Kế hoạch bài dạy Hình học Lớp 12 - Ôn tập: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit - Trường THPT Đoàn Kết

Tiết 29-32
Ngày dạy:
 CHỦ ĐỀ : HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức: - Khái nệm lũy thừa, logarit và tính chất
 - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit 
 - Cách giải phương trình mũ, bất phương trình mũ đơn giản.
2. Kĩ năng: 
 - Rút gọn biểu thức 
 - Chứng minh đẳng thức
 - Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa ,hàm số logarit
 - Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa , hàm số mũ , hàm số logarit
 - Giải được phương trình mũ đơn giản, bất phương trình mũ đơn giản.
3. Tư duy, thái độ
 + Tư duy hợp lí, quy lạ về quen.
II.Chuẩn bị
 Giáo viên: Giáo án+ bài tập
 Học sinh: Tổng kiến thức đã học vào giải bài tập
III. TIẾN TRÌNH THỰC HIỆN
 TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Công thức về lũy thừa
 Với a, b là những số thực dương, m và n là những số thực tùy ý. Khi đó ta có:
 n * 0
 a a.a...a n N ; a 1
 n
 m
 m n m n a m n n 1 m n m.n
 a .a a n a a n a a
 a a 
 n n
 n n n a a
 ab a .b n
 b b
2. Công thức liên quan đến căn bậc n
 m
 n a a m
 n a.n b n ab n b 0 n a n am n am a n a 0 
 n b b 
 Chú ý: Trong hai công thức đầu, nếu n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 2 thì a, b là số thực bất kì, 
 nếu n là số tự nhiên chẵn lớn hơn hoặc bằng 2 thì a, b là số thực không âm.
3. Công thức về lôgarit
 Với a, b và c là những số thực dương; a 1. Ta có:
 Định nghĩa Công thức tính lôgarit Công thức đổi cơ số 
 (b 1)
 log a b a b. (loga b loga c
 logb c 
 a 0;a 1 loga b.c loga b loga c loga b
 có nghĩa khi )
 b 0 loga b.logb c loga c
 b
 log log b log c
 a c a a
 log 1 0; log a 1 1
 a a 1 log b 
 loga loga c a
 c logb a
 aloga b b; log a log b log b 1
 a a a log b log b
 a a
 Lôgarit thập phân (cơ số 10): 
 logb hay lgb . 1 log b log b
 log n b log b 1 a
 Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số a n a a
 e e 2,718 1 , viết tắt là ln b. 
4. Hàm số mũ, hàm số lôgarit
 Hàm số mũ: y a x với a 0, a 1. Tập xác định R. Tâp giá trị 0; 
 Hàm số đồng biến trên R khi a 1, nghịch biến trên R khi 0 a 1. 
 Hàm số lôgarit: y loga x với a 0, a 1. Tập xác định 0; . Tâp giá trị R 
 Hàm số đồng biến trên 0; khi a 1, nghịch biến trên 0; khi 0 a 1. 
 5. Công thức lãi kép
 a) Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với 
phần lãi của kì trước.
 b) Công thức: Giả sử số tiền gốc là A ; lãi suất r% /kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay 
năm). 
 ● Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là A(1+ r)n
 ● Số tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là A(1+ r)n - A = A é(1+ r)n - 1ù
 ëê ûú
 VÍ DỤ
 2
Câu 1. Cho a là một số dương, biểu thức a 3 a viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ là: 
 7 5 6 11
 A. a 6 B. a 6 C. a 5 D. a 6
 2 2 1 2 1 7
Giải: Cách 1. a 3 a a 3a 2 a 3 2 a 6 A
Cách 2. Sử dụng máy tính: Ta lấy a là một giá trị bất kỳ thỏa mãn a dương và khác 1 chẳng 
 2
hạn a = 2. Sử dụng máy tính để tính gần đúng giá trị 2 3 2 2,2449 . Tiếp tục sử dụng máy 
 7
tính để tính các giá trị trong các đáp án và ta tìm được đáp án đúng là A vì 26 2,2449
Câu 2. (Câu 6 đề thi thpt quốc gia 2017 mã đề 101).
 I log a
Cho a là số thực dương khác 1. Tính a .
 1
 A. I B. I 0 C. I 2 D. I 2
 2
 I log a log a 2log a 2
Giải: a 1 a 
 a2
Sử dụng máy tính: Ta lấy a là một giá trị bất kỳ thỏa mãn a dương và khác 1 chẳng hạn a = 2. 
 I log 2
Sử dụng máy tính để tính giá trị 2 =2 suy ra đáp án là D.
