Bài tập Toán Lớp 11 - Hai mặt phẳng vuông góc

 HAI MẶT PHẲNG VUƠNG GĨC
A/ HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG.
 Nhận xét vị trí tương đối của cánh cửa với nền nhà ? 
 Cửa sổ này mở ra được gĩc bao nhiêu độ?
B/ HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC.
 I. GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG.
 1. Định ngĩa. 
 HĐ 1.1. Hình thành kiến thức
 Gĩc giữa hai mặt phẳng là gĩc giữa hai đường thẳng lần lượt vuơng gĩc với hai 
 mặt phẳng đĩ.
 a
 b
 P
 Q HĐ 1.2 Củng cố Gợi ý
 a)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cĩ + BDA’A, BDAO
O là giao điểm của AC và BD, H là hình BD(A’AO) BD AH
chiếu của A trên A’O. + BDAH, AHA’O
 a) Chứng minh AH  (A’BD) AH(A’BD)
 b) Xác định gĩc giữa hai mặt phẳng
 (A’BD) và (ABCD) b)
 AH(A’BD), A’A(ABCD) gĩc giữa 
 A' hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD) là gĩc 
 D'
 (A’A, AH)= A’AH
 C'
 B'
 H
 A D
 O
 B C
 2. Cách xác định gĩc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
HĐ 2.1: Khởi động
* GV: So sánh gĩc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD) với gĩc (A’O,AO)?
* HS: Hai gĩc bằng nhau
HĐ 2.2: Hình thành kiến thức
* GV: BD là giao tuyến của hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD), Trong (A’BD) cĩ BD  
A’O tại O, trong (ABCD) cĩ BD  AO tại O. Mà gĩc (A’O,AO) bằng gĩc giữa hai mặt 
phẳng (A’BD) và (ABCD) 
* Cách xác định gĩc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (α) và (β):
B1: Xác định giao tuyến c = (α)  (β)
B2: Từ I trên c, trong (α) kẻ a  c , trong (β) kẻ b  c
B3: Gĩc giữa (α) và (β) bằng gĩc (a,b) HĐ 2.3 Củng cố Gợi ý
Ví dụ: Cho hình chop S.ABC cĩ đáy là 
tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuơng 
gĩc với mặt phẳng (ABC) và SA = a/2. + Gọi H là trung điểm của BC
Tính cosin gĩc giữa hai mặt phẳng (ABC) + Tam giác ABC đều cĩ AH  BC tại H
và (SBC). + BC  (SAH) BC  SH tại H
 + Gĩc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) 
 S
 bằng SHA
 3
 + cosSHA= 
 2
 A
 C
 H
 B
 3. Diện tích hình chiếu của một đa giác
 HĐ 3.1 Khởi động 
 * GV: Trong ví dụ trên hãy tính tỉ số diện tích tam giác ABC và SBC
 3
 * HS: Tỉ số bằng 
 2
 *GV: Nêu hình chiếu của tam giác SBC trên (ABC)
 * HS: tam giác ABC là hình chiếu của tam giác SBC trên (ABC)
 HĐ 3.2 Hình thành kiến thức
 Từ hoạt động trên tổng quát lên ta cĩ tính chất:
 Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng (α) cĩ diện tích S và H’ là hình chiếu vuơng gĩc 
 của H trên mặt phẳng (β). Khi đĩ diện tích S’ cùa H’ được tính theo cơng thức: 
 S’ = S.cos với là gĩc giữa (α) và (β). II. HAI MẶT PHẲNG VUƠNG GĨC.
 1. Định nghĩa 
HĐ 1.1: Hình thành định nghĩa
 * GV:Từ định gĩc giữa hai mặt phẳng, nêu miền giá trị của gĩc giữa hai mặt phẳng
 * HS: 00 ≤ ≤ 900 
 * GV: Khi gĩc giữa hai mặt phẳng bằng 900 ta nĩi hai mặt phẳng đĩ vuơng gĩc với 
 nhau
 Định nghĩa: SGK
HĐ 1.2: Hoạt động củng cố
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, chỉ ra các cặp mặt phẳng vuơng gĩc .
