Chuyên đề Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Trường THPT Trần Hưng Đạo

 DẠY GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ 
NHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG KỲ THI THPTQG 
 NỘI DUNG 
 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, 
 GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
 2. CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA 
 3. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THEO 4 CẤP 
 ĐỘ 
 4. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN 
 VẬN DỤNG CAO 
 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
A. LÝ THUYẾT 
 1) Định nghĩa: Cho hàm số y fx( ) xác định trên tập D . 
 • Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y fx( ) trên tập D nếu fx( ) M với 
 mọi x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho fx(0 ) M . 
 Kí hiệu : M Maxf( x ) 
 D
 • Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y fx( ) trên tập D nếu fx( ) m với 
 mọi x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho fx(0 ) m . 
 Kí hiệu: m Minf( x ) 
 D
 2) Tìm GTLN-GTNN của hàm số y fx( ) trên miền D: 
 Bước 1: Tính f'( x ) . Tìm các điểm trên miền D mà tại đó f'( x ) 0 hoặc f'( x ) 
 không xác định. 
 Bước 2: Lập bảng biến thiên 
 Bước 3: Từ bảng biến thiên suy ra Min f(), x Max f () x 
 D D
 3) Tìm GTLN,GTNN của hàm số y fx( ) liên tục trên đoạn a; b : 
 Bước 1: Tính đạo hàm f'( x ) . 
 Bước 2: Tìm các điểm xx1, 2 ,..., xn trên đoạn a; b mà tại đó f'( x ) 0 hoặc f'( x ) 
 không xác định. 
 Bước 3: Tính các giá trị f( a ), f ( x1 ), f ( x 2 ),..., f ( xn ), f ( b ) 
 Bước 4: Kết luận 
 minfxm ( ) min fafxfx ( ), (1 ), ( 2 ),..., fxfb (n ), ( )
 a; b 
 maxfxM ( ) max fafxfx ( ), (1 ), ( 2 ),..., fxfb (n ), ( ) 
 a; b 
 Lưu ý: • Trên khoảng a; b thì minf ( x ) và maxf ( x ) có thể không tồn tại. 
 a; b a; b 
 • Nếu hàm số xác định và liên tục trên đoạn a; b thì sẽ đạt GTLN và 
 GTNN trên đoạn a; b B. BÀI TẬP MINH HỌA 
 Ví dụ 1(NB): Cho hàm số y fx( ) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Khẳng định 
 nào sau đây đúng? 
 x 0 2 
 y’ 0 
 3 
 y 
 1 1 
 A.Giá trị lớn nhất của hàm số là 3 . 
 B.Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x 2 
 C.Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1 . 
 D.Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 
 Ví dụ 2(NB): Hàm số nào sau đây không có GTLN và GTNN trên đoạn  3;1 
 A. y x3 1 B. y x4 x 2 2 
 2x 1
 C. y D. y x 3 
 x
 Ví dụ 3(TH): GTNN và GTLN của hàm số f( x ) 2x3 12x 2 18x 10 trên đoạn 0;4 là 
 A. 10 và 2 B. 1 và 3 C. 10 và 8 D. 1 và 8 
 Hướng dẫn giải: 
 x 1 0;4
 Cách 1: f'( x ) 6x2 24x 18 , f'( x ) 0 
 x 3  0;4 
 f(0 10, f (1) 2, f (3) 10, f (4) 2 
 Vậy GTNN và GTLN của hàm số trên đoạn 0;4 là 10 và 2 . Chọn A 
 Cách 2: (Tư duy truy hồi) 
 Nếu có a là giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của hàm số f( x ) trên miền D thì 
 điều kiện cần là phương trình f( x ) a có nghiệm thuộc tập D . Phương trình fx( ) 10 2x3 12x 2 18x 10 10 xx 0, 3 0,4 . 
 Vậy 10 là GTNN 
 Phương trình fx( ) 8 2x3 12x 2 18x 10 8 x 4,4  0,4 . 
 Vậy 8 không là GTLN. Suy ra đáp án A. 
 1 
Ví dụ 4(TH): Giá trị của x để hàm số fx( ) x4 2x 2 3 đạt GTLN trên 2; là: 
 2 
 1
 A. 2 B. 1 C. 0 D. 
 2
 Hướng dẫn giải: 
 1 
 x 0 2;
 2 
 3 1 
 Cách 1: fx'() 4x 4x0 x 1 2; 
 2 
 1 
 x 1 2; 
 2 
 1 41
 ff(0) 3, ( 1) 2, f ( 2) 11, f ( ) 
 2 16
 Vậy hàm số đạt GTLN tại x 1 . Chọn đáp án B 
 Cách 2: (Tư duy truy hồi) 
 calc
 Dùng máy tính Casio nhập hàm X4 2 X 2 3 
 Ta gắn X bởi các giá trị mà đáp án cho , chọn đáp án tương ứng với X có 
 GTLN 
 X 2 11 X 1 2
 1 41 
 X 0 3 X 
 2 16
 Chọn đáp án B với x 1 
 xm 2 m
Ví dụ 5(VD): Giá trị nào của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f( x ) 
 x 1
 trên đoạn 0;1 bằng 2 ? 
