Chuyên đề Toán Lớp 11 - Bài 1: Giới hạn hàm số - Lê Văn Thuận

 Lê Văn Thuận_THPT Đồn Kết 
 BÀI 1: GIỚI HẠN DÃY SỐ 
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 
 GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VƠ CỰC 
 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt: 
 1 1 k 
 lim 0 ; lim 0 (k ¢ ) lim n limnk ( ¢ )
 n n n k
 n limqqn ( 1) 
 n
 limqq 0 ( 1) ; lim CC 2. Định lí: 
 n n 
 2. Định lí : 1
 a) Nếu lim un thì lim 0 
 a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì un
 lim (un + vn) = a + b 
 un
 lim (un – vn) = a – b b) Nếu lim un = a, lim vn = thì lim = 0 
 vn
 lim (un.vn) = a.b 
 c) Nếu lim u = a 0, lim v = 0 
 u a n n
 lim n (nếu b 0) 
 un nếu a.0 vn 
 vbn thì lim = 
 nếu a.0 v 
 vn n
 b) Nếu un 0, n và lim un= a 
 d) Nếu lim u = + , lim v = a 
 thì a 0 và lim ua n n
 n nếu a 0
 thì lim(un.vn) = 
 c) Nếu uvnn ,n và lim vn = 0 nếu a 0
 thì lim un = 0 
 * Khi tính giới hạn cĩ một trong các dạng vơ 
 d) Nếu lim un = a thì lim uan 
 0 
 3. Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn định: , , – , 0. thì phải tìm cách khử 
 0 
 2 u1
 S = u1 + u1q + u1q + = q 1 dạng vơ định. 
 1 q
B – BÀI TẬP 
Dạng 1. Sử dụng cơng thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vơ hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số 
thập phân vơ hạn tuần hồn thành phân số 
Phương pháp: Cấp số nhân lùi vơ hạn là cấp số nhân vơ hạn và cĩ cơng bội là q 1. 
 Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vơ hạn un 
 u
 S u u ... u ... 1 
 12 n 1 q
 Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của 10 
 aa a an
X N, a a a ... a N 12 3 ... ... 
 1 2 3 n 10 1023 10 10n
Ví dụ 1. Viết số thập phân m 0,030303 (chu kỳ 03) dưới dạng số hữu tỉ. 
 Giải 
 3
 3 3 3 3 1 100
m 3 ... 3100 3 3 
 n 1
 100 10000 1001 99 33 33
 100
 11
Ví dụ 2. Tính tổng S 2 2 1 ... 
 2 2
 Giải 
 1 2 1 1
Xét dãy: 2, 2,1, , là cấp số nhân qq 2 ;1 
 2 2 22
 1 Lê Văn Thuận_THPT Đồn Kết 
 2 2 2
Vậy S 4 2 2 
 1
 1 21 
 2
Bài 1. Hãy viết số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dưới dạng một phân số. 34,1212 (chu kỳ 12) 
Bài 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn: 
 1 1 1 2 1 1 1
a) S 1 ... ... b) S ... 
 4 16 4n 1 2 1 2 2 2
 1
Bài 3. Tìm cấp số nhân lùi vơ hạn, biết tổng S 6 . Tìm hai số hạng đầu uu 4 
 12 2
Bài 4. 
a) Viết số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dưới dạng phân số hữu tỉ 
a 0,272727...... b 0,999999999........ 
