Bài tập Toán Lớp 11 - Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG.
Các chú công an giao thông không ngồi trên xe chúng ta nhưng vẫn biết tại thời 
điểm nào đó xe chạy với vận tốc bao nhiêu ?
Tên lửa đang bay nhưng người ta vẫn biết được tại thời điểm nào đó vận tốc của 
tên lửa là bao nhiêu ?
B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC.
 ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm.
+) HĐ1: Khởi động. GỢI Ý
HĐ1.1. Tính giới hạn : t 2 9
 t 2 9 lim 6 
 lim t 3 t 3
 t 3 t 3
HĐ1.2. Một đoàn tàu chuyển động thẳng 
khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường 2) Khi t càng gần to 3 thì kết quả thu 
s(mét) đi được của đoàn tàu là một hàm được càng gần 6.
số của thời gian t (phút). Ở những phút 
đầu tiên, hàm số đó là s t 2 .
 Trang | 1 1) Tính vận tốc trung bình của chuyển 
động trong đoạn t;to  với to 3 và 
t 2;t 2,5;t 2,9;t 2,99. 
2) Nêu nhận xét về những kết quả thu 
được khi t càng gần to 3.
+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
Từ kết quả của hai hoạt động trên, ta suy ra định nghĩa sau :
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s s t .
 s t s t 
Giới hạn hữu hạn (nếu có) lim o được gọi là vận tốc tức thời của 
 t t
 o t to
chuyển động tại thời điểm to .
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn được xác định bởi phương trình Q Q t 
 Q t Q t 
Giới hạn hữu hạn (nếu có) lim o được gọi là cường độ tức thời của 
 t t
 o t to
chuyển động tại thời điểm to .
HĐ 2.1 Một chất điểm chuyển động có phương trình s 2t 2 t ( t tính bằng giây 
và s tính bằng mét). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm to 3 bằng :
 13
A. 21 m / s B. 13 m / s C. 7 m / s D. m / s 
 2
2. Đạo hàm tại một điểm.
+ ) HĐ1. Hình thành kiến thức
Nhiều bài toán trong Vật lí, Hóa học, đưa đến việc tìm giới hạn dạng 
 f (x) f (x )
 lim 0 , trong đó y y f x là một hàm số đã cho. Giới hạn trên dẫn 
 x x
 0 x x0
đến một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm đạo hàm.
Định nghĩa. Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và x 0 (a; b). Nếu tồn tại 
 f (x) f (x )
giới hạn (hữu hạn) lim 0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm 
 x x
 0 x0 x
số y = f(x) tại x0 và kí hiệu f (x0)
 f (x) f (x0 )
 f (x0 ) lim
 x x
 0 x0 x
 Trang | 2 +) HĐ 2. Củng cố
Câu hỏi 1. Cho hàm số y f (x) xác định trên (a;b) và x0 (a;b) . Giả sử các 
giới hạn bên dưới đều tồn tại, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. f (x0 ) lim f (x) f (x0 ) .
 x x0
 f (x) f (x0 )
B. f (x0 ) lim .
 x x
 0 x0 x
 f (x) f (x0 )
C. f (x0 ) lim .
 x x
 0 x x0
D. f (x0 ) lim(x x0 ).
 x x0
Câu hỏi 2. Cho hàm số f (x) 3x 2 . Mệnh đề nào sau đây sai?
 3x 6
A. f (2) lim .
 x 2 x 2
 3x 3
B. f ( 1) lim .
 x 1 x 1
 3x 3
C. f (1) lim .
 x 1 x 1
 3x 2
D. f (0) lim .
 x 0 x
Chú ý:
 • Đại lượng x x – xo : Số gia của đối số tại x0.
 • Đại lượng y f x f xo f xo x f xo : Số gia tương ứng của 
 hàm số.
 y
Như vậy : f ' xo lim 
 x 0 x
3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa.
 Trang | 3 +) HĐ1: Khởi động. GỢI Ý
Từ các ví dụ ở trên, học sinh tự 
hình thành cách tính đạo hàm 
bằng định nghĩa.
 +) HĐ2: Hình thành kiến thức.
 Để tính đạo hàm của hàm số y f x tại điểm x0 bằng định nghĩa, ta có quy 
tắc sau
Bước 1: Giả sử x là số gia của đối số tại x0. Tính y = f(x0 + x) – f(x0).
Bước 2: Lập tỉ số y .
 x
 y
Bước 3: Tìm lim .
 x 0 x
 +) HĐ3: Củng cố. GỢI Ý
 HĐ3.1. Cho hàm số f (x) x3. 
 f (2) 12
 Tính f ' 2 .
 HĐ3.2. 2m 1 x2 9 2m 1 
 f ' 3 lim
 x 3 x 3
 Cho hàm số f (x) 2m 1 x2 2017. 
 lim 2m 1 x 3 6 2m 1 
 x 3
 Tìm m để f ' 3 6. 
 m 1. 
C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP.
Câu hỏi 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại x0 :
a) y 2x 1, x0 2
 2
b) y x 3x, x0 1
Gợi ý : 
a) y 2(x0 x) 2x0 2 x y (2) lim 2 2
 x 0
 Trang | 4 b) y x(2x0 x 3) y (1) lim(5 x) 5
 x 0
 1
Câu hỏi 2. Một vật rơi tự so có phương trình chuyển động là S gt 2 trong đó 
 2
 g 9,8m / s2 và t được tính bằng giây (s).
a) Tìm vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t đến t + t với độ chính xác 
0,001, biết t = 5 và t lần lượt bằng 0,1; 0,01; 0,001.
b) Tìm vận tốc tức thời tại thời điểm t = 5.
Gợi ý 
 1 (t t)2 t 2 1
a) v g = g(2t t)
 tb 2 t 2
+ t = 0,1 vtb 49,49
+ t = 0,01 vtb 49,049
+ t = 0,001 vtb 49,005
b) S gt v(5) S (5) 49
 3. f x xf 3 
Câu hỏi 3. Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x 3. Tính lim .
 x 3 x 3
Gợi ý : 
 3. f x xf 3 3. f x 3. f 3 3. f 3 x. f 3 
 lim lim 3. f ' 3 f 3 
 x 3 x 3 x 3 x 3
Câu hỏi 4. Cho hàm số f x m3 3m2 m x 2018. Tìm m để f ' 2 3.
Đáp số : m 3
D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG - TÌM TÒI MỞ RỘNG.
Bài tập thực hành: 
+) Tham khảo tại liệu về cấu tạo và nguyên lý hoạt động của súng đo tốc độ.
+) Chia nhóm sử dụng máy quay và các thiết bị đo đạc tính vận tốc của một vật 
trong thực tế.
 Trang | 5