 A. m 1; m 2 B. m 1; m 2 
 C. m 1; m 2 D. m 1; m 2 
 Hướng dẫn giải: 1 m m2
 Cách 1: fx'( ) 2  0 m .Vậy f( x ) đồng biến trên đoạn 0;1 với mọi m . 
 x 1 
 Suy ra minfxf () (0) mm2 . 
 0;1 
 Do đó yêu cầu bài toán mm2 2 m 1; m 2 .Chọn B 
 Cách 2: (Tư duy loại trừ) 
 x 2 3
 Thay m 1 ta có fx( ) fx '( ) 0 min fxf ( ) (0) 2 . 
 x 1 x 1 2
 Vậy loại C,D 
 x 6 7
 Thay m 2 ta có fx( ) fx '( ) 0 min fxf ( ) (0) 6 . 
 x 1 x 1 2
 Vậy loại A. Chọn B 
 2.3x 9 x
 e 
Ví dụ 6(VD): Giá trị nào của x để hàm số y đạt giá trị nhỏ nhất 
 A. x 1 B. x 3 C.Không có x D. x 0 
Hướng dẫn giải: 
 Nếu không có đáp án C ta có thể làm theo tư duy truy hồi như cách 2 của VD2 
 Nhưng do có đáp án C nên phải giải cụ thể. 
 2t t2 2t t2
 x e e e
 Đặt 3 tt ( 0) y .Tính y' 2 2 t ln 
 2t t2
 e e
 Do 0 , ln 0 ,nên có BBT như sau: 
 x 0 1 
 y’ 0 
 y 
 Vậy hàm số đạt GTNN tại t 1 x 0 .Chọn D 
 Ví dụ 7(VD): Xét các số thực a, b thỏa mãn a b 1.Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu 
 2 2 a 
 thức P loga a 3log b . 
 b b 
 A. Pmin 19 B. Pmin 13 C. Pmin 14 D. Pmin 15 
Hướng dẫn giải: 
 4 4 1 
 Biến đổi P 3 logb a 1 3 1 
 2 2 log b
 1 logab 1 log a b a 
 Đặt t loga b ,do a b 1 nên 0 t 1 
 4 3 1 
 Xét hàm f( t ) 2 3 trên 0;1 , tìm được GTNN là f 15 . 
 1 t t 3 
 Chọn D 
Ví dụ 8(VDC): Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy 
 là hình vuông sao cho thể tích khối hộp được tạo thành là 8dm3 và diện tích toàn 
 phần đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là: 
 A. 23 2dm B. 2dm C. 4dm D. 2 2dm 
 Hướng dẫn giải: 
 Gọi độ dài cạnh đáy là x , chiều cao là h x, h 0 . 
 8
 Ta có V 8 x2 h 8 h . 
 x2
 32
 Diện tích toàn phần của khối hộp là: S 2x2 4x h 2x 2 fx () 
 tp x
 32
 fx'()4x ,'()0 fx x 2 
 x2
 Lập bảng biến thiên ta có Stp nhỏ nhất khi x 2 .Chọn B 
 16 16
 Chú ý: Có thể dùng bất đẳng thức Côsi cho 3 số 2x2 , , 
 x x
Ví dụ 9(VDC): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz ,cho ba mặt phẳng 
 ():Pxyz 2 10,(): Qxyz 2 80,(): Rxyz 2 40 . Một đường 
 thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng (P ),( Q ),( R ) lần lượt tại ABC,, . AB2 144
 Đặt T . Tìm GTNN của T . 
 4 AC
 A. minT 543 2 B. minT 108 
 C. minT 723 3 D. minT 96 
Hướng dẫn giải: 
 AB d P , Q 
 Ta có (P )//( Q )//( R ) nên 3 
 AC d P , R 
 Khi đó : 
 AB2144 AB 2 144.3
 Cách 1: T . 
 4AC 4 AB
 x2 432
 Đặt AB x, x 0 ta được T fxx( ), 0 
 4 x
 x3 864
 Tính fx'( ) 0 x 63 4 
 2x2
 Lập bảng biến thiên ta có: minfx () f (4)3 542 3 . Chọn A 
 x 0
 Cách 2: Ta có thể dùng BĐT Côsi như sau: 
 AB2144 AB 2 72 72 AB 2 72.72
 T 33 543 2 
 4AC 4 ACAC AC 2 4
 AB272 AB 2 72.3
 Dấu “=” xảy ra khi AB 63 2 
 4AC 4 AB
 Vậy MinT 543 2 . Chọn A. 
