Bài tập Toán Lớp 12 - Chủ đề: Nguyên hàm. Tích phân và ứng dụng - Trường THPT Trực Ninh

 CHUÛ ÑEÀ NGUYEÂN HAØM -–TÍCH PHAÂN
 VAØ ÖÙNG DUÏNG
 TỔNG HỢP KIẾN THỨC
 Baøi 01
 NGUYEÂN HAØM
1. Định nghĩa
 Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng K . Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm 
của hàm số f (x) nếu F '(x)= f (x) với mọi x Î K .
 Nhận xét. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) thì F (x)+ C, (C Î ¡ ) cũng là 
nguyên hàm của f (x).
 Ký hiệu: ò f (x)dx = F (x)+ C .
2. Tính chất
 /
 . (ò f (x)dx) = f (x).
 . ò a. f (x)dx = a.ò f (x)dx (a Î ¡ , a ¹ 0).
 é ù
 . ò ëf (x)± g(x)ûdx = ò f (x)dx ± ò g(x)dx .
3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
 Bảng nguyên hàm
 ò kdx = kx + C , k là hằng số
 a + 1 a + 1
 a x a 1 (ax + b)
 ò x dx = + C (a ¹ - 1) (ax + b) dx = . + C
 a + 1 ò a a + 1
 1 1 1
 dx = ln x + C dx = ln ax + b + C
 ò x ò ax + b a
 x x 1
 ò e dx = e + C e ax + b dx = e ax + b + C
 ò a
 a x amx + n
 a x dx = + C amx + ndx = + C
 ò ln a ò m.ln a
 1
 ò cos xdx = sin x + C cos(ax + b)dx = sin(ax + b)+ C
 ò a
 1
 ò sin xdx = - cos x + C sin(ax + b)dx = - cos(ax + b)+ C
 ò a
 1 1 1
 dx = tan x + C dx = tan(ax + b)+ C
 ò cos2 x ò cos2 (ax + b) a
 155 1 1 1
 dx = - cot x + C dx = - cot(ax + b)+ C
 ò sin2 x ò sin2 (ax + b) a
 CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM
Câu 1. Hàm số f (x) có nguyên hàm trên K nếu:
 A. f (x) xác định trên K .B. f (x) có giá trị lớn nhất trên K .
 C. f (x) có giá trị nhỏ nhất trên K .D. f (x) liên tục trên K .
Câu 2. Mệnh đề nào sau đây sai?
 A. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên (a;b) 
 và C là hằng số thì ò f (x)dx = F (x)+ C .
 B. Mọi hàm số liên tục trên (a;b) đều có nguyên hàm trên (a;b).
 C. F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên (a;b)Û F / (x)= f (x), " x Î (a;b).
 /
 D. (ò f (x)dx) = f (x).
Câu 3. Xét hai khẳng định sau:
 (I) Mọi hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] đều có đạo hàm trên đoạn đó.
 (II) Mọi hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
 Trong hai khẳng định trên:
 A. Chỉ có (I) đúng.B. Chỉ có (II) đúng.
 C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.
Câu 4. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn [a;b] nếu:
 A. Với mọi x Î (a;b), ta có F / (x)= f (x).
 B. Với mọi x Î (a;b), ta có f / (x)= F (x).
 C. Với mọi x Î [a;b], ta có F / (x)= f (x).
 D. Với mọi x Î (a;b), ta có F / (x)= f (x), ngoài ra F / (a+ )= f (a) và F / (b- )= f (b).
Câu 5. Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số f xác định trên 
 khoảng D , câu nào là sai?
 (I) F là nguyên hàm của f trên D nếu và chỉ nếu " x Î D : F '(x)= f (x).
 (II) Nếu f liên tục trên D thì f có nguyên hàm trên D .
 (III) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.
 A. Không có câu nào sai.B. Câu (I) sai.
 C. Câu (II) sai.D. Câu (III) sai.
Câu 6. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng (a;b). Giả sử G (x) 
 cũng là một nguyên hàm của f (x) trên khoảng (a;b). Khi đó:
156 A. F (x)= G (x) trên khoảng (a;b).
 B. G(x)= F (x)- C trên khoảng (a;b), với C là hằng số.
 C. F (x)= G (x)+ C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định, C là hằng số.
 D. Cả ba câu trên đều sai.
Câu 7. Xét hai câu sau:
 (I) ò( f (x)+ g(x))dx = ò f (x)dx + ò g(x)dx = F (x)+ G(x)+ C , 
 trong đó F (x) và G (x) tương ứng là nguyên hàm của f (x), g (x).
