Chuyên đề Toán Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân - Trường THPT Trần Văn Lan

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NAM ĐỊNH
 TRƯỜNG THPT TRẦN VĂN LAN
 TỔ: TOÁN – TIN
 MÔN TOÁN
 CHUYÊN ĐỀ 
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
 NĂM HỌC 2016 – 2017 CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
 A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
 I. NGUYÊN HÀM
 1. Khái niệm. 
Định nghĩa. Cho hàm số f (x) xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng). Hàm số 
 F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên K, nếu F '(x) f (x) , với mọi 
 x K .
Định lý. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng K. Khi đó
a. Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) F(x) C cũng là một nguyên hàm của f (x) .
b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của f (x) thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = 
 F(x) + C.
c. Họ tất cả các nguyên hàm của f (x) là f (x)dx F(x) C , trong đó F(x) là một 
 nguyên hàm của f (x) , C là hằng số bất kỳ.
d. Bảng các nguyên hàm cơ bản.
Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
 Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của hàm số hợp u u(x)
 kdx kx C,k R kdu ku C,k R
 1 1
 x dx .x 1 C ( 1) u du .u 1 C ( 1)
 1 1 
 dx du
 ln x C ( x 0 ) ln u C ( x 0 )
 x u
 dx du
 2 x C 2 u C
 x u
 exdx ex C eu du eu C
 a x au
 a xdx C (0 a 1). au du C (0 a 1).
 ln a ln a
 cos xdx sin x C cosudu sin u C
 sin xdx cos x C sin udu cosu C
 dx dx du du
 tan x C ; cot x C . tan u C ; cot u C
 cos2 x sin2 x cos2 u sin2 u
 Ngoài ra còn một số công thức thường gặp là.
 1 (ax b)k 1 1 1
 (ax b)k dx C ,(a 0,k 1); dx ln ax b C,a 0.
 a k 1 ax b a
 1 1
 eax bdx eax b C ; cos(ax b)dx sin(ax b) C
 a a
 1
 sin(ax b)dx cos(ax b) C
 a
 2. Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm 
 Định lý. Nếu F(x),G(x) tương ứng là một nguyên hàm của f (x), g(x) thì 
 a. f '(x)dx f (x) C
 b. [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx F(x) G(x) C ;
 c. a.f(x)dx a f (x)dx aF(x) C (a 0) . 3. Một số phương pháp tìm nguyên hàm
 a. Phương pháp đổi biến số
 Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số u u(x) có đạo hàm liên tục 
trên K và hàm số y f (u) liên tục sao cho f [u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một 
nguyên hàm của f, tức là f (u)du F(u) C thì f [u(x)]dx=F[u(x)]+C .
 b. Phương pháp tích phân từng phần 
 Một số dạng thường gặp:
 Dạng 1. P(x).eax bdx, P(x)sin(ax b)dx, P(x)cos(ax b)dx
 Cách giải: Đặt u P(x),dv eax bdx (hoaëc dv sin(ax b)dx, dv cos(ax b)dx)
 Dạng 2. P(x)ln(ax b)dx
 Cách giải: Đặt u ln(ax b),dv P(x)dx.
 II. TÍCH PHÂN. 
 1. Định nghĩa. Cho hàm f (x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. 
 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f (x) thì hiệu số F(b) F(a) được gọi là tích phân 
 b b
 của f (x) từ a đến b và ký hiệu là f (x)dx . Trong trường hợp a b thì f (x)dx là 
 a a
 tích phân của f trên a;b .
 2. Tính chất của tích phân .
 Cho các hàm số f (x), g(x) liên tục trên K và a,b,c là ba số thuộc K.
 a b a
 f (x)dx 0 f (x)dx f (x)dx
 a a b
 b c b b b
 f (x)dx f (x)dx f (x)dx k. f (x)dx k f (x)dx
 a a c a a
 b b b
 [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
 a a a
 3. Một số phương pháp tính tích phân 
 b u(b)
 Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số f [u(x)]u '(x)dx f (u)du . 
 a u(a)
 Trong đó f (x) là hàm số liên tục và u(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho 
 hàm hợp f [u(x)] xác định trên J; a,b J .
 Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách
 Cách 1. Đặt ẩn phụ u u(x) ( u là một hàm của x)
 Cách 2. Đặt ẩn phụ x x(t) ( x là một hàm số của t).
 Phương pháp tích phân từng phần.
 Định lý. Nếu u(x),v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và a,b là hai 
 b b
 số thuộc K thì u(x)v '(x)dx u(x)v(x) b v(x)u '(x)dx
 a 
 a a
 4. Ứng dụng của tích phân 
 Tính diện tích hình phẳng
 Nếu hàm số y f (x) liên tục trên a; b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi b
 đồ thị hàm số y f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b là S f (x) dx .
 a
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y f (x) , y g(x) và hai 
 đường thẳng x a, x b là 
 b
 S f (x) g(x) dx
 a
 Tính thể tích vật thể. Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với 
 b
 trục Ox tại các điểm a,b là V S(x)dx . Trong đó S(x) là diện tích thiết diện 
 a
 của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là 
 x a;b và S(x) là một hàm liên tục.
 Tính thể tích khối tròn xoay.
 Hàm số y f (x) liên tục và không âm trên a;b . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 
 hàm số y f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b quay quanh trục hoành 
 b
 tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức V f 2 (x)dx .
 a
 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x g(y) , trục tung và hai đường thẳng 
 y c, y d quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính 
 d
 bởi công thức V g 2 (y)dy .
 c
 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Phần 1. Tìm nguyên hàm
Dạng 1: Tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm .
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số
 1
 a. (x 2)(x2 2x 4)dx b. ( 3 x)dx c. sin2 xdx
 x 
 d. sin4 xdx e. tan4 xdx f. cot4 xdx
 (x2 1)(x2 3)
 g. sin 2x.cos xdx h. 102x.3x.5x dx i. dx
 3 x2
 x3 2x 1
 k. dx l. sin(2x 1)dx m. (1 2x2 )10 xdx
 x5 
 1 ln x 2 dx
 n. dx o. xex dx p. 
 x (1 2x)4
 Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.
Tính tích phân I f (x)dx Phương pháp 1. Đổi biến t (x) , rút x theo t.
+) Xác định vi phân: dx '(t)dt
+) Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f (x)dx g(t)dt . Khi đó I g(t)dt
Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ: 
 Dấu hiệu Có thể chọn
 Hàm số có mẫu Đặt t là mẫu
 Hàm f (x, (x)) Đặt t (x)
 Hàm f (x, n (x), m (x)) Đặt t mn (x)
 asin x bcos x x
 Hàm f (x) Đặt t tan
 csin x d cos x e 2
 Hàm lẻ với sinx Đặt t cos x
 Hàm lẻ với cosx Đặt t s inx
 Hàm chẵn với sinx và cosx t =tanx
Phương pháp 2. Đổi biến x (t)
+) Lấy vi phân dx '(t)dt
+) Biểu thị f(x) theo t và dt, Giả sử: f(x)dx= g(t)dt. Khi đó I g(t)dt
Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc chọn ẩn phụ:
 Dấu hiệu Có thể chọn
 2 2 
 a x x | a | sin t, t 
 2 2
 x | a | cost,0 t 
 2 2 | a | 
 x a x , t ;t 0
 sin t 2 2
 | a | 
 x ,0 t ;t 
 cost 2
 2 2 
 x a x | a | tan t, t 
 2 2
 x | a | cott,0 t 
 a x a x Đặt x a cos 2t
 hoặc 
 a x a x (x a)(b x) Đặt x a (b a)sin2 t
Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số
 2z
 a. (2x 1)3 dx b. dz c. 2x(x2 1)dx
 3 2 
 z 5
 2 2x
 d. sin(7x 6)dx e. xe1 x dx f. dx
 x2 4x 3
 1 2x 1
 g. sin2012 x.cos xdx h. dx k. dx
 x 2
 1 e x x 2012
 9x2 1
 l. dx m. x 4 1 x2 dx n. dx
 3 2
 1 x x(1 x)
 1 1 1 1
 o. dx p. sin .cos dx q. sin4 x.cos xdx
 cos2 (5x 2) x2 x x 
 sin(3x 1) xdx xdx
 r. dx s. t. 
 cos2 (3x 1) x4 2x2 2 x2 4x 5
 x3dx x2
 u. v. dx
 x4 x2 2 (1 x)39
Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.
