Bài tập Toán Lớp 11 - Giới hạn dãy số

 NHÓM 7
 CHƯƠNG IV, ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11
 CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN DÃY SỐ
 TRƯỜNG THPT: LÝ NHÂN TÔNG, ĐỖ HUY LIÊU, ĐẠI AN, TỐNG VĂN TRÂN
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG.
Chàng dũng sĩ sẽ không bao giờ đuổi kịp con rùa nếu xuất phát sau nó. Khi được hỏi về 
câu chuyện tưởng như đùa này, nhà toán học Hi Lạp Zénon đã làm mọi người phải ngỡ 
ngàng bởi lời giải thích đầy tính trừu tượng nhưng không thể bắt bẻ được như sau: sau 
một khoảng thời gian, chàng dũng sĩ di chuyển được một quãng bằng nửa khoảng cách 
ban đầu thì con rùa cũng đã nhích lên được một chút.
Sau một khoảng thời gian nữa, chàng dũng sĩ tiếp tục di chuyển được một nửa khoảng 
cách, con rùa vẫn không hề đứng yên Cứ như vậy cho đến tận cùng, khoảng cách 
giữa chàng dũng sĩ và con rùa được chia nửa nhiều lần nhưng không bao giờ chạm tới 0 
và chàng dũng sĩ sẽ không thể nào bắt kịp con rùa 
Câu chuyện trên là nghịch lí nổi tiếng của Zeenon (Zesnon d’Elée 496 – 429 TCN) – 
một triết gia Hy Lạp ở thành phố Elée, phía nam nước Ý bây giờ. Nghịch lí của ông góp 
phần thúc đẩy sự xuất hiện khái niệm giới hạn. Nhờ khái niệm giới hạn, con người có 
thể nghiên cứu các vấn đề liên quan đến sự vô hạn. B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC.
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
+) HĐ1: Khởi động.
 1
Cho dãy u với u . 
 n n n
* Viết dãy un dưới dạng khai triển và biểu diễn chúng trên trục số?
*Tính khoảng cách từ u1 ,u2 ,u3 ,u100 đến 0 và nêu nhận xét về các khoảng cách đó?
Gợi ý:
 1 1 1 1
Dạng khai triển: 1, , , ,...., ,...
 2 3 4 100
- Biểu diễn trên trục số:
 u4 u3 u2 u1
 0
 u100 1/4 1/2
-Các khoảng cách đó nhỏ dần về 0.
+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1: (sgk)
Kí hiệu: lim un 0 hay un 0 khi n 
 n 
HĐ 2.1. Trong các dãy số sau, dãy nào có giới hạn khác 0?
 1 1 1 1
A. u B. u C. u D. u 1
 n n n n2 n n 1 n n
Định nghĩa 2: 
 lim vn a lim vn a 0hayun a khi n 
 n n 
 2n 1
HĐ 2.2. Cho dãy (vn) với vn . Chứng minh lim vn 2 .
 n n 
 2n 1 1
Gợi ý: Tacó: lim vn 2 lim 2 lim 0 .
 n n n n n
Vậy lim vn 2 .
 n 
2. Một vài giới hạn đặc biệt
 1 1
 • lim 0;lim 0,k N 
 n n n nk • lim qn 0, q 1
 n 
 • lim C C,(C Const)
 n 
Chú ý: lim un a ta có thể viết tắt limun a
 n 
+) HĐ3: Củng cố.
HĐ 3.1. Trong các dãy số sau, dãy nào có giới hạn khác 0?
 n 1 ( 1)n n 1
 2 B. u C. u D. u 
A. u n 2 n n
 n n n n
 3 
 1 n 1
HĐ 3.2. Cho dãy (vn) với v . Chứng minh lim v .
 n 2n 1 n 2
II. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
+) HĐ1: Khởi động.
Việc tìm giới hạn bằng định nghĩa khá phức tạp nên người ta thường áp dụng các công 
thức giưới hạn đặc biệt và định lí sau đây mà ta thừa nhận.
+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
 Định lí 1:
 • Nếu limun a;limvn b thì:
 un a
 lim un vn a b;lim un vn a b lim un vn a.b;lim (b 0)
 vn b
 a 0
 un 0n 
 • 
 limu a
 n lim un a
 HĐ 2.1. Tính giới hạn của các dạy sỗ sau:
 3n2 n 1 4n2
 a) u b) u 
 n 1 n2 n 1 2n
 gợi ý:
 1 1 1
 2 3 lim 3 lim3 lim
 3n n n
 lim lim n n 3
 1 n2 1 1 1
 1 lim lim1
 2 lim 2 1 2
 n n n
 1
 4
 1 4n2 n2 2
 lim lim 1
 1 2n 1 2
 2
 n .
