Chuyên đề Toán Lớp 12 - Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện - Trường THPT Trần Văn Lan

 Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
 PHẦN 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN TỚI 
 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
 Vấn đề I. QUAN HỆ SONG SONG
 1. Hai đường thẳng song song
 a,b  (P)
 a) Định nghĩa: a P b 
 a  b 
 b) Tính chất
 (P) (Q) (R)
 (P)(Q) d
 (P) (Q) a a,b,c ®ång qui d P a P b
 (P)  a,(Q)  b 
 (P) (R) b a P b P c d  a(d  b)
 a P b
 (Q) (R) c
 a b
 a P b
 a P c,b P c
 2. Đường thẳng và mặt phẳng song song
 a) Định nghĩa: d // (P) d  (P) = 
 b) Tính chất
 d  (P),d '  (P) d P (P)
 d P (P) d P a
 d P d ' (Q)  d,(Q)(P) a
 (P)(Q) d
 d P a
 (P)P a,(Q) P a
 3. Hai mặt phẳng song song
 a) Định nghĩa: 
 (P) // (Q) (P)  (Q) = 
 b) Tính chất
 (P)  a,b (P) (Q) (Q) (R)
 P
 a  b M (P)P (Q) (P) P (R) (P) P (Q) (P)(Q) a a P b
 a P (Q),b P (Q) (Q) P (R) (P)(R) b
4. Chứng minh quan hệ song song
 a) Chứng minh hai đường thẳng song song
 Có thể sử dụng một trong các cách sau:
 Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh 
 1 Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
 song song trong hình hoc phẳng(như tính chất đường trung bình, định lí Talet đảo, ) 
 Chứng minh hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba.
 Áp dụng các định lí về giao tuyến song song
 b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
 Để chứng minh d P (P) , ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một 
 đường thẳng d nào đó nằm trong (P).
 c) Chứng minh hai mặt phẳng song song
 Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với mặt 
 phẳng kia.
Vấn đề II. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
1. Hai đường thẳng vuông góc.
 a) Định nghĩa: a  b a¶,b 900
 b) Tính chất
 Giả sử u là VTCP của đường thẳng a, v là VTCP của đường thẳng b. Khi đó 
 a  b u.v 0 . 
 b  c
 a  b
 a  c
2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc
 a) Định nghĩa: d  (P) d  a, a  (P)
 b) Tính chất
 a,b  (P),a  b O
 Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: d  (P)
 d  a,d  b
 a P b a b
 (P)  b a P b
 (P)  a a  (P),b  (P)
 (P)P (Q) (P) (Q)
 a  (Q) (P) P Q)
 a  (P) (P)  a,(Q)  a
 a P (P) a  (P)
 b  a a P P)
 b  (P) a  b,(P)  b
 Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại 
 trung điểm của nó.
 Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của 
 đoạn thẳng đó.
 Định lí ba đường vuông góc.
 2 Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
 Cho a  (P),b  (P), a là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b  a b  a .
 3. Hai mặt phẳng vuông góc. 
 a) Định nghĩa: (P)  (Q) ·(P),(Q) 900
 b) Tính chất:
 (P)  a
 Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: (P)  (Q)
 a  (Q)
 (P)  (Q)
 (P)  (Q),(P)(Q) c 
 a  (Q) A (P) a  (P)
 a  (P),a  c
 a  A,a  (Q)
 (P)(Q) a
 (P)  (R) a  (R)
 (Q)  (R)
4. Chứng minh quan hệ vuông góc.
a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
 Để chứng minh d  a , ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
 Chứng minh góc giữa a và d bằng 900.
 Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của a vaø d vuông góc với nhau.
 Chứng minh d  b mà b P a .
 Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.
 Sử dụng định lí ba đường vuông góc .
 Sử dụng các tính chất của hình hoc phẳng (như định lí Pitago).
b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
 Để chứng minh d  (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
 Chứng minh d vuông góc với hai đường cắt nhau nằm trong (P).
 Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).
 Chứng minh d // a và a  (P).
 Chứng minh d  (Q) và (Q)  (P) và d vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q).
 Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) và (R)  (P).
 c) Chứng mính hai mặt phẳng vuông góc .
 Để chứng minh (P)  (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
 Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a  (Q).
 3 Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
 Chứng minh (·P),(Q) 900
 Vấn đề III. GÓC – KHOẢNG CÁCH
1. Góc
 a) Góc giữa hai đường thẳng. a//a', b//b' a¶,b a· ',b' 
 Chú ý: 00 a¶,b 900
 b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
 Nếu d  (P) thì d·,(P) = 900.
 Nếu d  (P) thì d·,(P) = d· ,d ' với d là hình chiếu của d trên (P).
