Đề thi chọn học sinh năng khiếu môn Toán 8 (Có đáp án)

-------- Hết --------------------------------------
Họ và tên thí sinh: .................................................................. SBD: ................................
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOAN HÙNG
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 6, 7, 8 
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN: TOÁN 8
 (Hướng dẫn chấm thi có 05 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài
· Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giáo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
· Học sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.
· Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.
II. Đáp án và biểu điểm
Câu 1 (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng: A = 1.4 + 2.42 + 3.43 +  + 102.4102 chia hết cho 3.
b) Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn: 2y2 + x2 = 4 - 4y
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
a) (2,0 điểm)
Ta cã: 4n = (3 + 1)n = B(3) + 1 Do đó:
0,50
A = 1.4 + 2.42 + 3.43 +  + 102.4102
 = B(3) + 1 + 2 + 3 + 4 +  + 102 = B(3) + 102.( 1+ 102 ) :2
0,75
 = B(3) + 3.17.103 chia hết cho 3
0,50
Vậy A chia hết cho 3 (ĐPCM)
0,25
b) (2,0 điểm) 2y2 + x2 = 4 – 4y
2y2 + 4y + 2 = 6 – x2
2(y + 1)2 = 6 – x2
0,5
Vì 2(y + 1)2 0 nên 6 – x20x26 x2{0; 1; 4}
Mặt khác 6 – x2 = 2(y + 1)2 nên 6 – x2 là số chẵn nên x2 là số chẵn
x2{0; 4}
0,5
Nếu x2 = 0x = 02(y + 1)2 = 6(y + 1)2 = 3 (loại, vì 3 không là số chính phương).
0,5
Nếu x2 = 4x{-2; 2}2(y + 1)2 = 2(y + 1)2 = 1
(y + 1){-1; 1}y{-2; 0}
Vậy (x;y) {(-2;-2);(-2;0);(2;-2);(2;0)}.
0,5
Câu 2 (4,0 điểm)
	a) Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn . 
Tính giá trị biểu thức P = 
	b) Cho ba số khác 0 thỏa mãn: 
Chứng minh rằng trong ba số tồn tại hai số đối nhau.
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
a) (2,00 đ) 
a) 
2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca
(a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (c2 - 2ca + a2) = 0
(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0
1,00
...tam giác DEF.
c) Chứng minh rằng: . Đẳng thức xảy ra khi nào?
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
a) (2,0 điểm)
a) Ta có (g.g)
1,00
Từ đó suy ra (c.g.c)
1,00
b) (2,0 điểm)
Theo phần a ta có DAEF DABC (c.g.c) 
0,50
Tương tự ta có nên . Do đó: 
0,50
Mà = 900 nên 
Þ EH là phân giác của góc DEF. 
0,50
Tương tự FH là phân giác của góc EFD
Do đó H là giao các đường phân giác của tam giác DEF.
0,50
c) (2,0 điểm) Đặt SABC = S; SBHC = S1; SAHC = S2; SAHB = S3
Ta có: 
0,50
Tương tự ta có:
; 
0,50
Nên 
=6 (theo bất đẳng thức AM - GM).
0,50
Đẳng thức xảy ra khi H là trọng tâm của DABC, mà H là trực tâm nên DABC đều.
0,50
Câu 5 (2,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta luôn có: 
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Ta có 
0,50
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM (Côsi) cho hai số dương ta có
x2 + y22xy
0,50
Chứng minh tương tự ta có
; 
0,25
Cộng theo vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta có
.
0,50
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z.
0,25 
............................ Hết..............................