 Câu 3. (Đề thi Minh hoa 2018). Cho a là số thực dương bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?
 1 1
A. log 3a 3loga B. loga3 loga C. loga3 3loga D. log 3a loga
 3 3
Giải: 
Cách 1. Sử dụng công thức logarit ta có đáp án là C
Cách 2. Sử dụng máy tính. Ta lấy a là một giá trị bất kỳ thỏa mãn a dương và khác 1 chẳng 
hạn a = 2. Sử dụng máy tính để thử các đáp án. Với đáp án A ta tính giá trị log 3x2 0,778 
và tính 3log2 0,9 suy ra log 3x2 3log2 0,778 ta loại phương án A. Tương tự ta thử tiếp 
các đáp an và suy ra đáp án đúng là C.
 1
Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số y x 1 3
Giải.
Học sinh lên bảng giải bài tập
Dự kiến học sinh sai lầm khi lấy điều kiện xác định của hàm số
Khắc phục: Gọi một học sinh nhắc lại điều kiện xác định của y f x trong các trường 
hợp nguyên dương, nguyên âm hoặc bằng không, không nguyên
 Điều kiện xác định của y f x với với không nguyên là f x 0
 Suy ra x D x 1 0 x 1 D 1; 
Câu 5. Tìm tập xác định của hàm số y log 1 x 
Gải. 
Điều kiện xác định của y log f x là f x 0
Suy ra x D 1 x 0 x 1 D ;1 
 2x
Câu 6. Tính đạo hàm của hàm số y 3
Giải.
Học sinh có thể gặp một số sai sót chẳng hạn như thiếu ln 3 hoặc thiếu đạo hàm của 2x cũng 
có thể nhớ hầm công thức đạo hàm dạng xn
 u
Hướng khắc phục: gọi một học sinh nhắc lại công thức đạo hàm dạng au ' a .u '.ln a
 ' 2x 2x
 y ' 2x 3 ln 3 2.3 ln 3
Câu 7. Tính đạo hàm của hàm số y ln x2 1 
Giải. 
 '
 x2 1
 2x
 y ' 
 x2 1 x2 1
Câu 8. Tìm đạo hàm của hàm số y=e2x
 A. y' = 2xe2x-1 B. y' = e2x C. y' = 2e2x D. y' = 2e2x-1 
Giải
 u 2x ' 2x
 C1. Áp dụng công thức eu ' e .u ' ta được y ' e 2x 2e suy ra đáp án là C
Cách 2. Sử dụng chức năng tính đạo hàm tại một điểm của máy tính casio. 
 Nếu y' là đạo hàm của hàm số f (x) thì hiển nhên y'(x0) = f '(x0 ) với mọi x0. Như vậy 
 để tìm ra đáp án đúng ta chọn một giá trị x0 và sử dụng máy tính tính đạo hàm tại đó 
 và thay x0 và các hàm số trong các đáp án để tìm ra kết quả.
 2x
 Chọn x0=2 ta sử dụng máy tính tính đạo hàm tại 2 của y=e ta được kết quả gần đúng 
 3
 là 109,196. Thay x0=2 vào đáp án A được kết quả gần đúng là 4e 80,34 suy ra loại 
 A. Thay 2 vào B ta được kết quả gần đúng là e4 54,59 suy ra loại B. Thay 2 vào C ta 
 được 2e4 109,196. Vậy kết quả là C.
 LUYỆN TẬP
1. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
 p
Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y = (x 3 - 27)2 .
 A. D = ¡ \{2} . B. D = ¡ . C. D = [3;+ ¥ ). D. D = (3;+ ¥ ).
Lời giải. Áp dụng lý thuyết '' Lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương '' .
 p
Do đó hàm số y = (x 3 - 27)2 xác định khi x 3 - 27 > 0 Û x > 3 . Chọn D.
 - 3
Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y = (x 2 - x - 2) .
 A. D = ¡ . B. D = ¡ \{- 1;2}. 
 C. D = (- ¥ ;- 1)È(2;+ ¥ ). D. D = (0;+ ¥ ).
Lời giải. Áp dụng lý thuyết '' Lũy thừa với số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0 '' .
 ïì x ¹ - 1
Do đó hàm số đã cho xác định khi x 2 - x - 2 ¹ 0 Û íï . Chọn B.
 îï x ¹ 2
 é 2 ù p
Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số y = ëêx (x + 1)ûú .
 A. D = (0;+ ¥ ). B. D = (- 1;+ ¥ )\{0}.
 C. D = (- ¥ ;+ ¥ ). D. D = (- 1;+ ¥ ).
 ïì x > - 1
Lời giải. Hàm số xác định khi x 2 (x + 1)> 0 Û íï . Chọn B.