 (II) Mỗi nguyên hàm của a. f (x) là tích của a với một nguyên hàm của f (x).
 Trong hai câu trên:
 A. Chỉ có (I) đúng.B. Chỉ có (II) đúng.
 C. Cả hai câu đều đúng.D. Cả hai câu đều sai.
Câu 8. Các khẳng định nào sau đây là sai?
 A. ò f (x)dx = F (x)+ C Þ ò f (t)dt = F (t)+ C .
 /
 B. é f (x)dxù = f (x).
 ëêò ûú
 C. ò f (x)dx = F (x)+ C Þ ò f (u)dx = F (u)+ C .
 D. ò kf (x)dx = kò f (x)dx ( k là hằng số).
Câu 9. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
 A. F (x)= x 2 là một nguyên hàm của f (x)= 2x .
 B. F (x)= x là một nguyên hàm của f (x)= 2 x .
 C. Nếu F (x) và G (x) đều là nguyên hàm của hàm số f (x) thì F (x)- G (x)= C 
 (hằng số).
 é + ùd = d + d
 D. ò ëf1 (x) f 2 (x)û x ò f1 (x) x ò f 2 (x) x .
Câu 10. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
 A. Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thì mọi nguyên hàm của f (x) 
 đều có dạng F (x)+ C (C là hằng số).
 u/ (x)
 B. dx = log u(x) + C .
 ò u(x)
 C. F (x)= 1+ tan x là một nguyên hàm của hàm số f (x)= 1+ tan2 x .
 D. F (x)= 5- cos x là một nguyên hàm của hàm số f (x)= sin x .
Câu 11. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
 1
 A. 0dx = C (C là hằng số).B. dx = ln x + C (C là hằng số).
 ò ò x
 x a + 1
 C. x a dx = + C (C là hằng số).D. dx = x + C (C là hằng số).
 ò a + 1 ò
 157 1
Câu 12. Hàm số f (x)= có nguyên hàm trên:
 cos x
 æ ö é ù
 ç p p÷ p p
 A. (0;p).B. ç- ; ÷.C. (p;2p).D. ê- ; ú.
 èç 2 2ø ëê 2 2 ûú
 3
 (x - 1)
Câu 13. Một nguyên hàm của hàm số y = f (x)= là kết quả nào sau đây?
 2x 2
 4
 x 2 3x 1 3(x - 1)
 A. F (x)= - + ln x + .B. F (x)= .
 4 2 2x 4x 3
 x 2 3x 1 1
 C. F (x)= - - - .D. Một kết quả khác.
 4 2 x 2 2x 3
Câu 14. Tính ò e x .e x + 1dx ta được kết quả nào sau đây?
 1
 A. e x .e x+1 + C .B. e 2x+1 + C .C. 2e 2x+1 + C .D. Một kết quả khác.
 2
 4
Câu 15. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f (x)= (x - 3) ?
 5 5
 (x - 3) (x - 3)
 A. F (x)= + x .B. F (x)= .
 5 5
 5 5
 (x - 3) (x - 3)
 C. F (x)= + 2017 .D. F (x)= - 1 .
 5 5
 3
Câu 16. Hàm số F (x)= e x là một nguyên hàm của hàm số:
 x3
 3 3 e 3
 A. f (x)= e x .B. f (x)= 3x 2.e x .C. f (x)= .D. f (x)= x 3.e x - 1 .
 3x 2
 ln 2
Câu 17. Cho I = 2 x dx . Khi đó kết quả nào sau đây là sai?
 ò x
 A. I = 2 x + C .B. I = 2 x + 1 + C .C. I = 2(2 x + 1)+ C .D. I = 2(2 x - 1)+ C .
 1 ln 2
Câu 18. Cho I = 2 2x . dx . Khi đó kết quả nào sau đây là sai? 
