Bài tập Toán Lớp 11 - Giới hạn dãy số - Trường THPT Nghĩa Minh

 BTTN GIỚI HẠN DÃY SỐ
DẠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn 0 và các giới hạn đặc biệt để giải quyết bài 
toán.
Ví dụ 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
 A. Dãy số un có giới hạn bằng 0 khi n dần tiến tới dương vô cực, nếu un có thể 
 nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
 B. Dãy số un có giới hạn bằng 0 khi n dần tiến tới dương vô cực, nếu un có thể 
 nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
 C. Dãy số un có giới hạn bằng 0 khi n dần tiến tới dương vô cực, nếu un có thể 
 lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
 D. Dãy số un có giới hạn bằng 0 khi n dần tiến tới dương vô cực, nếu un có thể 
 lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Ví dụ 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề Sai?
 A. Dãy số vn có giới hạn là số a khi n nếu lim vn a 0 .
 n 
 B. Dãy số vn dần tới số a khi n nếu lim vn a 0 .
 C. Nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý khi n dần tiến tới dương vô cực, kể 
 từ một số hạng nào đó trở đi thì dãy số un có giới hạn bằng 0 .
 D. Dãy số vn dần tới số a khi n nếu lim vn a 0 .
Ví dụ 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
 1
 A. lim 1. B. lim qn 0,q 1.
 n n n 
 C. lim 1n 0 . D. lim qn 0, q 1..
 n n 
Ví dụ 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề Sai?
 1
 A. lim 0,k ¢ . B. limc c; c const .
 nk
 c 1
 C. lim 0, c const . D. lim 0,k ¥ * .
 n n nk
Ví dụ 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
 2
 A. lim 2 . B. lim qn 0,q 1.
 n n2 n 
 n
 1 n
 C. lim 0 . D. lim 2 0.
 n n n Ví dụ 6: Cho hai dãy số un và vn , khẳng định nào sau đây đúng?
 A. Nếu un vn n và limvn 0 thì có limun 0 .
 B. Nếu un vn n và limvn 0 thì có limun 0 .
 C. Nếu un vn n và limvn 0 thì có limun 0 .
 D. Nếu un vn n và limvn a ( a là hằng số) thì có limun 0 .
Ví dụ 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
 A. limun 0 lim un a 0 a const .
 B. limun 0 lim un 0 .
 C. Dãy số không đổi un , với un a , có giới hạn là 0 .
 D. Dãy số không đổi un , với un 0 , có giới hạn là a .
Ví dụ 8: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề Sai?
 n
 1 1 1 1
 A. lim 0 . B. lim 0 . C. lim 1. D. lim 0
 3 n n2 n3 n
Ví dụ 9: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
 1 3
 A. lim 1. B. lim 3 .
 n nk
 1 1
 C. lim 1. D. lim 0 .
 n n n
Ví dụ 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề Sai?
 1
 A. lim 0,k .
 nk
 A
 B. lim 0,A.
 n
 C. Dãy số không đổi un , với un 0 có giới hạn 0.
 D. limun 0 lim un 0 .
Ví dụ 11: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
 A. Dãy số un , cóu3 u100 0 thì giới hạn là 0 .
 B. Dãy số un , cóu3 0 thì giới hạn là 0 .
 C. Dãy số un , có giới hạn là 0 thì un 0 .
 D. Dãy số không đổi un , với un 0 , có giới hạn là 0 .
Ví dụ 12: Từ q 1 thì lim qn 0 , mệnh đề nào là mệnh đề Sai? 1 1
 A. lim 0 . B. lim 0 .
 n 3 n
 1
 C. lim 0 . D. lim n2 0 .
 n
Ví dụ 13: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
 A. Dãy số un có giới hạn là 0 nếu un có thể lớn hơn hoặc bằng 0 , miễn là n đủ 
 lớn.
 B. Dãy số un có giới hạn là 0 nếu un có thể nhỏ hơn hoặc bằng 0 , miễn là n đủ 
 lớn.
 C. Dãy số un có giới hạn là 0 nếu un có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n 
 đủ lớn.
 D. Dãy số un có giới hạn là 0 nếu có một số giá trị un bằng 0 , miễn là n đủ lớn.
Ví dụ 14: Cho cách khẳng định sau:
 1
 a) lim 0
 n
 b) Dãy số không đổi un , với un 0 , có giới hạn là a .
