Chuyên đề Toán Lớp 11 - Góc, khoảng cách, quan hệ vuông góc, quan hệ song song - Trường THPT Trần Văn Lan

 CHUYÊN ĐỀ 15: GÓC, KHOẢNG CÁCH, 
 QUAN HỆ VUÔNG GÓC, QUAN HỆ SONG SONG
 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. GÓC TRONG KHÔNG GIAN
 1) GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
 + Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°
 + Nếu a và b cắt nhau thì góc giữa chúng là góc nhỏ nhất trong các 
 góc được tạo bởi hai đường thẳng.
 + Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là góc giữa hai đường 
 thẳng a ' và b' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc 
 trùng) với a và b.
 a / /a ' ·
 Tức là: a,b a· ',b' 
 b / /b'
 Chú ý:
 * 0 ·a,b 90
 * Để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta có thể lấy một điểm 
 (thuộc một trong hai đường thẳng đó) từ đó kẻ đường thẳng 
 song song với đường còn lại.
   
 * Nếu u1,u2 lần lượt là hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng 
 a và b thì:
 ·  
 u ,u khi 90
 ·a,b 1 2 
 180 khi 90
   
   u .u
 · · 1 2
 Tức là: cos a,b cos u1,u2   
 u1 . u2 2) GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
 + Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng P thì góc giữa đường thẳng a và mặt 
 phẳng P bằng 90°.
 Tức là: a  P ·a, P 90
 + Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng P thì 
 góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a ' của nó trên P gọi 
 là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P .
 Tức là: Nếu a  P và a ' là hình chiếu của a trên P thì 
 ·a, P ·a,a ' 
Chú ý:
 * 0 ·a, P 90
 a / / P ·
 * Nếu a, P 0
 a  P 
 * Để tìm hình chiếu a ' của a trên P ta có thể làm như sau:
 Tìm giao điểm M a  P 
Lấy một điểm A tùy ý trên a và xác định hình chiếu H của A trên P . Khi đó, a ' là đường 
thẳng đi qua hai điểm A và M.
3) GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Để xác định góc giữa hai mặt phẳng P và Q , ta có thể thực hiện theo một trong các 
cách sau:
Cách 1: Theo định nghĩa
 a  P · ·
 P , Q a,b 
 b  Q 
Cách 2: Khi xác định được P  Q c thì ta làm như sau:
 + Bước 1: Tìm mặt phẳng R  c . p R  P 
 + Bước 2: Tìm 
 q R  Q 
 Khi đó: · P , Q ·p,q 
 Đặc biệt: Nếu xác định được 2 đường thẳng p, q sao cho: 
 P  p  c · ·
 P , Q p,q 
 Q  q  c
 Cách 3: Theo định lí về hình chiếu
 S '
 S ' S.cos cos 
 S
II. KHOẢNG CÁCH 
 1) KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
 Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P là MH, với H là hình chiếu vuông góc của M 
 trên mặt phẳng P .
 MH  P 
 H  P  d M , P MH
 Phương pháp giải chung:Muốn tìm khoảng cách từ một điểm đến 
 một mặt phẳng, trước hết ta phải tìm hình chiếu vuông góc của 
 điểm đó trên mặt phẳng. Việc xác định hình chiếu của điểm trên 
 mặt phẳng ta thường dùng một trong các cách sau:
 Cách 1:
 + Bước 1: Tìm một mặt phẳng Q chứa M và vuông góc với 
 P 
 + Bước 2: Xác định giao tuyến: P  Q + Bước 3: Trong Q , dựng MH  , H .
 P  Q 
Vì P  Q MH  P 
 Q  MH  
 d M , P MH
Cách 2:
Nếu đã biết trước một đường thẳng d  P thì ta sẽ dựng Mx / /d , 
khi đó: H Mx  P là hình chiếu vuông góc của M trên P .
 d M , P MH
2) KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
a) Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Đường thẳng Δ cắt hai đường thẳng a, b và cùng vuông góc với mỗi 
đường ấy gọi là đường vuông góc chung của a và b. Đoạn thẳng MN 
gọi là đoạn vuông góc chung của a và b.
b) Một số hướng tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
TH1: Khi a, b chéo nhau và a  b .
 + Bước 1: Dựng mặt phẳng P chứa b và vuông góc với a tại M.
 + Bước 2: Trong P dựng MN  b tại N.
 + Bước 3: Đoạn MN là đoạn vuông góc chung của a và b
 d a,b MN
TH2: Khi a, b chéo nhau và a  b .
Mục tiêu: Chuyển về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. ➢ Hướng 1: Chuyển thông qua khoảng cách từ một đường đến một mặt phẳng.
 * Bước 1: Dựng mặt phẳng P chứa b và song song với a.
 a// P 
 * Bước 2: d a,b d a, P 
 b P 
 M a
 d M , P 
 ➢ Hướng 2: Chuyển thông qua khoảng cách giữa mặt phẳng 
