Đề thi Toán Lớp 12 (Lần 1) - Năm học 2015-2016 - Trường THPT Thạch Thành I (Có đáp án)

 TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I ĐỀ THI MÔN TOÁN_KHỐI 12 (lần 1) 
 Năm học: 2015-2016 
 Thời gian: 180 phút 
Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x3 3 x 2 4. 
Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
 2 2 1 
f x x 2 x 2 trên đoạn ;2 . 
 2 
Câu 3 (1,0 điểm). 
 a) Giải phương trình sin3x cos2x 1 2sin x cos2 x
 2 4
 b) Giải phương trình 2log8 2x log8 x 2 x 1 
 3
Câu 4 (1,0 điểm). Tìm m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị C của hàm số 
 x 1
y tại hai điểm AB, sao cho AB 3 2
 x 1
Câu 5 (1,0 điểm). 
 sin4 a cos4 a
 a) Cho cota 2 . Tính giá trị của biểu thức P . 
 sin2 a cos2 a
 b) Một xí nghiệp có 50 công nhân, trong đó có 30 công nhân tay nghề loại
 A, 15 công nhân tay nghề loại B, 5 công nhân tay nghề loại C. Lấy ngẫu
 nhiên theo danh sách 3 công nhân. Tính xác suất để 3 người được lấy ra
 có 1 người tay nghề loại A, 1 người tay nghề loại B, 1 người tay nghề loại
 C.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S. ABC có đường cao SA bằng 2a , tam giác 
ABC vuông ở C có AB 2 a , CAB 30 . Gọi H là hình chiếu vuông của A trên 
SC. Tính theo a thể tích của khối chóp H. ABC . Tính cô-sin của góc giữa hai mặt 
phẳng SAB , SBC . 
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang OABC ( O 
là gốc tọa độ) có diện tích bằng 6, OA song song với BC , đỉnh A 1;2 , đỉnh 
B thuộc đường thẳng d1 : x y 1 0 , đỉnh C thuộc đường thẳng d2 :3 x y 2 0 . 
Tìm tọa độ các đỉnh BC, . 
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại 
A có phương trình AB, AC lần lượt là x 2 y 2 0, 2 x y 1 0 , điểm M 1;2 thuộc 
   
đoạn thẳng BC . Tìm tọa độ điểm D sao cho tích vô hướng DB. DC có giá trị nhỏ 
nhất. 
 x2 x 2 2
Câu 9 (1,0 điểm). Giải bất phương trình x2 1 trên tập số 
 x 3 x2 3
thực. 
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực x, y thỏa mãn x 4 2 y 4 2 2 xy 32 . Tìm 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x3 y3 3 xy 1 x y 2 . 
 -----------Hết----------- 
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
 Họ và tên thí sinh: .............................................; Số báo danh.......................... ĐÁP ÁN TOÁN 12, lần 1, 2015-2016 
Câu Nội dung Điểm 
 1 Tập xác đinh: D . 
 Sự biến thiên: 
 - Chiều biến thiên: y' 3 x 2 6 x ; y' 0 x 0; x 2 0,25 
 Các khoảng đồng biến ; 2 và 0; ; khoảng nghịch biến 2;0 . 
 - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x 2, yCD 0 ; đạt cực tiểu tại 
 x 0, yCT 4 
 - Giới hạn tại vô cực: limy ; lim y 
 x x 0,25 
 Bảng biến thiên 
 x 2 0 
 y' 0 0 
 y 0 
 4 
 0,25 
 Đồ thị 
 f x = x3+3x2 -4
 8
 6
 4
 2
 -15 -10 -5 5 10 15
 -2
 -4
 -6
 -8 
 0,25 
 2 1 
 Ta có f x x4 4 x 2 4 ; f x xác định và liên tục trên đoạn ;0 ; 
 2 
 ' 3
 f x 4 x 8 x . 0,25 
 1 
 Với x ;2 , f' x 0 x 0; x 2 
 2 0,25 
 1 1
 Ta có f 3 , f 0 4, f 2 0, f 2 4 . 
 2 16 0,25 
 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn 
 1 
 ;0 lần lượt là 4 và 0. 
 2 0,25 
 sin 3x cos 2 x 1 2sin x cos 2 x sin 3 x cos 2 x 1 sin x sin 3 x
 3 a) 
 cos 2x 1 sin x 0,25 
 x k 
 sinx 0 
 1 2sin2 x 1 sin x 1 x k2 
 sin x 6
 2 5 
 x k2 
 6 0,25 
 b) Điều kiện x 0, x 1.
 Với điều kiện đó, pt đã cho tương đương với :
 2 2 4 2
 log 2x x 1 2x x 1 16 
 8 3 0,25 
 2x x 1 4
 x 2 
 2x x 1 4 0,25 
4 x 1
 Pt hoành độ giao điểm x m x 1 x m x 1 (vì x 1không 
 x 1
 là nghiệm của pt) x2 m 2 x m 1 0 (1) 
 2
 Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2 m 8 0 m . 
 x1 x 2 m 2
 Khi đó A x1;,; x 1 m B x2 x 2 m .Theo hệ thức Viet ta có 
 x1 x 2 m 1 0,50 
 2 2 2
 AB 3 2 AB 18 2 x1 x 2 18 x1 x 2 9 
 2 2
 x1 x 2 4 x 1 x 2 9 m 2 4 m 1 9 m 1 0,50 
5 sin4 a cos4 a sin4 a cos4 a sin4 a cos4 a
 P 
 a) 2 2 2 2 2 2 4 4 . 
 sina cos a sina cos a sin a cos a sina cos a 0,25 
 1 cot4 a 1 24 17
 Chia tử và mẫu cho sin4 a , ta được P 
 1 cot4 a 1 24 15 0,25 
 3
 b) Số phần tử của không gian mẫu n  C50 19600. 0,25 
 Số kết quả thuận lợi cho biến cố “trong 3 người được lấy ra, mỗi 
 1 1 1
 người thuộc 1 loại” là CCC30. 15 . 5 2250 . Xác suất cần tính là 
 2250 45
 p . 
 19600 392 0,25 
6 S
 K
 H
 A B
 I
 C Trong mặt phẳng SAC , kẻ HI song song với SA thì HI ABC . 0,25 
 Ta có CA ABcos30 a 3.Do đó 
 1 1 a2 3
 S AB. AC .sin 30 .2a . a 3.sin 30 .
 ABC 2 2 2
 HI HC HCSC. AC2 AC2 3 a2 3 6
 Ta có HI a . 
 SA SC SC2 SC2 SA 2 AC 24 a 2 3 a 2 7 7
 1 1a2 3 6 a3 3
 Vậy V S... HI a . 
 H. ABC3 ABC 3 2 7 7
 1
 (Cách khác: V V S. BC ) 
 HABC. BAHC. 3 AHC 0,25 
 Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SB . Ta có 
 AH SC, AH  CB (do CB SAC ), suy ra AH SBC AH  SB . 
 Lại có: SB AK, suy ra SB AHK . Vậy góc giữa giữa hai mặt phẳng 
 SAB , SBC là HKA . 
 1 1 1 1 1 7 a.2 3
 AH ; 
 AH2 SA 2 AC 24 a 2 3 a 2 12 a 2 7
 1 1 1 1 1 1
 AK a 2 . 
 AK2 SA 2 AB 24 a 2 4 a 2 2 a 2
 Tam giác HKA vuông tại H (vì AH SBC , SBC  HK ). 
 a.2 3
 AH 6 7
 sin HKA 7 cos HKA 
 AK a 2 7 7 0,50 
7 OA: 2 x y 0 . 
 OA BC BC: 2 x y m 0 m 0 . 
 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 
 x y 1 0 x 1 m
 B 1 m ; m 2 . 
 2x y m 0 y m 2
 Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 
 3x y 2 0 x m 2
 C m 2;4 3 m . 
 2x y m 0 y 4 3 m 0,50 
 1
 S OA BC ., d O BC 
 OABC 2
 1 2 2 2 m
 1 22 2m 3 4 m 6 . 6
 2 22 1 2
 2m 3 1 m 12. Giải pt này bằng cách chia trường hợp để phá 
 dấu giá trị tuyệt đối ta được m 1 7; m 3. Vậy 
 B 7; 1 7 ,C 1 7;1 3 7 hoặc BC 2;1 , 1; 5 0,50 
8 Gọi vec tơ pháp tuyến của AB,, AC BC lần lượt là 
    