 ò x 2
 1 1
 æ ö + 1
 ç 2x ÷ 2x
 A. I = 2ç2 + 2÷+ C .B. I = 2 + C .
 èç ø÷
 1 æ 1 ö
 2x ç 2x ÷
 C. I = 2 + C .D. I = 2ç2 - 2÷+ C .
 èç ø÷
 x 3
Câu 19. Nếu f (x)dx = + e x + C thì f (x) bằng:
 ò 3
 x 4 x 4
 A. f (x)= + e x .B. f (x)= 3x 2 + e x .C. f (x)= + e x .D. f (x)= x 2 + e x .
 3 12
158 Câu 20. Nếu ò f (x)dx = sin 2x cos x thì f (x) là:
 1 1
 A. f (x)= (3cos3x + cos x).B. f (x)= (cos3x + cos x).
 2 2
 1 1
 C. f (x)= (3cos3x - cos x).D. f (x)= (cos3x - cos x).
 2 2
 1
Câu 21. Nếu f (x)dx = + ln x + C thì f (x) là:
 ò x
 1
 A. f (x)= x + ln x + C .B. f (x)= - x + + C .
 x
 1 x - 1
 C. f (x)= - + ln x + C .D. f (x)= .
 x 2 x 2
Câu 22. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số 
 còn lại?
 1
 A. f (x)= sin 2x và g(x)= cos2 x .B. f (x)= tan2 x và g(x)= .
 cos2 x 2
 C. f (x)= e x và g(x)= e- x .D. f (x)= sin 2x và g(x)= sin2 x .
Câu 23. Tìm số thực m để hàm số F (x)= mx 3 + (3m + 2)x 2 - 4x + 3 là một nguyên hàm 
 của hàm số f (x)= 3x 2 + 10x - 4 .
 A. m = - 1. B. m = 0 .C. m = 1.D. m = 2 .
Câu 24. Cho hàm số f (x)= x 2 .e x . Tìm a, b, c để F (x)= (ax 2 + bx + c).e x là một nguyên 
 hàm của hàm số f (x).
 A. (a;b;c)= (1;2;0). B. (a;b;c)= (1;- 2;0). 
 C. (a;b;c)= (- 1;2;0). D. (a;b;c)= (2;1;0).
Câu 25. Để F (x)= (a cos x + b sin x)e x là một nguyên hàm của f (x)= e x cos x thì giá trị 
 của a, b là:
 1
 A. a = 1, b = 0 .B. a = 0, b = 1 .C. a = b = 1 .D. a = b = .
 2
Câu 26. Giả sử hàm số f (x)= (ax 2 + bx + c).e- x là một nguyên hàm của hàm số 
 g (x)= x (1- x)e- x . Tính tổng A = a + b + c , ta được:
 A. A = - 2 .B. A = 4 .C. A = 1 .D. A = 3 .
 20x 2 - 30x + 7 3
Câu 27. Cho các hàm số f (x)= ; F (x)= (ax 2 + bx + c) 2x - 3 với x > . 
 2x - 3 2
 Để hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thì giá trị của a, b, c là:
 A. a = 4, b = 2, c = 1 .B. a = 4, b = - 2, c = - 1 .
 C. a = 4, b = - 2, c = 1 .D. a = 4, b = 2, c = - 1 .
 159 Câu 28. Với giá trị nào của a, b, c, d thì F (x)= (ax + b).cos x + (cx + d).sin x là một 
 nguyên hàm của f (x)= x cos x ?
 A. a = b = 1, c = d = 0. B. a = d = 0, b = c = 1. 
 C. a = 1, b = 2, c = - 1, d = - 2. D. Kết quả khác.
Câu 29. Một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x)= sin2 x là kết quả nào sau đây, biết 
 p p
 nguyên hàm này bằng khi x = ?
 8 4
 sin3 x x sin 2x
 A. F (x)= . B. F (x)= - .
 3 2 4
 x sin 2x 1 sin3 x 2
 C. F (x)= - + . D. F (x)= - .
 2 4 4 3 12
 1
Câu 30. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là f '(x)= và f (1)= 1 thì f (5) có giá 
 2x - 1
 trị bằng:
 A. ln 2. B. ln 3. C. ln 2 + 1. D. ln 3+ 1. 
 4m
Câu 31. Cho hàm số f (x)= + sin2 x . Tìm m để nguyên hàm F (x) của f (x) thỏa 
 p
 æpö p
 mãn F (0)= 1 và F ç ÷= .