Bài 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số.
 a. xexdx b. x2 cos xdx c. (x 1).ln xdx
 x ln(x x2 1)
 d. x2 ln xdx e. dx f. ex .cos2 xdx
 2 
 x 1
 x dx
 g. dx h. 
 cos2 x sin3 x
Dạng 4. Nguyên hàm của một số hàm phân thức hữu tỷ.
Bài 4. Tìm nguyên hàm 
 dx 4x 3 dx
 a. b. dx c. 
 2x 3 2x 1 (2x 1)2
 2x2 3x 5 2x 1 4x 6
 d. dx e. dx f. dx
 x 3 x2 5x 6 x2 3x 4
 x2 3x 1 4x 2 3x3 14x2 13x 7
 g. dx h. dx h. dx
 x2 5x 6 x2 x 1 x2 5x 6 x3 2x 1 x2 x 1 2xdx
 i. dx k. dx l. 
 x2 9 (x 1)3 x2 3
Dạng 5. Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác.
Các bài toán cơ bản:
a) Nguyên hàm của các hàm số có dạng:
 f (x) cos ax.cosbx  f (x) sin ax.sin bx
 f (x) sin ax.cosbx  f (x) sin2 ax;cos2bx
Phương pháp chung: Dùng các công thức biến đổi, công thức hạ bậc để đưa về tổng các 
nguyên hàm cơ bản.
Bài 5. Tìm các nguyên hàm:
 a. cos3x.cos 2xdx b. sinx.cos2 2xdx c. cos3 2x.sin 2xdx
b) Nguyên hàm của các hàm số có dạng: f (x) sinn x.cosm x
Phương pháp chung: Dựa vào tính chẵn lẻ của m, n để biến đổi hoặc đặt ẩn phụ cho phù 
hợp.
Bài 6. Tìm nguyên hàm 
 cos3 x
 a. (sin3 x cos3 2x)dx b. (sin5 x cos5 x)dx c. dx
 sin4 x
 dx dx
 d. e. sin4 2xdx f. 
 sin3 x sin4 x
 sin2 x tan6 x
 g. dx h. dx
 cos6 x cos2x
Dạng 6. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến lượng giác.
Bài 7. Tìm nguyên hàm
 a. a2 x2 dx b. x2 a2 dx c. x2 a2 dx
 a x 1
 d. dx e. (x a)(b x)dx f. dx
 a x (x a)(x b)
 dx dx (a x2 b x c )dx
 g. h. k. 1 1 1
 2 2 2 2 2k 1 2
 x a (a x ) (x d)(ax bx c)
 dx 4sin x 3cos x 8cos xdx
 l. với ( a b ) m. dx n.
 (x a)2 (x b)2 s inx 2cos x 2 3 sin 2x cos2x
Bài 8. Tìm nguyên hàm dx x2 dx
 a. b. dx c. 
 2 3 2 2 3
 (1 x ) x 1 (1 x )
 cos2 x dx 2x
 d. dx e. f. dx
 8 2
 sin x (x 2)(x 1) x x 1
 xdx 2
 g. h. dx
 x2 1. 1 1 x2 3 s inx cos x
Dạng 7. Nguyên hàm của một số hàm số mũ và lôgarit
Bài 9. Tìm nguyên hàm
 dx ln x
 a. b. dx c. (x 1).ex 1dx
 ex (3 e x ) x. 2 ln x 
 dx 1 ln x
 d. x.ln2 xdx e. f. dx
 e2x ex 2 x
Phần 2. Tính tích phân
 Dạng 1. Dùng định nghĩa và các tính chất của tích phân.