 1
 c) lim 0
 3 n
 1
 d) lim 0 với mọi số nguyên dương k cho trước
 nk
 Có bao nhiêu khẳng định sai?
 A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1.
Ví dụ 15: Cho cách khẳng định sau:
 a) limun 0 lim un 0 .
 b) Nếu q 1 thì lim qn 0 .
 c) limun 0 nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở 
 đi.
 d) Dãy số un có giới hạn là 0 nếu có một số giá trị un bằng 0 , miễn là n đủ lớn.
 Số khẳng định đúng là:
 A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4 .
 DẠNG 2. TÌM GIỚI HẠN 0 CỦA DÃY SỐ
Phương pháp giải: Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lí giới hạn để giải quyết bài toán.
Ví dụ điển hình Ví dụ 1: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
 n n n n
 4 4 5 1 
 A. . B. . C. . D. .
 3 3 3 3 
Ví dụ 2: Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
 1 1 n 1 sin n
 A. . B. . C. D. .
 n n n n
Ví dụ 3: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
 A. 0,999 n . B. 1,01 n . C. 1,01 n . D. 2,001 n .
Ví dụ 4: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
 n2 2n 1 2n 1 2n2 1 2n
 A. lim . B. lim . C. lim . D. lim .
 5n 5n2 5n 5 5n 5 5n 5n2
 sin n! 
Ví dụ 5: lim bằng
 n2 1
 A. 0. B. 1. C. . D. 2.
 1 n
Ví dụ 6: lim bằng
 n n 1 
 A. 1. B. 1. C. . D. 0.
 4n 1 6n 2
Ví dụ 7: lim bằng:
 5n 8n 
 6 4
 A. 0 . B. . C. 36 . D. .
 8 5
 2n 2
Ví dụ 8: Cho dãy sốu với u n 1 . Chọn kết quả đúng của limu là:
 n n n4 n2 1 n
 A. 1. B. 0 . C. 1. D. 2 .
 3 3
Ví dụ 9: Dãy số (un ) với un n 1 n có giới hạn bằng:
 A. 1. B. 0 .C. 1.D. 2 .
 n
Ví dụ 10: Cho dãy số u với u . Chọn giá trị đúng của limu trong các số sau:
 n n 4n n
 1 1
 A. . B. . C. 0 . D. 1.
 4 2
 3sin n 4cos n
Ví dụ 11: lim bằng:
 n 1
 A. 1.B. 0 .C. 2 .D. 3. 
 P n 
DẠNG 3. Dãy số u có u (trong đó P n ,Q n là các đa thức của n)
 n n Q n 1.1 Phương pháp giải: Chia tử và mẫu cho nk với nk là lũy thừa có số mũ cao nhất của 
P n ,Q n , sau đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn
 5n2 3n 7
Ví dụ 1. limu , với u bằng:
 n n n2
 A. 0. B. 5. C. 3. D. 7.
 4n2 n 2
Ví dụ 2. Tính giới hạn lim
 2n2 n 1
 A. – 4 B. – 2 C. 2D. 4
 n4
Ví dụ 3. Tính giới hạn lim
 n 1 2 n n2 1 
 1 1
 A. 1B. C. D. 2
 4 2
 2 3 1 
Ví dụ 4. Tính giới hạn lim 2n 1 2 2 
 n 2n n 3n 1 
 A. 2B. 4C.6D. 8
Ví dụ 5. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ?
 3 2n3 2n2 3 2n 3n3 2n2 3n4
 A. lim B. lim C. lim D. lim
 2n2 1 2n3 4 2n2 1 2n3 n2
 P n 
DẠNG 4. Dãy số u có u (trong đó P n và Q n là các biểu thức chứa căn của 
 n n Q n 
n .
 Phương pháp giải: Đánh giá bậc của tử và và mẫu. Sau đó, chia cả tử và mẫu cho nk với k là 
số mũ lớn nhất của P n và Q n (hoặc rút nk là lũy thừa lớn nhất của P n và Q n ra làm 
nhân tử. Áp dụng các định lí về giới hạn để tìm giới hạn
 2n 1
Ví dụ 1. Tìm lim .
 n 1
 A.1.B. 2 .C. 3 .D. 2
 2n 2 n
Ví dụ 2. Tìm lim .
 n
 A. 2 1.B. 0 .C. 1.D. 2 .
 3 n3 n
Ví dụ 3. Tìm lim .