Dạng 2. Khử dạng vơ định 
 0 khi m k
 mm 1 
 a0 n a 1 n ... am a 0
Phương pháp: limun kk 1 khi m k . Với ab00 0, 0 
 b0 n b 1 n ... bk b 0
 khi m k
 3.nn53 7 11 23n2 nn3 21
Ví dụ 1. Tìm giới hạn: a) lim 54 ; b) lim 65 ;c) lim
 n n3 n nn 5 24n 
 Giải 
 7 11 23
 53 3 2 
 3.nn 7 11 25 23n 46
 lim limnn 3 lim limnn 0 
a) 54 13 ; b) 65 5
 n n3 n 1 nn 5 1 
 nn4 n
 2 1
 3 n 2
 nn 21
c) lim lim n 
 4
 24n 2
 n
Bài 1. Tìm giới hạn: 
 21n 5nn3 2 1 73nn2 21n2 31n3
a) lim b) lim c) lim ; lim lim
 32n ; nn 2 3 ; n2 2 d) 3nn3 3 3 ; e) 25n 
Bài 2. Tìm giới hạn: 
 n
 n n
 15 n 32n 2.52 453nn 35 n 1 .5n
1) lim ; lim ; ; lim
 nn 2) lim n ; 3) 22nn4) lim n 1 5) nn2
 36 2 3.5 35n 1 25 
 7 3.52 
Bài 3. Tìm giới hạn: 
 n n
 43n 23 n 3 4.5n 1
a) lim lim ; lim ;
 1 3.4n 1 ;b) n 1 n 1 c) 2.4nn 3.5 
 23 
Bài 4. Tính các giới hạn sau: 
 nn4 32 3 n63 7 n 5 n 8 2nn2 61nn4 
a) lim b) lim c) lim d) lim 
 23nn2 n 12 13 n2 21n 
 2 Lê Văn Thuận_THPT Đồn Kết 
 2 n
 2 2 2 
 1 ... 2 n
 3 3 3 1 2 2 ... 2
Bài 5. Tìm giới hạn: 1) lim 2 n ;2) lim 2 n 
 1 1 1 1 3 3 ... 3
 1 ... 
 5 5 5 
Dạng 3. Khử dạng vơ định 
Phương pháp: 
 mm 1
  Đối với dãy un a m n a m 10 n ... a , a m 0 thì đặt thừa số chung m cho thừa số lớn nhất 
 m
 của n là n . Khi đĩ: limun nếu am 0 và limun nếu am 0 
  Đối với biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về 
 dạng: 
 AB 2 AB 3
 A B =  3 A B = 
 AB 3 A22 B.3 A B
 AB AB 3
  A B =  3 A B = 
 AB 3 A22 B.3 A B
 AB 2 AB 
  A B =  33A B = 
 AB 33A22 3 A.B B
 AB AB 
  A B =  33A B = 
 AB 33A22 3 A.B B
  Đặc biệt, đơi khi ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xác định các giới hạn mới cĩ cùng dạng 
 vơ định, chẳng hạn: 
 33n3 2 n 2 1 n 3 2 n n n 2 1 ; 
 n2 n 3322 n 3 n 2 n n n n 3 
  Đối với các biểu thức khá, biểu thức hỗn hợp thì xem xét đặt thừa số chung của mũ cĩ cơ số 
 lớn nhất, lũy thừa của n lớn nhất. 
Ví dụ 1. Tìm giới hạn: 
a) lim 2nn3 5 9 lim 6nn4 1 ; lim 8nn 39 1 ; d) lim3 8n32 n n 3
 ; b) c) 
 Giải 
 33 59
a) lim 2n 5 n 9 lim n 2 23 
 nn 
 44 11
b) lim 6n n 1 lim n 6 34 
 nn
 99 81
c) lim 8n 3 n 1 lim n 89 3 
 nn 
Bài 1. Tính các giới hạn sau: 
 2 2 2 2
a) lim nn 14 7 b) lim 2nn 3 19 c) lim 2nn 1 d) lim 2 3nn 7 
Bài 2. Tìm giới hạn: 
 1
a) lim 4n2 5 n 2 n b) lim 2nn 1 ; c) lim ; d) lim3 n3 n 2 n 2 3 n 
 ; nn22 24 
Bài 3. Tìm giới hạn: 
 3 Lê Văn Thuận_THPT Đồn Kết 
 nn2 34 
a) limn 1 n n ; b) limn2 n 2 n 1 ;c) limn22 n n 2 ; d) lim
 2
 nn 2 
 BÀI 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ 
A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT 
 Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực 
 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt: 
 lim xx 0 ; lim cc (c: hằng số) k k nếu k chẵn
 xx xx lim x ; lim x 
 0 0 x x nếu k lẻ
 2. Định lí: 
 c
 a) Nếu limf ( x ) L và limg ( x ) M lim cc ; lim 0 
 xx xx k
 0 0 x x x
 thì: lim f ( x ) g ( x ) L M 1 1
 xx 0 lim ; lim 
 x 0 x x 0 x
 lim f ( x ) g ( x ) L M 
 xx 11
 0 lim lim 
 lim f ( x ). g ( x ) L . M xx 00 xx
 xx0 2. Định lí: 
 f() x L Nếu 0 và limgx ( ) thì: 
 lim (nếu M 0) 
 0 xx 0
 xx 0 g() x M
 0 nếu L vàlim g ( x ) cùng dấu
 b) Nếu f(x) 0 và xx 
 limf ( x ) g ( x ) 0 
 xx nếu L vàlim g ( x ) trái dấu
 0 xx 
 thì L 0 và limf ( x ) L 0
 xx 
 0 0nếu lim g ( x ) 
 c) Nếu thì limf ( x ) L xx 0
 xx fx()
 0 lim nếu lim g ( x ) 0 và L . g ( x ) 0 
 3. Giới hạn một bên: x xgx() x x
 00 
 limf ( x ) lim f ( x ) L nếulim g ( x ) 0 và L . g ( x ) 0 
 xx 0
 x x00 x x 
 * Khi tính giới hạn cĩ một trong các dạng vơ định: , 
 , – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vơ định. 