HĐ 2.2 . Từ hai ví dụ trên, hãy nêu phương pháp để tìm giới hạn của hàm phân thức.
+) HĐ3: Củng cố. HĐ 3.1. tính các giới hạn sau:
 n 1 n2 n 3n
a) lim b) lim c) lim n2 3n n 
 2n 3 1 2n
Gợi ý:
 1
 1 
 n 1 1
a) lim lim n 
 2n 3 3 2
 2 
 n
 1
 1 3
 n2 n 3n
b) lim lim n 1
 1 2n 1
 2
 n
 n2 3n n n2 3n n 3n 3
c) lim n2 3n n =lim =lim = .
 n2 3n n n2 3n n 2
HĐ 3.2. Dùng định lí kẹp: nếu un vn ,n và lim vn = 0 thì thì lim un = 0.
 sin n
 Tính lim .
 n
 sin n 1 1 sin n
Vì 0 và lim 0 nên .lim 0
 n n n n
III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
+) HĐ1: Khởi động.
Câu hỏi 1: Nhắc lại khái nhiệm của cấp số nhân.
 1
Câu hỏi 2: Nhận xét gì về các giá trị un khi công bội q ?
 2
Gợi ý: các giá trị un ngày càng giảm khi n tăng đến vô cùng.
+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
 Cấp số nhân vô hạn (un) với công bội q 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
 1 n
HĐ 2.1. Cho cấp số nhân (u n) và (vn) với u ;v 3 . Tìm công bội và tính tổng n 
 n 2n n
số hạng đầu của CSN đó.
Gợi ý: n
 1 1 
 1 
 n
 1 2 2 1 
 Với (un) ta có: q và Sn 1 
 2 1 2
 1 
 2
 3 1 3n
 3 n
 Với (vn) ta có: q 3 và Sn 1 3 
 1 3 2
 Câu hỏi 1: Khi n tăng đến vô cùng thì Sn của dãy (un) tiến dần về giá trị nào?
 1 
Gợi ý: lim Sn lim 1 n 1.
 2 
Từ đây ta nhận thấy, giới hạn tại vô cùng của tổng Sn của cấp số nhận lùi vô hạn là hữu 
hạn.
HĐ 2.2. Cho CSN lùi vô hạn (un) với công bội q. 
 u (1 qn) u u
 S u u u ... u 1 1 1 qn
 n 1 2 3 n 1 q 1 q 1 q
 u1 u1 n u1
 Suy ra: limSn lim q 
 1 q 1 q 1 q
 u
 Vậy: S 1 q 1 
 1 q
+) HĐ3: Củng cố.
 1
HĐ3.1. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u ), với u .
 n n 3n
Gợi ý:
 1 1 1 1 1 1
 Xét dãy: , , ,..., ,... là một CSN lùi vô hạn với u & q . 
 3 9 27 3n 1 3 3
 Vậy: 
 1
 1 1 1 1
 S ... ... 3 
 3 9 3n 1 2
 1 
 3 .
 n 1
 1 1 1 1 
 HĐ 3.2. Tính tổng S 1 .... ...
 2 4 8 2 
 Gợi ý: n 1
 1 1 1 1 1
 Xét dãy: 1, , , ,... ,... là một cấp số nhân lùi vô hạn với q & u1 1 . 
 2 4 8 2 2
 Vậy:
 n 1
 1 1 1 1 1 2
 S 1 ... ... 
 2 4 8 2 1 3
 1 
 2 .
HĐ 3.3. Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
 a. 0,444... b. 0,2121....
 Gợi ý:
 4
 4 4 4
 a)0,444.... 0 .... 10 .
 10 102 1 9
 1 
 10
 21
 21 21 7
 b)0,2121.... 0 .... 100 . 
 100 1002 1 33
 1 
 100
 IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC
 +) HĐ1: Khởi động.
 Có nhiều tờ giấy giống nhau, mỗi tờ có bề dày là 0,1 mm. Ta xếp chồng các tờ giấy này 
 lên nhau. Gỉa sử có thể thực hiện việc này một cách vô hạn.
 Gọi u1 là bề dày của một tờ giấy.
 u2 là bề dày của hai tờ giấy.
 .
 un là bề dày củamột chồng giấy gồm n tờ giấy.
 Tiếp tục như vậy, ta được một dãy số vô hạn (un).
 Câu hỏi 1: Nhận xét về giá trị của un khi n tăng lên vô hạn.
 +) HĐ2: Hình thành kiến thức.
 1. Định nghĩa
Ta nói dãy số un có giới hạn khi n nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì 
kể từ một số hạng nào đó trở đi.
