD + D¢A = 0.
 uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur
 C. AB + AA¢= AD + DD¢. D. AB + BC + CC ¢= AD¢+ D¢O + OC ¢.
Câu 13. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Khẳng định nào dưới đây là sai ? 
 uuur uuur uuuur uuuur 1 1 1 1 uuur uuuur uuuur uuur
 A. BC + BA = B C + B A . B. AD + D C + D A = DC.
 uuur uuur uu1ur 1 uuu1r 1 uuur uuu1 ur1 uuu1r 1 uuur
 C. BC + BA + BB1 = BD1. D. BA + DD1 + BD1 = BC.
Câu 14. Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Gọi M là trung điểm của AD. Khẳng định nào dưới 
đây là đúng ? uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur 1 uuuur
 A. B M = B B + B A + B C . B. C M = C C + C D + C B .
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
 uuuur uuur 1 uuuur 1 uuuur uuur uuuur uuuur uuuur
 C. C M = C C + C D + C B . D. BB + B A + B C = 2B D.
 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1
Câu 15. Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C ¢D¢ cĩ cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam 
giác AB¢C. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
 uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
 A. AC ¢= 3 AG. B. AC ¢= 4 AG. C. BD¢= 4 BG. D. BD¢= 3 BG.
 uur r uur r
Câu 16. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA = a, SB = b, 
 uur r uur r
 SC = c , SD = d . Khẳng định nào dưới đây là đúng ? 
 r r r r r r r r r r r r r r r r r
 A. a + c = b + d. B. a + b + c + d = 0. C. a + d = b + c. D. a + b = c + d.
Câu 17. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi G là điểm thỏa 
 uur uuur uuur uuur uuur r
mãn GS + GA + GB + GC + GD = 0. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
 uur uuur
 A. G, S, O khơng thẳng hàng. B. GS = 4 OG.
 uur uuur uur uuur
 C. GS = 5OG. D. GS = 3OG.
 uuur uuur uuur uuur r
Câu 18. Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA + GB + GC + GD = 0 (G là trọng tâm 
của tứ diện). Gọi G0 là giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD). Khẳng định nào dưới đây là 
đúng ?
 uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur
 A. GA = - 2G0G. B. GA = 4G0G. C. GA = 3G0G. D. GA = 2G0G.
Câu 19. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung 
điểm của MN. Khẳng định nào dưới đây là sai ? 
 uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur
 A. MA + MB + MC + MD = 4MG. B. GA + GB + GC = GD.
 uuur uuur uuur uuur r uuuur uuur r
 C. GA + GB + GC + GD = 0. D. GM + GN = 0.
Câu 20. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức vectơ 
 uuur uuuur uuuur uuuur 1 1 1 1
 AB + B1C1 + DD1 = k AC1.
 A. k = 4. B. k = 1. C. k = 0. D. k = 2.
Câu 21. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C ¢D¢. Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức vectơ 
 uuur uuur uuur uuuur r
 AC + BA' + k(DB + C ' D)= 0.
 A. k = 0. B. k = 1. C. k = 4. D. k = 2.
Câu 22. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I 
là trung điểm của đoạn MN . Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức vectơ 
 uur uur uur uur r
 IA + (2k - 1)IB + kIC + ID = 0.
 A. k = 2. B. k = 4. C. k = 1. D. k = 0.
Câu 23. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I 
là trung điểm của đoạn MN và P là một điểm bất kỳ trong khơng gian. Tìm giá trị thực của 
 uur uur uur uuur uuur
 k thỏa mãn đẳng thức vectơ PI = k(PA + PB + PC + PD).
 1 1
 A. k = 4. B. k = . C. k = . D. k = 2.
 2 4
Câu 24. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị 
 uuuur uuur uuur
thực của k thỏa mãn đẳng thức vectơ MN = k(AC + BD).