 îï x ¹ 0
Câu 4. Rút gọn biểu thức P = 3 x 5 4 x với x > 0.
 20 21 20 12
 A. P = x 21 . B. P = x 12 . C. P = x 5 . D. P = x 5 . 
Lời giải. Cách dùng MTCT. Chọn x > 0 ví dụ như x = 1,25 chẳng hạn.
Tính giá trị 3 1,255 4 1,25 rồi lưu vào A 
 20
Tiếp theo ta tính hiệu, ví dụ như đáp án A ta cần tính A- (1,25)21 . Nếu màn hình máy tính xuất 
hiện kết quả bằng 0 thì chứng tỏ đáp án A đúng. 
Đáp số chính là B. Chọn B.
 a 3+ 1.a2- 3
Câu 5. Rút gọn biểu thức P = với a > 0.
 2 + 2
 (a 2- 2 )
 4 5 3
 A. P = a . B. P = a. C. P = a . D. P = a .
 ïì 3+ 1 2- 3 3+ 1+ (2- 3) 3
 ï a .a = a = a 3
 ï a 3- (- 2) 5
Lời giải. Ta có í 2 + 2 ® P = - 2 = a = a . Chọn C.
 ï 2- 2 ( 2- 2)( 2 + 2) 2- 4 - 2
 ï a = a = a = a a
 îï ( )
 1
Câu 6. Với giá trị nào của a thì đẳng thức a.3 a.4 a = 24 25 . đúng?
 2- 1
 A. a = 1. B. a = 2 . C. a = 0 . D. a = 3.
 ïì 1
 ï é 1 ù2
 ï ê æ 1 ö3 ú 17
 ï 3 4 = ê ç 4 ÷ ú = 24
 ï a. a. a a.ça.a ÷ a
 ê èç ø÷ ú 3 4 24 5 1
Lời giải. Ta có íï ê ú ® a. a. a = 2 . Û a = 2. Chọn B.
 ë û - 1
 ï 2
 ï 5 1 17
 ï 24 5 1
 ï 2 . = 2 24.2 2 = 2 24
 ï - 1
 îï 2
Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của a thỏa mãn 15 a7 > 5 a2 .
 A. a = 0 . B. a 1. D. 0< a < 1.
 7 2 7 6
Lời giải. Ta có 15 a7 > 5 a2 Û a15 > a 5 Û a15 > a15 ¾ ¾® a > 1. Chọn C.
Câu 8. Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% 
một quý. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi quý số tiền lãi sẽ 
được nhập vào gốc để tính lãi cho quý tiếp theo. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 
triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau 
khi gửi tiền (cả vốn lẫn lãi) gần nhất với kết quả nào sau đây?
 A. 210 triệu. B. 220 triệu. C. 212 triệu. D. 216 triệu.
Lời giải. Số tiền nhận về sau 1 năm của 100 triệu gửi trước là 100(1+ 2%)4 triệu.
Số tiền nhận về sau 6 tháng của 100 triệu gửi sau là 100(1+ 2%)2 triệu.
Vậy tổng số tiền là 100(1+ 2%)4 + 100(1+ 2%)2 = 212,283216(» 212,283)triệu.Chọn C.
Câu 9. Tập xác định của hàm số y log2 x bằng 
 A. 0; . B. ; . C. 0; . D. 2; .
Lời giải. Điều kiện xác định: x 0 . Chọn C
Câu 10. Cho các mệnh đề sau:
(I). Cơ số của logarit phải là số nguyên dương. (II). Chỉ số thực dương mới có logarit.
 (III). ln(A + B)= ln A + ln B với mọi A > 0, B > 0 . (IV) loga b.logb c.logc a = 1 , với mọi a, b, c Î ¡ .
Số mệnh đề đúng là:
 A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . 
Lời giải. Cơ số của lôgarit phải là số dương khác 1. Do đó (I) sai.
Rõ ràng (II) đúng theo lý thuyết SGK.
Ta có ln A + ln B = ln(A.B) với mọi A > 0, B > 0 . Do đó (III) sai.
Ta có loga b.logb c.logc a = 1 với mọi 0 < a, b, c ¹ 1 . Do đó (IV) sai. 
Vậy chỉ có mệnh đề (II) đúng. Chọn A.
 3
Câu 11. Với a là một số thực dương tùy ý, log2 a bằng 
 3 1
 A. log a . B. log a . C. 3 log a . D. 3log a .
 2 2 3 2 2 2
 3
Lời giải. Ta có : log2 a 3log2 a . Chọn D
 P = log a.3 a a 0 < a ¹ 1.