Ví dụ 8(VDC): Cho số phức z có môđun z 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức 
 P 1 z 3 1 z là: 
 A. 3 10 B. 2 10 C. 6 D. 4 2 
 Hướng dẫn giải: 
 Gọi z x yi,(, xy R ) , do z 1 xy2 2 1 
 Ta có : 
 Px 1 2 y2 3 x 1 2 y 2
 . 
 xy2 22x13 xy 2 2 2x1 2x2322x Xét hàm số fx() 2x2322x, x  1;1 
 1 3 4
 Có fx'( ) 0 x 
 2x 2 2x 5
 4 
 Khi đó Pmax f 2 10 .Chọn B 
 5 
Ví dụ 10(VDC): Một cái hồ hình chữ nhật rộng 50m và dài 200m . Vận động viên 
 Nguyễn Thị Ánh Viên tập luyện bơi phối hợp với chạy như sau: Bơi từ vị trí điểm 
 A thẳng đến điểm M, rồi chạy theo chiều dài bể bơi đến vị trí điểm N và bơi từ vị 
 trí điểm N thẳng về đích là điểm D. Hỏi Ánh Viên nên chọn vị trí điểm M cách 
 điểm A bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị) để đến đích nhanh 
 nhất biết rằng vận tốc bơi là 1,6m / s và vận tốc chạy là 4,8m / s . 
 A.35m B. 71m C.53m D.100m 
 A 200m D
 50m
 B M N C
Hướng dẫn giải: Đặt BMx 0 x 200 AM x2 50 2 , 
 x2 50 2
 thời gian bơi từ A đến M là:t 
 AM 1,6
 y
 Đặt MNy (0 y 200) t , 
 MN 4,8
 2 2
 2 50 200 x y 
 CN 200 xyN D 502 200 xyt , 
 ND 1,6
 2
 x2 50 2 200 xy 50 2 y
 Tổng thời gian từ A về D : t 
 AD 1,6 4,8
 2 2
 Dùng BĐT: a2 b 2 c 2 d 2 a c b d (*) dấu = khi ad bc 2
 200 y 1002 y
 t fyy( ) , 0;200 
 AD 1,6 4,8
 y 200 1
 fy'( ) 0 y 200 25 2
 1,6 y 200 2 1002 4,8
 y 25 2
 Dấu = ở (*) khi 50.x 50 200 xyx 100 
 2 2
 252
 Khi đó AM 502 53 .Chọn C 
 2
 Chú ý: Nếu đặt AM x thì BM tính theo căn nên NC cũng tính theo căn 
 và tính ND sẽ phức tạp hơn nhiều. 
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THEO 4 CẤP ĐỘ 
 PHẦN NHẬN BIẾT 
Câu 1: Cho hàm số y fx( ) xác định và liên tục trên đoạn a; b ,khẳng định nào sau đây 
 đúng? 
 A. Trên đoạn a; b , hàm số đạt GTLN tại x b 
 B. Trên đoạn a; b , hàm số đạt GTNN tại x a 
 C. Trên đoạn a; b , hàm số có GTLN và có GTNN 
 D. Nếu fx( ) m với x  a; b ( m là hằng số) thì trên đoạn a; b hàm số có giá 
 trị nhỏ nhất bằng m . 
Câu 2: Cho hàm số y fx( ) liên tục trên đoạn  1;3 và có bảng biến thiên như sau: 
 x 1 2 3 
 y' 0 
 2 5 
 y 
 2 
 Khẳng định nào sau đây là đúng? 
 A. GTNN của hàm số trên  1;3 bằng 1 
 B. GTNN của hàm số trên  1;3 bằng 2 
 C. GTLN của hàm số trên  1;3 bằng 3 
 D. GTNN của hàm số trên  1;3 bằng 2 
Câu 3: Hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng: 
 x 1 
 y ' 0 
 2 
 y 
 1 1 
 A. GTLN của hàm số bằng 2 . 
 B. GTNN của hàm số bằng 1 . 
 C. GTNN của hàm số là 1 
 D. GTLN của hàm số là 1. 
Câu 4: Hàm số nào sau đây không có GTLN và GTNN trên đoạn  2;2 
 A. y x3 2 B. y x4 x 2 
 x 1
 C. y D. y x 1 
 x 1
Câu 5: Trong các hàm số sau đây ,hàm số nào có GTNN trên tập xác định. 
 A. y x33x 2 6 B. y x4 3x 2 6 
 2x 1 x2 3x 5
 C. y D. y 
 x 1 x 1
Câu 6: GTLN,GTNN của hàm số y sin x cos x là: 
 A. GTLN bằng 2 , GTNN bằng 0 B. GTLN bằng 2 ,GTNN bằng 2 
 B. GTLN bằng 2 ,GTNN bằng 2 D. GTLNbằng 1 , GTNN bằng 1