 Kí hiệu: lim un hay un khi n 
 n Dãy số un có giới hạn khi n nếu lim un 
 n 
 Kí hiệu: lim u n hay un khi n 
 n 
 Chú ý: 
 lim n k , k N 
 lim q n khiq 1
2. Định lí 2:
 u n
 lim u n a; lim vn lim 0
 vn
 un
 limun a 0;limvn 0,vn 0n lim 
 vn
 limun ;limvn a 0 lim un .vn 
HĐ 2.1. Trong các dãy sau, dãy nào có giới hạn vô cực?
 n2 2n 1 n2 2
A. u B. u 3 1 
 n n 2 C. u D. u 
 n 1 n n 2 
 n 2n 5 n 1 
HĐ 2.2.
 lim(n2 n 1) ?
A. 1 B. 0 C. D. 
+) HĐ3: Củng cố.
 2n 5
HĐ 3.1. Tính giới hạn lim
 n.3n
Gợi ý: 
 5 5 
 2 lim 2 
 2n 5 n
 lim lim n 0
 n.3n 3n lim3n .
HĐ 3.2. Tính giới hạn lim(n2 2n 1) .
Gợi ý: 
 2 2 2 1 2 2 1 
 lim n 2n 1 limn 1 2 limn .lim 1 2 
 n n n n 
HĐ 3.3. Tính các giới hạn sau: 
 3n 1
 1) un = . ĐS: + 
 2n 1
 n n
 2)u n = 2 3 . ĐS: - 2n4 n2 3
 3) lim ĐS: + 
 3n3 2n2 1
 3n3 2n2 n
 4) lim ĐS: - 
 4 n2
 C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP.
 un 
.DẠNG 1: lim 
 vn 
Tìm các giới hạn
 n3 2n2 n n2 2n n4 n2 n
a) lim ; b) lim ; c) lim
 n3 1 n3 1 n3 n
 n n 1
 n2 1 4n 1 2 3 ...n 4.3 7
d) lim ; e) lim ; f) lim
 3n 2 n2 1 2.5n 7n
 2 3
 2 n n 1 (n 1) (n 2)
 9n 1 2n 2.5 9 lim
g) lim ; h) lim ; i) 4
 6n 2 1 9n n(n 1)
DẠNG 2: lim(un – vn) ( )
Tìm các giới hạn sau:
 2 1 1 
a) lim( n n n) b) lim 3 
 1 n 1 n 
c) lim n2 1 n2 2n d) lim 3 n3 n2 n 
e) lim( n2 2n 1 n2 7n 3) f) lim(1 n2 n4 3n 1)
DẠNG 3: Dãy số có giới hạn vô cực
Tìm các giới hạn sau:
 a) lim( 3n3 4n2 5n 6) b) lim 3n4 5n3 6n 1 
 c) lim 3.4n 2n 1 d) lim ( n2 + n + 1). 
DẠNG 4:Vận dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn. 
Tính tổng sau:
 1 1 1 1
a) S= 3 ... ... 
 2 4 8 2.2n 1 1 1 1 1
b) S= 2 ... 
 3 6 12 3.2n 1
 1 1 1 1
c) S = 3 ... ... 
 2 4 8 2.2n 1
 1 1 ( 1)n
d) S = 1 + ... ... 
 10 102 10n 1
TRẮC NGHIỆM
 2n3 n2 3n 1
Câu 1: lim bằng
 3n 2
 2
A. B. 0 C. D. 3 
 3
 n3 n2 3n 1
Câu 2: lim bằng
 4n 2
 1
A. B. C. D. 0 
 4
 3n2 n 1
Câu 3: lim bằng
 2n3 1
 3 1
A. B. C. D. 0 
 2 4
 3n2 5n 1
Câu 4: lim bằng
 2n2 n 3
 3 3
A. B. C. 0 D. 
 2 2
 n4
Câu 5: lim bằng
 (n 1)(2 n)(n2 1)
 1
A. 4 B. C. 1 D. 
 2
 1 2 3 ... n
Câu 6: lim bằng
 2n2 n 1
 1 1
A. 0 B. C. D. 
 4 2 Câu 7: lim 2n2 1 2n2 1 bằng
A. 1 B. 4 C. D. 0 
 4.3n 7n 1
Câu 8: lim bằng
 2.5n 7n
 3 7
A. 1 B. 7 C. D. 
 5 5
 n
 1 1 1 1 
Câu 9: Tính tổng S 3 2 1 ... 2 .... 
 2 2 2 2 2 
 A, S 5 2 2 . B. S 4 2 2 . C. S 3 2 . D. S 5 2 2 .
Câu 10: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 0?
 2n2 3 2n 3n3 2n2 3n4 3 2n3
A. lim 3 B. lim 2 C. lim 3 2 D. lim 2
 2n 4 2n 1 2n n 2n 1