 Chú ý: 00 d·,(P) 900
 a  (P) · ¶
 c) Góc giữa hai mặt phẳng. (P),(Q) a,b 
 b  (Q)
 a  (P),a  c · ¶
 Giả sử (P)  (Q) = c. Từ I c, dựng (P),(Q) a,b 
 b  (Q),b  c
 Chú ý : 00 (·P),(Q) 900
 d) Diện tích hình chiếu của một đa giác.
 Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích hình chiếu (H ) của (H) 
 trên (Q), = (·P),(Q) . Khi đó:S = S.cos 
 2. Khoảng cách
 a) Khoảng cách từ một điểm đén một đường thẳng(mặt phẳng) bằng độ dài đoạn 
 vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng(mặt phẳng) 
 b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một 
 điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng. 
 c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì 
 trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
 d) Khoảng cách giữa hai đườngthẳng chéo nhau bằng:
 Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
 Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia 
 và song song với đường thẳng thứ nhất.
 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song 
 4 Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
 song với đường thẳng kia.
 Vấn đề IV. NHẮC LẠI MỘT SỐ CÔNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
 1. Hệ thức lượng trong tam giác.
 a) Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH.
 1 1 1
 AB2 AC2 BC2 AB2 BC.BH, AC2 BC.CH 
 AH 2 AB2 AC 2
 AB BC.sinC BC.cos B AC.tanC AC.cot B 
 b) Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; có độ dài các đường trung tuyến là ma, mb, 
 mc; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p. 
 Định lí hàm số cosin: 
 a2=b2 c2 –2bc.cosA; b2 c2 a2 2ca.cos B; c2 a2 b2 2ab.cosC
 a b c
 Định lí hàm số sin: 2R 
 sin A sin B sin C
 Công thức độ dài đường trung tuyến. 
 b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2
 m2 ; m2 ; m2 
 a 2 4 b 2 4 c 2 4
2. Các công thức tính diện tích.
 a) Tam giác: 
 1 1 1 1 1 1
 S a.h b.h c.h S bcsin A ca.sin B absin C
 2 a 2 b 2 c 2 2 2
 abc
 S S pr S p p a p b p c 
 4R
 ABC vuông tại A: 2S AB.AC BC.AH
 a2 3
 ABC đều, cạnh a: S 
 4
 b) Hình vuông: S = a2 (a: cạnh hình vuông)
 c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước )
 d) Hình bình hành: S = đáy chiều cao = AB.AD.sin·BAD
 1
 e) Hình thoi: S AB.AD.sin·BAD AC.BD
 2
 1
 f) Hình thang: S a b .h (a, b: hai đáy, h: chiều cao)
 2
 5 Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
 1
 g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc. S AC.BD
 2
Vấn đề V. THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
 1. Thể tích của khối hộp chữ nhật.
 V abc với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật..
 2. Thể tích của khối chóp:
 1
 V S.h với S là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp
 3
 3. Thể tích của khối lăng trụ. 
 V S .h với S là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ
 4. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện.
 a) Tính thể tích bằng công thức
 Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, 
 Sử dụng công thức để tính thể tích.
 b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ
 Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể 
 tích của chúng. Sau đó cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính.
 c) Tính thể tích bằng cách bổ sung.
 Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện 
 them vào và khối đa diện mới tạo thành, có thể dễ tính được thể tích.
 d) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích .
 Ta có thể vận dụng tính chất sau :
 Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên 
 Oy; C, C' trên Oz, ta đều có:
 V OA OB OC
 OABC . .
 VOA'B'C ' OA' OB' OC '
 * Bổ sung.
 Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên
 Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với 
 diện tích các đáy.
 6 Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
PHẦN 2: PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH 
 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
 Loại 1: Hình chóp có chân đường cao là đỉnh của đa giác đáy
 Loại 1. 1: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
 1
 Phương pháp: Sử dụng công thức tính V S.h , chiều cao là cạnh bên vuông góc với 
 3
mặt đáy
 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC 
vuông tại A, AB = a 3 , AC = a. Góc giữa SB và (SAC) bằng 600. Tính theo a thể tích khối 
chóp S.ABC. S
 Giải:
 + Ta có SA  (ABC) nên SA là chiều cao của 
hình chóp S.ABC
 1
 V SA.S
 S.ABC 3 ABC
 B
 1 1 3
 + Ta có S AB.AC a 3.a a2 A
 ABC 2 2 2
 + Tính SA?