B – BÀI TẬP 
Dạng 1. Định nghĩa giới hạn 
Phương pháp: Định nghĩa và các tính chất 
 1
Với mọi số nguyên dương k , ta cĩ: lim xk ; lim x2k , lim x21k , lim 0 
 x x x x xk
Xác định dấu hoặc – dựa trên dấu của tích số, thương số, xx 0 , xx 0 , x 
Ví dụ 1. Tính giới hạn 
 3xx 1 2 3 1 x x23 x 31xx2 51x xx2 1
a. Lim ;b. Lim ; c. Lim ;d. Lim ;e. Lim 
 x 0 x 1 x 0 1 x x 1 x 1 x 1 27x x 2 x 1
 xx 12 21xx2 
f. Lim g. Lim 
 x 3 x 1 x 1 x 1
 Giải 
 3xx 1 2 3 1 x x23 x
a. Lim 2 ; b. Lim 1
 x 0 x 1 x 0 1 x 
 4 Lê Văn Thuận_THPT Đồn Kết 
 3xx2 1 3 5x 1 5 1 2 xx2 1 4 2 1
c. Lim ; d. Lim ; e. Lim 3
 x 1 x 12 x 1 2x 7 2 7 3 x 2 x 1 2 1 
 xx 1 2 3 1 2 3 5 2xx2 1 2 1 1 2
f. Lim ; g. Lim 
 x 3 x 1 3 1 2 x 1 x 1 1 1 2
Bài 1. Dùng định nghĩa, tính các giới hạn sau: 
 xx2 34 1
 a) . lim(3xx2 1) . b) lim3 x 6 c) lim d) lim 
 x 4 x 1 x 1 x 1 x 2 5 x
Dạng 2. Giới hạn một bên 
Phương pháp: 
 Nếu limf ( x ) lim f ( x ) thì khơng tồn tại limfx ( ) 
 x x x x
 x x00 x x xx 0 00
 Nếu limf ( x ) lim f ( x ) L thì limf ( x ) L x x00 x x
 x x00 x x xx 0
 f( x ) khi x x0
 Hàm số y liên tục tại xx 0 khi và chỉ khi limf ( x ) k . 
 xx 
 k khi x x0 0
 f( x ) khi x x0
 Hàm số y liên tục tại xx 0 khi và chỉ khi limf ( x ) lim g ( x ) . 