 song song:
* Bước 1: Dựng hai mặt phẳng P , Q sao cho a  P / / Q  b .
* Bước 2: Khi đó d a,b d P , Q d M , Q 
III. QUAN HỆ SONG SONG
1. Phương pháp chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng:
♦Phương pháp1:
 Muốn chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng đó 
không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt 
phẳng.
 a // b 
 b  (P) a //(P)
 a  (P)
♦Phương pháp2:
 Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) ta chứng minh đường thẳng a 
nằm trong mặt phẳng (Q) mà (Q) // (P)
♦Phương pháp 3:
 Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng a 
và mặt phẳng (P) không có điểm chung cùng vuông góc với một đường thẳng b. ♦Phương pháp 4:
 Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng a 
và mặt phẳng (P) không có điểm chung cùng vuông góc với một mặt phẳng (Q).
♦Phương pháp 5:
 Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng a 
song song với đường thẳng b mà đường thẳng b song song với mặt phẳng (P)(a và (P) 
không có điểm chung)
2. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song:
♦Phương pháp 1:
 Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song 
thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó(hoặc trùng với một trong hai 
đường thẳng đó).
 a // b 
 a  (P) 
  c // a // b
 b  (Q) 
 (P)  (Q) c 
♦Phương pháp 2: Sử dụng định lý: Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) 
chứa a mà cắt mặt phẳng (P) thì cắt theo giao tuyến b song song với đường thẳng a. 
 Q
 a
 (P) // a 
 a  (Q)  b // a
 b
 (P)  (Q) b
 P
♦Phương pháp 3:
 Sử dụng định lý: Nếu mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) lần lượt 
theo hai giao tuyến a và b thì a//b.
 (P) //(Q) 
 (R)  (P) a  a // b
 (R)  (Q) b
♦Phương pháp 4:
 Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao 
tuyến của chúng(nếu có) song song với đường thẳng đó.
 (P) // a 
 (Q) // a  b // a
 (P)  (Q) b
3. Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song: 
♦Phương pháp 1:
 Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai 
đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia. a / / Q 
 b / / Q 
 P / / Q 
 a,b  P 
 a b I
♦Phương pháp 2:
 Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) không có điểm chung cùng vuông góc một đường thẳng a 
thì chúng song song với nhau.
♦Phương pháp 3:
 Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) không có điểm chung cùng vuông góc một mặt phẳng(R) thì 
chúng song song với nhau.
♦Phương pháp 4:
 Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) không có điểm chung cùng song song một mặt phẳng(R) thì 
chúng song song với nhau. P
 Q
 R
IV. QUAN HỆ VUÔNG GÓC 
1. Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng:
♦Phương pháp 1:
 Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P),ta chứng minh đường 
thẳng d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) 
 d  a 
 d  b 
  d  (P)
 a,b  (P) 
 a  b I  
♦Phương pháp 2:
 Sử dụng tính chất:d // ,mà  (P) thì d  (P)
♦Phương pháp 3:
 Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng (P),(Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao 
tuyến x, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (P) mà vuông góc với giao tuyến x thì 
vuông góc với mặt phẳng (Q).
♦Phương pháp 4: Sử dụng tính chất:Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì 
giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
 (P)  (R) 
 (Q)  (R)  a  (R)
 (P)  (Q) a
♦Phương pháp 5:
 Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau, đường thẳng a vuông góc với 
mặt phẳng này thì nó vuông góc với mặt phẳng kia.
 (P) //(Q)
  a  (Q)
 a  (P) 
♦Phương pháp 6:
 Sử dụng tính chất:Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b,mà đường thẳng a 
vuông góc mặt phẳng (P) thì đường thẳng b cũng vuông góc với mặt phẳng (P).
 a // b 
  b  (P)
 a  (P)
2. Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: 
♦Phương pháp 1:
 Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta chứng minh mặt phẳng này chứa 
một đường thẳng vuông góc mặt phẳng kia.