 èç4ø÷ 8
 4 3 3 4
 A. m = - .B. m = .C. m = - .D. m = .
 3 4 4 3
 1
Câu 32. Cho hàm số y = f (x)= . Nếu F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) và 
 sin2 x
 æp ö
 đồ thị y = F (x) đi qua điểm M ç ;0÷ thì F (x) là:
 èç6 ø÷
 3 3
 A. F (x)= - cot x .B. F (x)= - + cot x.
 3 3
 C. F (x)= - 3 + cot x. D. F (x)= 3 - cot x.
Câu 33. Giả sử F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x)= 4x - 1. Đồ thị của hàm số F (x) 
 và f (x) cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Tọa độ các điểm chung của hai đồ thị 
 hàm số trên là:
 æ5 ö æ5 ö æ5 ö
 A. (0;- 1).B. ç ;9÷.C. (0;- 1) và ç ;9÷.D. ç ;8÷.
 èç2 ø÷ èç2 ø÷ èç2 ø÷
160  Baøi 02
 MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP TÌM NGUYEÂN HAØM
1. Phương pháp đổi biến số
 é ù é ù
 Nếu ò f (x)dx = F (x)+ C thì ò f ëu(x)û.u '(x)dx = F ëu(x)û+ C .
 Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I = ò f (x)dx , trong đó ta có thể phân tích 
 f (x)= g(u(x))u '(x) thì ta thực hiện phép đổi biến số t = u(x), suy ra dt = u '(x)dx . 
 é ù
 Khi đó ta được nguyên hàm: ò g(t)dt = G(t)+ C = G ëu(x)û+ C.
 Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t = u(x).
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần
 Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b]. 
 Khi đó: òudv = uv - òvdu. (*)
 Để tính nguyên hàm ò f (x)dx bằng từng phần ta làm như sau:
 Bước 1. Chọn u, v sao cho f (x)dx = udv (chú ý dv = v '(x)dx ). 
 Sau đó tính v = ò dv và du = u '.dx .
 Bước 2. Thay vào công thức (*) và tính òvdu .
 Chú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân 
 òvdu dễ tính hơn òudv . Ta thường gặp các dạng sau
 ésin x ù
 I = P x ê údx P x
 ● Dạng 1. ò ( )ê ú , trong đó ( ) là đa thức.
 ëcos xû
 ì
 ï u = P (x)
 ï
 Với dạng này, ta đặt í ésin x ù .
 ï dv = ê údx
 ï ê ú
 îï ëcos xû
 ● Dạng 2. I = ò P (x)e ax + b dx , trong đó P (x) là đa thức. 
 ì
 ï u = P (x)
 Với dạng này, ta đặt í .
 ï ax + b
 îï dv = e dx
 ● Dạng 3. I = ò P (x)ln(mx + n)dx , trong đó P (x) là đa thức.
 ì
 ï u = ln(mx + n)
 Với dạng này, ta đặt í .
 ï
 îï dv = P (x)dx
 161 ésin x ù
 I = ê úe x dx
 ● Dạng 4. ò ê ú .
 ëcos xû
 ïì ésin x ù
 ï u = ê ú
 Với dạng này, ta đặt íï êcos xú.
 ï ë û
 ï x
 îï dv = e dx
 CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM
 Vấn đề 1. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Câu 34. Câu nào sau đây sai?
 A. Nếu F '(t)= f (t) thì F / (u(x))= f (u(x)).
 B. ò f (t)dt = F (t)+ C Þ ò f (u(x))u '(x)dx = F (u(x))+ C .
 C. Nếu G (t) là một nguyên hàm của hàm số g (t) thì G (u(x)) là một nguyên hàm 
 của hàm số g (u(x)).u/ (x).
 D. ò f (t)dt = F (t)+ C Þ ò f (u)du = F (u)+ C với u = u(x).
Câu 35. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
 A. Nếu ò f (t)dt = F (t)+ C thì ò f (u(x)).u/ (x)dx = F (u(x))+ C .
 é ù
 B. Nếu F (x) và G (x) đều là nguyên hàm của hàm số f (x) thì ò ëF (x)- G(x)ûdx có 
 dạng h(x)= Cx + D (C, D là các hằng số và C ¹ 0 ).
 C. F (x)= 7 + sin2 x là một nguyên hàm của f (x)= sin 2x .
 u/ (x)
 D. dx = u(x)+ C .
 ò u(x)
Câu 36. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số 
 f (x)= 2x - 1.
 2 1
 A. f (x)dx = (2x - 1) 2x - 1 + C. B. f (x)dx = (2x - 1) 2x - 1 + C.
 ò 3 ò 3
 1 1
 C. f (x)dx = - 2x - 1 + C. D. f (x)dx = 2x - 1 + C.
 ò 3 ò 2
 e ln x
Câu 37. Để tính dx theo phương pháp đổi biến số, ta đặt:
 ò x
 1
 A. t = e ln x . B. t = ln x. C. t = x. D. t = .
 x
162 2
Câu 38. F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = xe x .