 SA  (ABC) SA  AB C
 Ta có AC  AB AB  (SAC)
 AC  SA A
  A là hình chiếu của B trên (SAC)
  SA là hình chiếu của SB trên (SAC)
  Góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SA và là góc B· SA (vì SAB vuông tại A 
 nên B· SA 900 )
  B· SA 600
 3
 Xét SAB vuông tại A có SA AB.cot B· SA a 3.cot 600 a 3. a
 3
 1 1 3 3
 Vậy V SA.S a. a2 a3 (đvtt).
 S.ABC 3 ABC 3 2 6
 7 Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA vuông góc với 
mặt phẳng (ABCD). Góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng 600. G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt 
phẳng ( ) đi qua SG và song song với BD cắt BC, CD lần lượt tại M, N. Tính theo a thể tích 
khối chóp S.BDNM.
 Giải:
 S
+ Ta có SA  (ABCD) nên SA là chiều cao của 
 hình chóp S.BDNM
 1
 V SA.S
 S.BDNM 3 BDNM
 ( ) / /BD A
 B
+ Ta có BD  (ABCD) MN / /BD
 ( )  (ABCD) MN M
 O
 Ta có M , N,G ( )  (ABCD) nên M, N, G thẳng hàng D G C
 N
 MN CG 2 2 2 2
 MN BD a
 BD CO 3 3 3
 2 2
 a a 2
 MN BD MN BD 1 1 5
 S .GO . BD 3 . a 2 a2
 BDNM 2 2 6 2 6 18
+ Tính SA?
 SA  (ABCD) SA  BD
 Ta có AC  DB DB  (SAC)
 AC  SA A
 (SBD)  ABCD) BD
 Mà (SAC)  (SDB) SO
 (SAC)  (ABCD) AC
  Góc giữa (SBD) và (ABCD) là góc giữa SO và AC và là góc S· OA (vì SOA vuông 
 tại A nên S· OA 900 )
  S· OA 600
 8 Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
 a 2 2 a 6
 Xét SAO vuông có SA OA.tan S· OA .tan600 a . 3 
 2 2 2
 1 1 6 5 5 6
 Vậy V SA.S .a . a2 a3 (đvtt).
 S.ABC 3 ABC 3 2 18 108
 Loại 1. 2: Hình chóp có 2 mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy thì giao tuyến của hai 
mặt bên vuông góc với mặt đáy.
 1
 Phương pháp: Sử dụng công thức tính V S.h , đường cao là giao tuyến của hai 
 3
 mặt bên vuông góc với mặt đáy S
 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có các mặt 
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC),
 tam giác ABC đều cạnh a. Góc giữa (SBC) và (ABC)
 bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
 Giải:
 B
 (SAB)  (ABC) A
+ Ta có (SAC)  (ABC) SA  (ABC) M
 (SAB)  (SAC) SA
 SA là chiều cao của hình chóp S.ABC C
 1
 V SA.S
 S.ABC 3 ABC
 1 1 3 3
+ Ta có S AB.AC.sin A a.a. a2
 ABC 2 2 2 4
+ Tính SA?
 Gọi M là trung điểm của BC, mà tam giác ABC là tam giác đều nên ta có AM  BC
 SA  (ABC) SA  BC
 Ta có AM  BC BC  (SAM )
 AM  SA A
 (SBC)  (ABC) BC
 Mà (SAM )  (SBC) SM
 (SAM )  (ABC) AM
 9 Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
  Góc giữa (SBC) và (ABC) là góc giữa SM và AM và là góc S· MA (vì SMA vuông 
 tại A nên S· MA 900 )
  S· MA 600
 a 3 3 3a
  Xét SAM vuông có SA AM.tan S· MA .tan600 a . 3 
 2 2 2
 S
 1 1 3 3 3
 Vậy V SA.S . a. a2 a3 (đvtt).
 S.ABC 3 ABC 3 2 4 8
 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có
 các mặt (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với 
mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình
 thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a. 
 M
Góc giữa SC và (ABCD) bằng 450. 
 A
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. D
 Giải:
 B C
 (SAB)  (ABCD)
+ Ta có (SAD)  (ABCD) SA  (ABCD) 
 (SAB)  (SAD) SA
 SA là chiều cao của hình chóp S.ABCD
 1
 V SA.S
 S.ABCD 3 ABCD
+ Ta có ABCD là hình thang vuông tại A và B,
 AB = BC = a, AD = 2a
 1 1 3
 S AB.(AD BC) a.(a 2a) a2
 ABCD 2 2 2
+ Tính SA?
 Gọi M là trung điểm của AD thì AM = a nên tứ giác ABCM là hình vuông cạnh a
 AC a 2 
 Ta có SA  (ABCD) nên A là hình chiếu của S trên (ABCD)
 10