 1 1
 A. k = . B. k = . C. k = 3. D. k = 2.
 2 3 Vấn đề 3. ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ
 r r r r r r r r r r
Câu 25. Cho ba vectơ a, b, c khơng đồng phẳng. Xét các vectơ x = 2a + b , y = a - b - c , 
 r r r
 z = - 3b - 2c. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
 r r r
 A. Ba vectơ x, y, z đồng phẳng.
 r r
 B. Hai vectơ x, a cùng phương. 
 r r
 C. Hai vectơ x, b cùng phương. 
 r r r
 D. Ba vectơ x, y, z đơi một cùng phương. 
 r r r
Câu 26. Cho ba vectơ a, b, c khơng đồng phẳng. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
 r r r r r r r r r r r r
 A. Ba vectơ x = a + b + 2c , y = 2a - 3b - 6c , z = - a + 3b + 6c đồng phẳng. 
 r r r r r r r r r r r r
 B. Ba vectơ x = a - 2b + 4c , y = 3a - 3b + 2c , z = 2a - 3b - 3c đồng phẳng. 
 r r r r r r r r r r r r
 C. Ba vectơ x = a + b + c , y = 2a - 3b + c , z = - a + 3b + 3c đồng phẳng. 
 r r r r r r r r r r r r
 D. Ba vectơ x = a + b - c , y = 2a - b + 3c , z = - a - b + 2c đồng phẳng. 
 r r r r r r
Câu 27. Cho ba vectơ a, b, c . Điều kiện nào dưới đây khẳng định ba vectơ a, b, c đồng 
phẳng ? 
 r r r r
 A. Tồn tại ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p = 0 và ma + nb + pc = 0.
 r r r r
 B. Tồn tại ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p ¹ 0 và ma + nb + pc = 0.
 r r r r
 C. Tồn tại ba số thực m, n, p sao cho ma + nb + pc = 0.
 r r r
 D. Giá của a, b, c đồng quy. 
Câu 28. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
 uuur uuur uuur 1 1 1 1 uuur uuur uuuur
 A. BD, BD , BC đồng phẳng. B. CD , AD, A B đồng phẳng. 
 uuur uuur1 uuur1 uuur1 uuur uu1ur 1
 C. CD1, AD, A1C đồng phẳng. D. AB, AD, C1 A đồng phẳng. 
Câu 29. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm của hình bình hành ABEF và K là tâm 
của hình bình hành BCGF. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
 uuur uuur uuur uuur uur uuur
 A. BD, AK, GF đồng phẳng. B. BD, IK, GF đồng phẳng. 
 uuur uuur uuur uuur uur uuur
 C. BD, EK, GF đồng phẳng. D. BD, IK, GC đồng phẳng. 
Câu 30. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C ¢D¢. Gọi I, K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB¢A¢ 
và BCC ¢B¢. Khẳng định nào dưới đây là sai ?
 A. k = 4. B. k = 1. C. k = 0. D. k = 2.
Câu 31. Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Khẳng định nào 
dưới đây là khẳng định sai ? 
 uuur uuur uuuur
 A. Ba vectơ AB, DC, MN đồng phẳng. 
 uuur uuur uuuur
 B. Ba vectơ AB, AC, MN khơng đồng phẳng. 
 uuur uuur uuuur
 C. Ba vectơ AN, CM , MN đồng phẳng. 
 uuur uuur uuuur
 D. Ba vectơ BD, AC, MN đồng phẳng. 
Câu 32. Cho tứ diện ABCD . Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy điểm M , N sao cho 
 AM = 3 MD, BN = 3 NC. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Khẳng định nào 
dưới đây là sai ? uuur uuur uuuur
 A. Ba vectơ BD, AC, MN đồng phẳng. 
 uuuur uuur uuur
 B. Ba vectơ MN, DC, PQ đồng phẳng. 
 uuur uuur uuur
 C. Ba vectơ AB, DC, PQ đồng phẳng. 
 uuur uuur uuuur
 D. Ba vectơ AB, DC, MN đồng phẳng. 
 uuuur uuur uuur
Câu 33. Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N xác định bởi AM = 2AB - 3AC (1); 
 uuur uuur uuur
 DN = DB + x DC (2). Tìm x để các đường thẳng AD, BC, MN cùng song song với một 
mặt phẳng.
 A. x = - 1. B. x = - 2. C. x = - 3. D. x = 2. 
Câu 34. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C ¢D¢. Gọi M là điểm trên cạnh AC sao cho AC = 3MC. 
Lấy N trên đoạn C ¢D sao cho C ¢N = x C ¢D. Với giá trị nào của x thì MN P BD¢.