 3n 2
 3 1
 A. 2 .B. 1.C. .D. .
 2 3 2n 1 n 3
Ví dụ 4. Tìm lim .
 4n 5
 1 2 1 1
 A. .B. 1.C. .D. .
 4 2 2
 4n2 3 2n 1
Ví dụ 5. Tìm lim .
 n2 2n 3n
 1
 A. .B. 1.C. 0 .D. 2 .
 2
 2n 1 n2 2n 4
Ví dụ 6. Tìm lim .
 3n n2 7
 2 1 1
 A. .B. .C. 0 .D. .
 3 2 4
 4n2 3 2n 1
Ví dụ 7. Tìm lim .
 n( n2 3 2n)
 2 1 1
 A. .B. .C. 0 .D. .
 3 2 4
 4n2 1 3 8n3 2n2 3
Ví dụ 8. Tìm lim .
 16n2 4n 4 n4 1
 12 4 2 2 2 1
 A. .B. .C. .D. .
 15 3 15 4
DẠNG 5. Nhân với một lượng liên hợp
Ví dụ 1. Tìm lim n2 3n 5 n .
 3 3
 A. 0 .B. .C. .D. 1 .
 5 2
Ví dụ 2. Tìm lim 9n2 3n 4 3n 2 .
 1 5
 A. 0 .B. .C. 3 .D. .
 3 2
Ví dụ 3. Tìm lim 3 n3 3n2 n .
 1
 A. 1.B. 0 .C. 3 .D. .
 3
Ví dụ 4. Tìm lim 3 8n3 4n2 2 2n 3 .
 10
 A. 3 .B. 0 .C. 6 .D. .
 3 Ví dụ 5. Tìm lim n 3 4n2 n3 .
 4 4
 A. .B. .C. .D. 4 .
 3 3
Ví dụ 6. Tìm lim 4n2 3n 7 3 8n3 5n2 1 .
 1 7
 A. .B. .C. .D. .
 3 6
Ví dụ 7. Tìm lim n4 n2 1 3 n6 1 .
 5 1
 A. .B. .C. 1.D. 0 .
 6 2
 n2 n n
Ví dụ 8. Tìm lim .
 4n2 3n 2n
 3 2
 A. .B. .C. .D. 0 .
 8 3
 2n 4n2 n
Ví dụ 9. Tìm lim .
 n 3 4n2 n3
 3 3
 A. .B. .C. .D. 0 .
 16 16
Ví dụ 10.Tìm lim 2n 9n2 n n2 2n .
 7 5
 A. 0 .B. .C. 1.D. .
 6 6
 P n 
DẠNG 6. u (trong đó P n và Q n là các biểu thức chứa hàm mũ an ,bn ,cn ,...
 n Q n 
 Phương pháp giải: Chia cả tử và mẫu cho an trong đó a là cơ số lớn nhất.
 1 2n
Ví dụ 1. Tìm lim .
 1 2n
 2
 A. .B. 1 .C.1.D. 2 .
 3
 4n
Ví dụ 2. Tìm lim .
 2.3n 4n
 1 4 1
 A. 1.B. .C. .D. .
 2 3 3
 2n 4n
Ví dụ 3. Tìm lim .
 4n 3n 1 3 1
 A. 1.B. .C. .D. .
 2 4 3
 3.2n 5n
Ví dụ 4. Tìm lim .
 5.4n 6.5n
 1 1 3 2
 A. .B. .C. .D. .
 2 6 5 5
 3n 2.5n
Ví dụ 5. Tìm lim .
 7 3.5n
 2 1 1 2
 A. .B. .C. .D. .
 3 6 7 3
 4.3n 7n 1
Ví dụ 6. Tìm lim .
 2.5n 7n
 1
 A. 2 .B. .C. 7 .D. 1.
 7
 4n 2 6n 1
Ví dụ 7. Tìm lim .
 5n 1 2.6n 3
 1 1 5 5
 A. .B. .C. .D. .
 72 2 72 2
 2n 3n 4.5n 2
Ví dụ 8. Tìm lim .
 2n 1 3n 2 5n 1
 1
 A. .B. 1.C. 4 .D. 20 .
 5
 2n 3n 5n 2
Ví dụ 9. Tìm lim .
 2n 1 3n 2 5n 1
 A. 10.B. 1.C. 5 .D. 20 .
 2n 3n 4n 3
Ví dụ 10.Tìm lim .