Hướng dẫn
 A'
 D' + (ABCD)  (A’ABB’)
 C' + (ABCD)  (A’ADD’)
 B'
 + (ABCD)  (A’ACC’)
 H + 
 A D
 O
 B C
Ví dụ 2: Quan sát phong học và chỉ ra các hình ảnh trực quan về hai mặt phẳng vuơng gĩc 
trong thực tiễn:
Hướng dẫn 
+ Tường nhà vuơng gĩc với nền nhà
+ Cánh cửa vuơng gĩc với trần nhà
+ 2. Các định lí
HĐ 2.1 Hoạt động hình thành kiến thức
*GV: Từ ví dụ 1 của phần 1 ta thấy các mặt phẳng chứa A’A đều vuơng gĩc với (ABCD), 
phải chăng mọi mặt phẳng chứa A’A đều vuơng gĩc với (ABCD)? Định lí sau sẽ giúp ta trả 
lời câu hỏi này
Định lí: SGK
HĐ 2.2 Hoạt động vận dụng
Ví dụ : Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng tại B, SA vuơng gĩc với đáy.
a/ Chứng minh (SAB)  (SBC)
b/ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh (AHK)  (SBC).
Hướng dẫn
 S
 a/ BC  (SAB) (SBC)(SAB)
 b/ AK(SBC) (AHK) (SBC)
 H
 K
 A C
 B
C/ HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
* Gĩc giữa hai mặt phẳng
1. Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA  (ABC) và SA = a. 
 Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
 a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
 b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC).
 3
 HD: a) (·SAC),(SBC) = 600 b) cos((·SEF),(SBC)) .
 10
2. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA  (ABCD). Tính SA theo a để số đo của góc giữa hai mặt 
 phẳng (SCB) và (SCD) bằng 600.
3. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a; 
 SA  (ABCD) và SA = a 3 .
 a) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC).
 b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD).
 10
 HD: a) tan((·SAD),(SBC)) 7 b) cos((·SBC),(SCD)) 
 5 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a 3 . Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:
 a) (SBC) và (ABC) b) (SBD) và (ABD) c) (SAB) và (SCD)
 HD: a) 600 b) arctan 6 c) 300.
5. Cho hình chóp SABCD có SA  (ABCD) và SA = a 2 , đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D 
 với AB = 2a, AD = DC = a. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng:
 a) (SBC) và (ABC) b) (SAB) và (SBC) c) (SBC) và (SCD)
 6
 HD: a) 450 b) 600 c) arccos .
 3
* Bài tốn chứng minh hai mặt phẳng vuơng gĩc
1.Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng 
 vuông góc vơi mp(ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a 6 . Chứng minh hai mặt phẳng 
 (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.
2.Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đường 
 cao BE, DF của BCD, đường cao DK của ACD.
 a) Chứng minh: AB  (BCD).
 b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC).
 c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC. CMR: OH  (ADC).
3.Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA  (ABCD).
 a) Chứng minh (SAC)  (SBD).
 b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD).
 c) Gọi BE, DF là hai đường cao của SBD. CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC).
 HD: b) 900.
4.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD). Gọi M, N là 2 điểm 
 a 3a
 lần lượt ở trên 2 cạnh BC, DC sao cho BM = , DN = . Chứng minh 2 mặt phẳng (SAM) 
 2 4
 và (SMN) vuông góc với nhau.
5.Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB và CC cùng vuông góc với mp(ABC).
 a) Chứng minh (ABB )  (ACC ).
 b) Gọi AH, AK là các đường cao của ABC và AB C . Chứng minh 2 mặt phẳng (BCC B ) 
 và (AB C ) cùng vuông góc với mặt phẳng (AHK).
D/ HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG
Câu 1: Câu 2:
Câu 3:
Câu 4: 
Câu 5: E/ HOẠT ĐỘNG TÌM TỊI MỞ RỘNG. Em cĩ biết?
 Hình học cổ đại
Một phần của tác phẩm "Các yếu tố" của Euclidviết trên giấy lau sậy.
Sự khởi đầu ghi nhận sớm nhất của hình học bắt đầu từ thời cổ đại, khi con người khám phá hình tam 
giác tù trong Thung lũng Indus cổ đại (xem tốn học thời Harappan), và Babylon cổ đại (xem tốn học 
thời Babylon) từ khoảng 3000 năm TCN. Hình học cổ đại - một tập hợp các cơng thức thực nghiệm liên 
quan đến độ dài, gĩc, diện tích, và khối lượng - được phát triển để đáp ứng một số nhu cầu thực tế 
trong khảo sát, xây dựng, thiên văn học, nơng nghiệp và hàng loạt ngành nghề khác nhau. Trong số đĩ 
cĩ một số cơng thức phức tạp đến mức đáng ngạc nhiên, và một nhà tốn học hiện đại cũng khĩ mà 
chứng minh được các cơng thức trên nếu khơng sử dụng vi phân hay tích phân. Ví dụ: cả người Ai Cập 
và người Babylon đã nhận thức được các phiên bản của định lý Pythagore khoảng 1500 năm 
trước Pythagoras; người Ai Cập đã cĩ một cơng thức chính xác cho thể tích của một hình chĩp cụt của 
một kim tự tháp vuơng.