Bài 10. Tính các tích phân 
 2 3 1 2
 a. (x3 3x2 1)dx b. (x )2 dx c. (x2 x 1)dx
 2 1 x 0
 3 16 1 4
 d. x2 4x 3 dx e. dx f. tan2 xdx
 1 0 x 9 x 0
 4 5 1 x2 x 1 2 
 g. ( 4sin x cos x)dx h. dx i. 1 cos2xdx
 2 
 cos x x 1
 0 0
 4
 x x 4 cos x s inx.cos x 3 dx
 k. (sin4 cos4 )dx l. dx m. 
 2
 0 2 2 0 2 s inx sin (5x 6)
 6
 2 2 2 (x 1)dx
 n. cos5x.sin3xdx o. s inx.cos2 (x )dx p. 
 2
 0 4 1 x x ln x
 4
 Dạng 2. Tính tích phân bằng phương pháp phân tích
Bài 11. Tính tích phân 
 1 xdx 1 x7dx 2
 a. b. c. cos3 xdx
 2 2 
 0 (x 1) 0 x 1 0
 4 dx 2 sin xdx s inx cos x 1
 d. e. f. dx
 4 
 0 cos x 0 cos x s inx 0 s inx 2cos x 3
 3 4 dx
 g. cos3 x.sin2 xdx h. 
 2
 0 1 x (x 1)
 Dạng 3. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
Bài 12. Tính các tích phân sau
 2 1 1 x 2
 a. (x2 1)25 xdx b. x5 x6 1dx c. dx
 2
 1 0 0 x 4x 7
 3 2 3 3
 2x 1 2 cos x
 d. dx e. ecos x s inx.cos xdx f. dx
 2 2
 0 x x 1 0 sin x
 6
 2 2 e 1 ln3 x
 g. sin5 xdx h. 6 1 cos3 x.s inx.cos5 xdx i. dx
 0 0 1 x
 3 ln 2 9 e x
 k. (sin3 x esinx ).cos xdx l. (3 ex )5 exdx m. dx
 0 0 4 x
Bài 13. Tính các tích phân 
 1 dx 2 2 dx
a. b. 2 x2 dx c. 
 2 2
 0 1 x 0 2 x x 1
 3
 2 dx 3 9 3x2 dx 0 a x
d. e. f. dx,(a 0)
 2 2 
 1 1 x 1 x a a x
 2
 6 sin 2xdx 8 dx
g. h. 
 2 2 2
 0 2sin x cos x 3 x x 1
Bài 14. Tính các tích phân 
 1 2 cos4 x 1 cos xdx
 a. x2012 sin xdx b. dx c. 
 4 4 x
 1 0 sin x cos x 1 e 1 1
 2 1 x xsin xdx 1
 d. x2 ln dx e. f. ln(x x2 1)dx
 2 
 1 1 x 0 4 cos x 1
 2
 sin2 xdx 4 2 
 g. h. ln(1 t anx)dx i. x.cos3 xdx
 x 
 3 1 0 0
 2 1 s inx 1 dx 1 dx
 k. ln( )dx l. m. .
 2x 2x x
 0 1 cos x 0 e 3 0 e e
 Dạng 4. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần.
Bài 15. Tính các tích phân 
 1 2 6
 a. (x 1)e2xdx b. x2e2xdx c. (1 x)sin 3xdx
 0 1 0
 5 e 
 d. x2 ln(x 1)dx e. ex cos xdx f. cos(ln x)dx
 3 0 0
 2 ln(1 x) 2
 g. dx h. cos x.ln(1 cos x)dx
 2 
 1 x 0
 Dạng 5. Liên kết phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần 
Bài 16. Tính tích phân 
 5
 1 e ln x.ln(ln x)dx 2
a. x2 (e2x x3 1)dx b. c. (x sin3 x esinx ).cos xdx
 0 e2 x 0
 Dạng 6. Lập công thức tích phân truy hồi
Bài 17. Lập công thức tích phân truy hồi cho các tích phân sau.
 2 1
 a. I sinn xdx b. I xn 1 xdx với n là số nguyên dương.
 n n 
 0 0
• Dạng 7. Ứng dụng của tích phân 
Bài 18. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số sau.
 a. y 2x2 x4 và trục hoành
 b. y x3 3x2 4 và đường thẳng x y 1 0
 c. y sin2 x cos3 x ; y 0 và x 0; x 
 2