Câu 12. Tính giá trị của biểu thức a ( ) với 
 1 3 2
 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = 3 .
 3 2 3
 é 1 ù
 ê æ 1 ö3 ú æ 3 ö 3 3
Lời giải. Ta có P = log êa.ça.a 2 ÷ ú= log ça 2 ÷= log a = . Chọn B. 
 a ê ç ÷ ú a ç ÷ a
 ê è ø ú è ø 2 2
 ë û
Cách trắc nghiệm: Chọn a = 2 và bấm máy.
 1 = log .
Câu 13. Cho a là số thực dương và khác . Tính giá trị biểu thức P a a
 1
 A. P = - 2 . B. P = 0 . C. P = . D. P = 2 .
 2
 < ¹ = log = log = 2 log = 2.1 = 2.
Lời giải. Với 0 a 1, ta có P a a 1 a a a Chọn D. 
 a 2
 a b
Câu 14. Xét các số thực a và b thỏa mãn log3 3 .9 log9 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 A. a 2b 2 . B. 4a 2b 1 . C. 4ab 1 . D. 2a 4b 1 .
 a b a b a 2b
 log 3 .9 log 3 log 3 log 9 log 2 3 log 3 log 3 log 2 3
Lời giải. Ta có: 3 9 3 3 3 3 3 3
 1
 a 2b 2a 4b 1. Chọn D.
 2
Câu 15. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 = bc. Tính S = 2lna- lnb- lnc .
 æa ö æa ö
 A. S = 2 lnç ÷. B. S = 1. C. S = - 2 lnç ÷. D. S = 0.
 èçbc ø÷ èçbc ø÷
Lời giải. Ta có S = 2 ln a - (ln b + ln c)= ln a2 - ln(bc)= ln(bc)- ln(bc)= 0. Chọn D.
 2 3
Câu 16. Cho log2 x = 2 . Tính giá trị biểu thức P = log2 x + log 1 x + log4 x.
 2
 11 2 2
 A. P = . B. P = 2 . C. P = - . D. P = 3 2. 
 2 2
 1 1 1 2
Lời giải. Ta có P = 2 log x - 3log x + log x = - log x = - . 2 = - . Chọn C.
 2 2 2 2 2 2 2 2
 log5 120
Câu 17. Cho log2 5 = a, log3 5 = b . Tính giá trị biểu thức A = theo a và b .
 2log4 2
 2b + ab + a 3b + ab + a
 A. A = . B. A = . 
 4 2ab ab
 3b + ab + a b + ab + 3a
 C. A = . D. A = .
 4 2ab 4 2ab
 log 23.5.3
 log5 120 5 ( ) 3log5 2 + 1+ log5 3
Lời giải. Ta có A = = 1 =
 2log4 2 4 2
 2 4
 3 1
 + 1+
 3b + ab + a
= a b = . Chọn C.
 4 2 4 2ab
Cách 2. Dùng MTCT:
Bấm máy log2 5 và lưu vào biến A; Bấm máy log3 5 và lưu vào biến B.
 log 120 2b + ab + a
Giả sử với đáp án A, nếu đúng thì hiệu 5 - phải bằng 0.
 2log4 2 4 2ab
 log 120 2B+ AB+ A
Nhập vào màn hình 5 - với A, B là các biến đã lưu và nhấn dấu =. 
 2log4 2 4 2AB
Màn hình xuất hiện số khác 0. Do đó đáp án A không thỏa mãn.
Thử lần lượt và ta chọn được đáp án đúng là C.
Câu 18. Với mọi a, b, x là các số thực dương thoả mãn log 2 x = 5log2 a + 3log2 b . Mệnh đề nào 
dưới đây là đúng?
 A. x = 3a+ 5b . B. x = 5a+ 3b . C. x = a5 + b3 . D. x = a5b3 .
 5 3 5 3 5 3
Lời giải. Ta có log 2 x = 5log2 a + 3log2 b = log2 a + log2 b = log2 a b Û x = a b .Chọn D.
Câu 19. Cho a, b, x, y là các số thực dương và khác 1. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
 A. loga (x + y)= loga x + loga y . B. logb a.loga x = logb x .
 1 1 x loga x
 C. loga = .D. loga = .
 x loga x y loga y
Lời giải. Ta có loga x + loga y = loga xy ¾ ¾® A sai.
 x
 log x - log y = log ¾ ¾® D sai.
 a a a y
 1
 log = - log x ¾ ¾® C sai.
 a x a
 logb a.loga x = logb x ¾ ¾® B đúng. Chọn B.
Câu 20. Cho hai số thực a và b , với 1< a < b . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?