 n1 1;2 , n2 2;1 , n3 a ; b .Pt BC có dạng a x 1 b y 2 0 , với 
 a2 b 2 0 . Tam giác ABC cân tại A nên 
     
 cosB cos C cos n1 , n 3 cos n2 , n 3 
 a 2 b 2 a b a b
 a2 b 2 5 a2 b 2 5 a b 0,50 2 1 
 Với a b . Chọn b 1 a 1 BC : x y 1 0 B 0;1 , C ; , 
 3 3 
 không thỏa mãn M thuộc đoạn BC . 
 Với a b . Chọn a b 1 BC: x y 3 0 B 4; 1 , C 4;7 , thỏa 
 mãn M thuộc đoạn BC . 0,25 
 Gọi trung diểm của BC là II 0;3 . 
       BC2 BC 2
 Ta có DB. DC DI IB DI IC DI 2 . 
 4 4
 Dấu bằng xảy ra khi DI . Vậy D 0;3 0,25 
9 Điều kiện x 3.Bất pt đã cho tương đương với 
 x2 x 2 4
 2 
 x x 2 2 2
 x 2 1 0 x 3 x 3 x 2 1 0
 x 3 x 2 3 x2 x 2 2
 x 3 x 2 3
 x2 1 x2 x 6 
 x 3 x 2 3 
 x 2 1 0
 x2 x 2 2
 x 3 x 2 3 0,50 
 2
 2 x x 6 
 x 1 1 0 
 2 
 2 x x 2 2 
 x 3 x 3 
 x 3 2 
 x 3 
 x2 1 0 1 x 1(Với x 3thì biểu thức trong ngoặc vuông 
 luôn dương). Vậy tập nghiệm của bất pt là S  1;1 0,50 
 2 2 2
10 Ta có x 4 y 4 2 xy 32 x y 8 x y 0 0 x y 8 0,25 
 3 3 3 2
 Axy 3 xyxy 6 6 xy xy 3 xy 6.
 2
 3
 Xét hàm số: f t t3 t2 3 t 6 trên đoạn 0;8  . 
 2
 1 5 1 5
 Ta có f' t 3 t2 3 t 3, f' t 0 t hoặc t (loại) 
 2 2 0,25 
 1 5 17 5 5 17 5 5
 Ta có f 0 6, f ,f 8 398. Suy ra A 
 2 4 4 0,25 
 1 5
 Khi x y thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 
 4
 17 5 5
 4 0,25