 2n 3n 1 4n 1
 A. 256 .B. 1.C. 1.D. 64 .
 1 1 1 1 
Ví dụ 11. Tìm lim 2 3 ... n .
 5 5 5 5 
 2 1 5 1
 A. .B. .C. .D. .
 5 4 4 5
 n 1
 1 1 1 1 
Ví dụ 12.Tìm lim +...+ .
 n 
 2 4 8 2 
 1 1 1
 A. 0 .B. .C. .D. .
 2 2 3 1 1 1
 1 ... n
Ví dụ 13.Tìm lim 2 4 2 .
 1 1 1
 1 ... 
 3 9 3n
 3 1 4
 A. .B. 1.C. .D. .
 2 3 3
 1 2 22 23 ... 2n
Ví dụ 14.Tìm lim .
 1 3 32 33 ... 3n
 2 3
 A. 0 .B. .C. 1.D. .
 3 2
DẠNG 7: Dãy số un trong đó un là một tổng hoặc một tích của n số hạng (hoặc n thừa số)
Phương pháp: Rút gọn un rồi tìm lim un theo định lí hoặc dùng nguyên lí định lí kẹp để suy ra 
 *
 • Cho hai dãy số un và vn . Nếu un vn ,n ¥ với limvn 0 thì limun 0 .
 • Cho 3 dãy số xn , yn , zn và số thực L . Nếu xn yn zn và 
 lim xn lim zn L thì lim yn L .
 1 1 1 
Ví dụ 1. Tính giới hạn lim ... 
 1.3 3.5 2n 1 2n 1 
 1 1
 A. 1B. – 1 C. D. 
 2 2
 1 1 1 
Ví dụ 2. Tính giới hạn lim 1 1 ... 1 
 22 32 n2 
 1
 A. 0B. C. 1D. – 1 
 2
 3sin n 4cos n
Ví dụ 3. Tính giới hạn lim
 2n2 1
 A. 5B. 3C. 2D. 0
 sin n! 
Ví dụ 4. lim bằng
 n2 1
 A. 0. B. 1. C. . D. 2.
 1 n
Ví dụ 5. lim bằng
 n n 1 
 A. 1. B. 1. C. . D. 0.
GIỚI HẠN VÔ CỰC
DẠNG 8: GIỚI HẠN CỦA HÀM CHỨA ĐA THỨC HOẶC CĂN THEO n
Phương pháp: Rút bậc lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung . ( Tử riêng , mẫu riêng ) 
Ví dụ 1. Gía trị của lim n4 2n2 3 là . A. . B. . C. 1 . D. 4 .
Ví dụ 2. Giá trị của lim 2n3 3n 1 là .
 A. . B. 2 . C. . D. Không tồn 
 tại .
 3
Ví dụ 3. Giá trị của lim 2n2 4 là .
 A. 8 . B. . C. 2 . D. .
Ví dụ 4. Giá trị của lim 2n n3 2n 2 là .
 A. 1 . B. 1 . C. Không tồn tại . D. .
 2n4 3n3 2
Ví dụ 5. Giá trị của lim là .
 n3 2
 A. 2 . B. . C. Không tồn tại. D. .
 3
 2n 1 3n2 2 
Ví dụ 6. Giá trị của lim là .
 2n5 4n3 1
 A. . B. . C. 27 . D. 3 .
 3n2 2n4 3n 2
Ví dụ 7. Giá trị của lim là .
 4n 3n2 2
 3 2
 A. . B. . C. . D. Không tồn 
 4 3
 tại.
Ví dụ 8. lim n2 n 4n 1 bằng .
 A. 1. B. 3 . C. . D. .
DẠNG 9: GIỚI HẠN CỦA HÀM CHỨA LŨY THỪA BẬC n
Phương pháp:Rút cơ số lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung . ( Tử riêng , mẫu riêng ) .
Ví dụ 1. lim 5n 2n bằng .
 5
 A. . B. 3 . C. . D. .
 2
Ví dụ 2. lim 3.2n 1 5.3n 7n bằng .
 A. . B. . C. 3 . D. 5 .
 9n 3.4n
Ví dụ 3. Giá trị của lim là .
 6.7n 8n
 1
 A. 1 . B. . C. . D. .
 2
 3 32 33 ... 3n
Ví dụ 4. Giá trị của lim là .
 1 2 22 ... 2n
 3 2
 A. B. 3 . C. . D. 
 2 3