 Hàm số nào sau đây không phải là F (x):
 1 2 1 2
 A. F (x)= e x + 2 . B. F (x)= e x + 5 . 
 2 2 ( )
 1 2 1 2
 C. F (x)= - e x + C . D. F (x)= - 2- e x .
 2 2 ( )
 ln x
Câu 39. F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = . 
 x
 ln x
 Nếu F (e 2 )= 4 thì dx bằng:
 ò x
 ln2 x ln2 x
 A. F (x)= + C . B. F (x)= + 2 . 
 2 2
 ln2 x ln2 x
 C. F (x)= - 2 .D. F (x)= + x + C .
 2 2
Câu 40. F (x) là một nguyên hàm của hàm số y = e sin x cos x . 
 Nếu F (p)= 5 thì ò e sin x cos xdx bằng:
 A. F (x)= e sin x + 4 . B. F (x)= e sin x + C .
 C. F (x)= e cos x + 4 .D. F (x)= e cosx + C .
Câu 41. F (x) là nguyên hàm của hàm số y = sin4 x cos x . 
 F (x) là hàm số nào sau đây?
 cos5 x cos4 x
 A. F (x)= + C . B. F (x)= + C .
 5 4
 sin4 x sin5 x
 C. F (x)= + C .D. F (x)= + C .
 4 5
Câu 42. Xét các mệnh đề sau, với C là hằng số:
 (I) ò tan x dx = - ln(cos x)+ C .
 1
 (II) e 3cos x sin x dx = - e 3cos x + C .
 ò 3
 cos x + sin x
 (III) dx = 2 sin x - cos x + C .
 ò sin x - cos x
 Số mệnh đề đúng là:
 A. 0 .B. 1.C. 2 .D. 3 .
 163 Vấn đề 2. PHƯƠNG PHÁP LẤY NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Câu 43. Để tính ò x ln(2 + x)dx theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:
 ïì u = x ïì u = ln(2 + x)
 A. íï . B. íï .
 ï ï
 îï dv = ln(2 + x)dx îï dv = xdx
 ïì u = x ln(2 + x) ïì u = ln(2 + x)
 C. íï . D. íï .
 ï ï
 îï dv = dx îï dv = dx
Câu 44. Để tính ò x 2 cos x dx theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:
 ì 2 ì ì 2
 ïì u = x ï u = x ï u = cos x ï u = x cos x
 A. í . B. í . C. í 2 . D. í .
 îï dv = x cos xdx îï dv = cos xdx îï dv = x dx îï dv = dx
Câu 45. Kết quả của I = ò xe x dx là:
 x 2
 A. I = e x + xe x + C .B. I = e x + C .
 2
 x 2
 C. I = xe x - e x + C .D. I = e x + e x + C .
 2
Câu 46. Hàm số f (x)= (x - 1)e x có một nguyên hàm F (x) là kết quả nào sau đây, biết 
 nguyên hàm này bằng 1 khi x = 0 ?
 A. F (x)= (x - 1)e x .B. F (x)= (x - 2)e x .
 C. F (x)= (x + 1)e x + 1 .D. F (x)= (x - 2)e x + 3 .
Câu 47. Một nguyên hàm của f (x)= x ln x là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này 
 triệt tiêu khi x = 1?
 1 1 1 1
 A. F (x)= x 2 ln x - (x 2 + 1).B. F (x)= x 2 ln x + x + 1 .
 2 4 2 4
 1 1
 C. F (x)= x ln x + (x 2 + 1).D. Một kết quả khác.
 2 2
 ln(ln x)
Câu 48. Tính nguyên hàm I = dx được kết quả nào sau đây?
 ò x
 A. I = ln x.ln(ln x)+ C. B. I = ln x.ln(ln x)+ ln x + C.
 C. I = ln x.ln(ln x)- ln x + C. D. I = ln(ln x)+ ln x + C.
Câu 49. Tính nguyên hàm I = ò sin x.e x dx , ta được:
 1 1
 A. I = (e x sin x - e x cos x)+ C . B. I = (e x sin x + e x cos x)+ C . 
 2 2
 C. I = e x sin x + C . D. I = e x cos x + C . 
164