 A. loga b < 1< logb a .B. 1< loga b < logb a .
 C. logb a < loga b < 1 .D. logb a < 1< loga b .
 ïì log b > log a Û log b > 1
Lời giải. Ta có b > a > 1 Û íï a a a Û log a < 1< log b. Chọn D.
 ï b a
 îï logb b > logb a Û 1> logb a
 2
Câu 21. Có bao nhiêu giá trị nguyên m thỏa log 1 m m 2 log 1 22 ?
 2 2
 A.10. B.20. C.22. D.Vô số.
 2 2 2
Lời giải. Ta có log 1 m m 2 log 1 22 m m 2 22 m m 20 0 4 m 5 .
 2 2
 Từ đó suy ra có 10 giá trị nguyên m thỏa đề bài. Chọn A.
 2
Câu 22. Tìm tập xác định D của hàm số y = log 2 (x - 2x - 3).
 A. D = (- ¥ ;- 1]È[3;+ ¥ ).B. D = [- 1;3].
 C. D = (- ¥ ;- 1)È(3;+ ¥ ).D. D = (- 1;3).
 éx > 3
 Û x 2 - 2x - 3 > 0 Û ê .
Lời giải. Hàm số xác định ê
 ëx < - 1
Vậy tập xác định của hàm số là D = (- ¥ ;- 1)È(3;+ ¥ ). Chọn C.
 x - 3
Câu 23. Tìm tập xác định D của hàm số y = log .
 5 x + 2
 A. D = (- 2;3).B. D = (- ¥ ;- 2)È[3;+ ¥ ). 
 C. D = ¡ \{- 2} .D. D = (- ¥ ;- 2)È(3;+ ¥ ).
 x - 3 éx < - 2
 Û > 0 Û ê
Lời giải. Hàm số xác định ê . Chọn D.
 x + 2 ëx > 3
Câu 24. Tìm tập xác định D của hàm số y = 2- ln(ex).
 A. D = (1;2). B. D = (1;+ ¥ ). C. D = (0;1). D. D = (0;e].
 ïì ex > 0 ïì x > 0 ïì x > 0
Lời giải. Hàm số xác định Û íï Û íï Û íï Û 0 < x £ e. Chọn D.
 ï ï 2 ï
 îï 2- ln(ex)³ 0 îï ex £ e îï x £ e
Câu 25. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ln (x 2 - 2mx + m) có tập xác 
định là ¡ .
 A. m 1. B. 0 < m< 1. C. m £ 0 ; m ³ 1 . D. 0 £ m £ 1.
 ïì a > 0
 Û 2 - + > " Î ¡ Û ï Û < <
Lời giải. Ycbt x 2mx m 0, x í 2 0 m 1 . Chọn B.
 îï D ' = m - m < 0
 e x
Câu 26. Tìm tập xác định D của hàm số y = .
 e x - 1
 A. D = ¡ \{0} . B. D = ¡ . C. D = ¡ \{1} . D. D = ¡ \{e} .
Lời giải. Hàm số xác định Û e x - 1 ¹ 0 Û e x ¹ 1 Û x ¹ 0 . Chọn A.
 2
Câu 27. Tính đạo hàm của hàm số y = 2x .
 1+ x 2 1+ x
 x.2 2 x.2
 A. y ' = . B. y ' = x.21+ x .ln 2 . C. y ' = 2x.ln 2x . D. y' = .
 ln 2 ln2
 / / 2
Lời giải. Áp dụng công thức (au ) = u/.au .ln a , ta có y/ = (x 2 ) .2x .ln 2
 2 2
= 2x.2x .ln 2 = x.21+ x .ln 2 . Chọn B.
Câu 28. Tính đạo hàm của hàm số y = log2 (2x + 1).
 2 1 2 1
 A. y ' = . B. y ' = . C. y ' = . D. y ' = .
 2x + 1 2x + 1 (2x + 1)ln 2 (2x + 1)ln 2
 /
 / u ' (2x + 1) 2
Lời giải. Áp dụng (loga u) = , ta được y ' = = . Chọn C.
 u.ln a (2x + 1).ln 2 (2x + 1).ln 2
Câu 29. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số f (x)= e 2- 3x trên đoạn 
[0;2]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
 1 M
 A. m+ M = 1. B. M - m = e. C. M.m = . D. = e 2 .
 e 2 m
Lời giải. Hàm số f (x) xác định và liên tục trên đoạn [0;2].
Đạo hàm f '(x)= - 3e 2- 3x < 0, " x Î ¡ . Do đó hàm số f (x) nghịch biến trên [0;2].