 x x x x
 g( x ) khi x x0 00
Bài 1. Tìm giới hạn 
 1 3xx 2 2 x2 4 21x 21x 34x 
a. lim ; b. lim ;c. lim ; d. lim ;e. lim ; f. lim 3 xx 
 x 3 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 3 x x 3
 35x 21x 21x 2 x 3 x xx2 44
g. lim ; h. lim ; m. lim ; n. lim 2 ; o. lim ; q. lim 
 x 2 x 1 x 3 x 3 x 3 x 3 x 2 2xx 5 2 x 3 3 x x 2 x 2
 21x x2 1
Bài 2. Tìm giới hạn a. lim 4 x 3 b. lim 2x 1 4 
 x 4 x 64 x xx 31
Bài 3. Tìm giới hạn của các hàm số sau: 
 xx2 32
 2 khi x 1 2
 x 1 x 2 x 3 khi x 2
a) fx tại x 1; b) fx tại x 2 
 x 4x 3 khi x 2
 khi x 1 
 2
Bài 4. Tìm m để các hàm số cĩ giới hạn tại: 
 11 x2
 khi x 0 x m khi x 0
 3 11 x 
a) fx tại x 0 ; b) fx xx2 100 3 tại x 0 
 1 khi x 0
 m khi x 0 x 3
 2
 x2 2 x 3nÕu x 3
Bài 5. Cho hàm số f x 13nÕu x . Tính limf x ; lim f x ;lim f x 
 xx 33 x 3
 2
 3 2xxnÕu 3
Bài 6. Cho hàm số f x 1 2 x 6 . Tính limf x ; lim f x ;lim f x 
 xx 33 x 3
Dạng 3. Khử dạng vơ định 
Phương pháp: 
 5 Lê Văn Thuận_THPT Đồn Kết 
1)Phương pháp khử dạng vơ định khi x + , x – 
 0 khi m n
 mm 1 
 a01 x a x ... am a0
Xét hàm số: f( x ) , a00 0, b 0 thì limf ( x ) khi m n 
 nn 1 x 
 b01 x b x ... bn b0
 khi m n
2)Đưa biểu thức ra ngồi dấu căn: AABB23 , 3 ; x thì xx2 ; Khi x thì 
 xx2 
 21x2 xx43 3 xx 1
Bài 1. Tính giới hạn a. lim ; b. lim ; c. lim 
 x xx32 32 x 27x6 x xx2 1
Bài 2. Tính giới hạn 
 3xx2 4 1 x2 x 13 x 3 8x32 3 x 1 x x2 1
a. Lim 2 ; b. Lim ; c. Lim ; d. lim 2 ; 
 x 21xx x 23 x x 4x2 x 2 3 x x 21xx 
 2xx3 10
e. lim
 x 3
 xx 33 
 3xx42 5 7 2xx32 5 1 x2 22 x x
Bài 3. Tìm giới hạn a. lim 3 ; b. lim 2 ; c. lim 
 x xx 15 x 74xx x 9xx2 1 2
 0
Dạng 4. Khử dạng vơ định 
 0
Phương pháp: 
 fx() fx() (x x01 ). f ( x )
Đối với hàm phân thức: lim , ta phân tích rồi rút gọn cho xx 0 
 xx 
 0 gx() g( x ) ( x x01 ). g ( x )
Đối với biểu thức chứa căn thức, ta nhân lượng liên hợp để khử căn thức, tạo ra thừa số xx 0 rồi rút 
gọn. 
Bài 1. Tính giới hạn 
 x4 16 xx2 34 x3 1 xx2 2 15
a. Lim ; b. Lim ;c. Lim ; d. Lim 
 x 2 xx32 2 x 4 xx2 4 x 1 xx 56 x 5 x 5
Bài 2. Tính giới hạn 
 42 x 3 x 72 x2 53 xx 2 x
a. Lim ; b. Lim ; c. lim ;d. lim ;e. lim
 x 0 x 1 x 2 x 2 x 0
 4x x 1 x 2 4x 1 3 11 x 
 3 xx 73 3xx 4 3 8 5 3 11 xx 
Bài 3. Tính giới hạn a. Lim ; b. lim ; c. lim 
 x 1 x 1 x 0 x x 0 x
Dạng 5. Khử dạng vơ định hay 0. 
Phương pháp: 
 Đặt nhân tử chung là lũy thừa cao nhất của x Quy đồng mẫu phân số 
 0 
 Nhân chia lượng liên hợp để khử căn Chuyển về dạng hoặc đã biết. 
 0 
 6 Lê Văn Thuận_THPT Đồn Kết 
Bài 1. Tính các giới hạn sau: 
a) lim (3xx32 8 7); b) lim 2xx4 3 12 ; c) limxx2 3 ; d) limx22 x 4 x 
 x x x x 
 4
e) lim 2x3 2 x x x 1 ; f. lim 
 x x xx3 43
Bài 2. Tìm giới hạn 
 xx( 1) xx52 
 a. lim ;b. lim ; 
 3 2 2
 x (2x 3) x 4 (xx 4) ( 11)
 2
 7