 2 1 1 1
 A. x = . B. x = . C. x = . D. x = .
 3 3 4 2
Câu 35. Cho hình chĩp S.ABC. Lấy các điểm A¢, B¢, C ¢ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao 
 SA SB SC
cho = a, = b, = c, trong đĩ a, b, c là các số thay đổi. Để mặt phẳng (A¢B¢C ¢) đi 
 SA¢ SB¢ SC ¢
qua trọng tâm của tam giác ABC thì 
 A. a + b + c = 3. B. a + b + c = 4. C. a + b + c = 2. D. a + b + c = 1.
 Vấn đề 4. TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 36. Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác BCD . Điểm M xác định bởi đẳng 
 uuuur uuur uuur uuur
thức vectơ AM = AB + AC + AD. Mệnh đề nào sau đây đúng?
 A. M trùng G. B. M thuộc tia AG và AM = 3AG.
 C. G là trung điểm AM. D. M là trung điểm AG.
 uuur uuur uuur uuur
Câu 37. Cho tứ diện ABCD . Điểm N xác định bởi AN = AB + AC - AD. Mệnh đề nào sau 
đây đúng?
 A. N là trung điểm BD. 
 B. N là đỉnh thứ tư của hình bình hành BCDN.
 C. N là đỉnh thứ tư của hình bình hành CDBN.
 C. N trùng với A.
Câu 38. Cho tứ diện ABCD. Ta định nghĩa ''G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi 
 uuur uuur uuur uuur r
 GA + GB + GC + GD = 0''. Khẳng định nào sau đây sai?
 A. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AB và CD.
 B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD. 
 C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC. 
 D. Cả A, B, C đều đúng.
Câu 39. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C ¢D¢. Điểm M được xác định bởi đẳng thức vectơ 
 uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur r
 MA + MB + MC + MD + MA' + MB ' + MC ' + MD ' = 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?
 A. M là tâm của mặt đáy ABCD. 
 B. M là tâm của mặt đáy A' B 'C ' D '.
 C. M là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy.
 D. Tập hợp điểm M là đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy. uuur r uuur r
Câu 40. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C ¢D¢ cĩ tâm O. Đặt AB = a , BC = b . Điểm M xác định 
 uuur 1 r r
bởi đẳng thức vectơ OM = a - b . Khẳng định nào sau đây đúng?
 2 ( )
 A. M là trung điểm BB¢. B. M là tâm hình bình hành BCC ¢B¢. 
 C. M là trung điểm CC ¢. D. M là tâm hình bình hành ABB¢A¢. 
 Bài 02
 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 
I – TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
1. Gĩc giữa hai vectơ trong khơng gian
Định nghĩa
 r r r
 Trong khơng gian, cho u và v là hai vectơ khác 0 . Lấy một điểm A bất kì, 
 uuur r uuur r
 gọi B và C là hai điểm sao cho AB = u, AC = v . Khi đĩ ta gọi gĩc B·AC 
 r r
 (0° £ B·AC £ 180°) là gĩc giữa hai vectơ u và v trong khơng gian, kí hiệu là 
 r r
 (u, v).
 r
 u 
 B
 A
 C
 r
 v 
2. Tích vơ hướng của hai vectơ trong khơng gian
Định nghĩa
 r r r
 Trong khơng gian, cho hai vectơ u và v đều khác 0 . Tích vơ hướng của 
 r r r r
 hai vectơ u và v là một số, kí hiệu là u.v , được xác định bởi cơng thức: 
 r r r r r r
 u.v = u . v .cos(u,v) .
 r r r r r r
Trong trường hợp u = 0 hoặc v = 0 , ta quy ước u.v = 0 .
II – VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1. Định nghĩa
 r r
 Vectơ a khác 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá 
 r
 của vectơ a song song hoặc trùng với đường thẳng d .
 r
 a 
 d
2. Nhận xét
 r r
 a) Nếu a là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ ka với k ¹ 0 
 cũng là vectơ chỉ phương của d . b) Một đường thẳng trong khơng gian hồn tồn xác định nếu biết một 
 r
 điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương a của nĩ.
 c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường 
 thẳng phân biệt và cĩ hai vectơ chỉ phương cùng phương.
III – GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
1. Định nghĩa
 Gĩc giữa hai đường thẳng a và b trong khơng gian là gĩc giữa hai đường 
 thẳng a¢ và b¢ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b .
 a
 b
 a'
 O b'
2. Nhận xét
 a) Để xác định gĩc giữa hai đường thẳng a và b ta cĩ thể lấy điểm O 
 thuộc một trong hai đường thẳng đĩ rồi vẽ một đường thẳng qua O và 
 song song với đường thẳng cịn lại.
 r r
 b) Nếu u là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và v là vectơ chỉ 
 r r
 phương của đường thẳng b và (u, v)= a thì gĩc giữa hai đường thẳng a và 
 b bằng a nếu 0° £ a £ 90° và bằng 180°- a nếu 90° < a £ 180° . Nếu a và b 
 song song hoặc trùng nhau thì gĩc giữa chúng bằng 0° .
IV – HAI ĐƯỜNG THẲNG VUƠNG GĨC
1. Định nghĩa
 Hai đường thẳng được gọi là vuơng gĩc với nhau nếu gĩc giữa chúng bằng 
90° .
Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuơng gĩc với nhau là a ^ b .
2. Nhận xét
 r r
 a) Nếu u và v lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và 
 r r
 b thì: a ^ b Û u.v = 0 .
 b) Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuơng gĩc với 
 đường thẳng này thì cũng vuơng gĩc với đường thẳng kia.
 c) Hai đường thẳng vuơng gĩc với nhau cĩ thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
 A. Gĩc giữa hai đường thẳng a và b bằng gĩc giữa hai đường thẳng a và c khi b song 
song với c (hoặc b trùng với c ).
 B. Gĩc giữa hai đường thẳng a và b bằng gĩc giữa hai đường thẳng a và c thì b song 
song với c .
 C. Gĩc giữa hai đường thẳng là gĩc nhọn.
 D. Gĩc giữa hai đường thẳng bằng gĩc giữa hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng đĩ.
Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
 A. Hai đường thẳng cùng vuơng gĩc với một đường thẳng thì song song với nhau. B. Một đường thẳng vuơng gĩc với một trong hai đường thẳng vuơng gĩc với nhau thì 
song song với đường thẳng cịn lại.
 C. Hai đường thẳng cùng vuơng gĩc với một đường thẳng thì vuơng gĩc với nhau.
 D. Một đường thẳng vuơng gĩc với một trong hai đường thẳng song song thì vuơng gĩc 
với đường thẳng kia.
Câu 3. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P) , trong đĩ a ^ (P). Mệnh đề 
nào sau đây là sai?
 A. Nếu b ^ (P) thì b//a . B. Nếu b//(P) thì b ^ a . 
 C. Nếu b//a thì b ^ (P). D. Nếu b ^ a thì b//(P).
 uuur uuur
Câu 4. Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định gĩc giữa cặp vectơ AB và DH ?
 A. 450. B. 900. C. 1200. D. 600.
 uuur uuur
Câu 5. Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định gĩc giữa cặp vectơ AB và EG ?
 A. 900. B. 600. C. 450. D. 1200.
Câu 6. Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' . Gĩc giữa AC và DA' là:
 A. 450. B. 900. C. 600. D. 1200.
Câu 7. Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' . Giả sử tam giác AB 'C và A' DC ' đều cĩ ba gĩc 
nhọn. Gĩc giữa hai đường thẳng AC và A' D là gĩc nào sau đây?
 A. A·B 'C. B. D·A'C '. C. B·B ' D. D. B·DB '.
Câu 8. Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' . Chọn khẳng định sai?
 A. Gĩc giữa AC và B ' D ' bằng 900. B. Gĩc giữa B ' D ' và AA' bằng 600.
 C. Gĩc giữa AD và B 'C bằng 450. D. Gĩc giữa BD và A'C ' bằng 900.
Câu 9. Cho tứ diện đều ABCD. Số đo gĩc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:
 A. 600. B. 300. C. 900. D. 450. 
Câu 10. Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác 
 BCD . Gĩc giữa AO và CD bằng bao nhiêu?
 A. 00. B. 300. C. 900. D. 600.
Câu 11. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đĩ cos(AB, DM ) bằng :
 2 3 1 3
 A. . B. . C. . D. .
 2 6 2 2
Câu 12. Cho tứ diện ABCD cĩ AB = AC = AD và B·AC = B·AD = 60° . Hãy xác định gĩc giữa 
 uuur uuur
cặp vectơ AB và CD ?
 A. 60°. B. 45°. C. 120°. D. 90°.
Câu 13. Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA = SB = SC và A· SB = B·SC = C·SA . Hãy xác định gĩc 
 uur uuur
giữa cặp vectơ SC và AB ?
 A. 120°. B. 45°. C. 60°. D. 90°.
Câu 14. Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA = SB và CA = CB . Tính số đo của gĩc giữa hai đường 
thẳng chéo nhau SC và AB.
 A. 300. A. 450. A. 600. A. 900. 
Câu 15. Cho hình chĩp S.ABC cĩ AB = AC và S·AC = S·AB . Tính số đo của gĩc giữa hai 
đường thẳng chéo nhau SA và BC.
 A. 300. A. 450. A. 600. A. 900. 
 3
Câu 16. Cho tứ diện ABCD cĩ AC = AD , C·AB = D·AB = 60° , CD = AD . Gọi j là gĩc 
 2
giữa AB và CD . Chọn khẳng định đúng?
 3 1
 A. cosj = . B. j = 60°. C. j = 30°. D. cosj = .
 4 4 Câu 17. Cho tứ diện ABCD cĩ AB = AC = AD và B·AC = B·AD = 60° , C·AD = 90° . Gọi I và 
 uuur uur
 J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Hãy xác định gĩc giữa cặp vectơ AB và IJ ?
 A. 120°. B. 90°. C. 60°. D. 45°.
Câu 18. Cho tứ diện ABCD cĩ AB = CD . Gọi I, J , E, F lần lượt là trung điểm của 
 AC, BC, BD, AD . Gĩc (IE, JF ) bằng
 A. 30°. B. 45°. C. 60°. D. 90°.
Câu 19. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên 
đều bằng a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của gĩc (MN,SC ) 
bằng
 A. 45°. B. 30°. C. 90°. D. 60°.
Câu 20. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung 
điểm của SC và BC . Số đo của gĩc (IJ , CD) bằng:
 A. 90°. B. 45°. C. 30°. D. 60°.
Câu 21. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ cạnh SA = x , tất cả các cạnh cịn lại đều bằng a . Tính số 
đo của gĩc giữa hai đường thẳng SA và SC.
 A. 300. A. 450. A. 600. A. 900. 
 uuur uuur
Câu 22. Cho hình lập phương ABCD.EFGH cĩ cạnh bằng a . Tính AB.EG. 
 a2 2
 A. a2 3. B. a2 . C. . D. a2 2. 
 2
Câu 23. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cĩ cạnh a . Gọi M là trung điểm AD . Giá trị 
 uuuur uuur 1 1 1 1
 B1M.BD1 là:
 1 3
 A. a2 . B. a2 . C. a2 . D. a2 2. 
 2 4
Câu 24. Cho tứ diện ABCD cĩ AC = a, BD = 3a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD 
và BC . Biết AC vuơng gĩc với BD . Tính MN .
 a 6 a 10 2a 3 3a 2
 A. MN = . B. MN = . C. MN = . D. MN = . 
 3 2 3 2
Câu 25. Cho tứ diện ABCD cĩ AB vuơng gĩc với CD . Mặt phẳng (P) song song với AB và 
CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M , N, P, Q . Tứ giác MNPQ là hình gì?
 A. Hình thang.B. Hình bình hành.
 C. Hình chữ nhật.D. Tứ giác khơng phải hình thang.
Câu 26. Trong khơng gian cho hai tam giác đều ABC và ABC ¢ cĩ chung cạnh AB và nằm 
trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M , N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh 
 AC, CB, BC ¢ và C ¢A . Tứ giác MNPQ là hình gì?
 A. Hình bình hành.B. Hình chữ nhật.
 C. Hình vuơng.D. Hình thang.
Câu 27. Cho tứ diện ABCD trong đĩ AB = 6, CD = 3 , gĩc giữa AB và CD là 60° và điểm 
 M trên BC sao cho BM = 2MC . Mặt phẳng (P) qua M song song với AB và CD cắt 
 BD, AD, AC lần lượt tại M , N, Q . Diện tích MNPQ bằng:
 3
 A. 2 2. B. 3. C. 2 3. D. . 
 2
Câu 28. Cho tứ diện ABCD cĩ AB vuơng gĩc với CD , AB = 4, CD = 6 . M là điểm thuộc 
cạnh BC sao cho MC = 2BM . Mặt phẳng (P) đi qua M song song với AB và CD . Diện 
tích thiết diện của (P) với tứ diện là: