Lý thuyết và bài tập Toán Lớp 12 - Tích phân và ứng dụng

 CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 
I. LÝ THUYẾT 
 1. Định nghĩa. Cho hàm fx() liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu 
 Fx() là một nguyên hàm của thì hiệu số F()() b F a được gọi là tích phân của từ 
 b
 a đến b và ký hiệu là f() x dx . Trong trường hợp ab thì là tích phân của f trên 
 a
 ab;  . 
 2. Tính chất của tích phân . 
 Cho các hàm số f( x ), g ( x ) liên tục trên K và abc,, là ba số thuộc K. 
 a b a
 • f( x ) dx 0 • f ( x ) dx f ( x ) dx
 a a b
 b c b b b
 • f()()().()() x dx f x dx f x dx • k f x dx k f x dx 
 a a c a a
 b b b
 • [f ( x ) g ( x )] dx f ( x ) dx g ( x ) dx
 a a a
 3. Một số phương pháp tính tích phân 
 b ub()
 • Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số fuxuxdx[ ( )] '( ) fudu ( ) . Trong đó 
 a u() a
 fx() là hàm số liên tục và ux() có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp f[ u ( x )] 
 xác định trên J; a, b J . 
 Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách 
 Cách 1. Đặt ẩn phụ u u() x ( u là một hàm của x) 
 Cách 2. Đặt ẩn phụ x x() t ( x là một hàm số của t). 
 • Phương pháp tích phân từng phần. 
 Định lý. Nếu u( x ), v ( x ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và ab, là hai số thuộc K 
 bb
 thì uxvxdx()'() uxvx ()()b vxuxdx ()'() 
 a
 aa
 4. Ứng dụng của tích phân 
 • Tính diện tích hình phẳng 
 • Nếu hàm số y f() x liên tục trên ab;  thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 
 b
 hàm số y f() x , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b là S f() x dx . 
 a
 • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số , y g() x và hai đường thẳng 
 là 
 b
 S f()() x g x dx 
 a
 • Tính thể tích vật thể. Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại 
 b
 các điểm ab, là V S() x dx . Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi 
 a
 mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x  a; b và S(x) là một hàm 
 liên tục. 
 • Tính thể tích khối tròn xoay. 
 • Hàm số y f() x liên tục và không âm trên ab;  . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
 y f() x , trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục hoành tạo nên một khối b
 tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức V f2 () x dx . 
 a
 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x g() y , trục tung và hai đường thẳng y c, y d 
 quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức 
 d
 V g2 () y dy . 
 c
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THEO CẤP ĐỘ 
 1. NHẬN BIẾT 
 2
Câu 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [–1;2], f(–1) = –2 và f(2) = 1. Tính I f' x dx 
 1
 A. 3 B. 1 C. –3 D. –1 
 b
Câu 2: Biết f x dx 10 , F(x) là một nguyên hàm của f(x) và F(a) = –3. Tính Fb . 
 a
 A. Fb 13 B. Fb 10 C. Fb 7 D. Fb 16
 5 5 5
Câu 3: Cho biết f x dx 3 , g t dt 9 . Giá trị của A f x g x dx là: 
 2 2 2
 A. 12 B. 3 C. 6 D. 9 
 2 4
Câu 4: Đổi biến ux sin thì tích phân sinx cos xdx thành: 
 0
 1 2 1 2
 42 4 4 32
 A. u1 u du B. u du C. u du D. u1 u du 
 0 0 0 0
 ln 4 x
Câu 5: Cho I dx . Giả sử đặt tx ln . Khi đó ta có: 
 x
 1
 A. I t3 dt B. I t4 dt C. I t4 dt D. I 4 t4 dt 
 4 
Câu 6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f() x , trục hoành, đường thẳng xa và 
xb ()ab tính bởi công thức 
 b b b b
 A. S f() x dx B. S f() x dx C. S f2() x dx S f() x dx 
 a a a D. a
 dd b
Câu 7: Nếu f x dx 5; f x 2 với a d b thì f x dx bằng 
 ab a
 A. 0 B. –2 C. 3 D. 7 
Câu 8: Công thức nào sau đây sai? 
 x 1 ax
 A. exx dx e C B. x dx C C. ax dx C D. kdx k C
 1 ln a 
 1 2dx
Câu 9 : Tích phân ln a . Giá trị của a bằng. 
 0 3 2x
 1 1
 A. B. 3 C. 9 D. 
 3 9
 11
Câu 10: Hàm số F( x ) 3 x2 1 có một nguyên hàm là 
 x x2
 1 1
 A. f( x ) x3 2 x x . B. f() x x3 x x . 
 x x 1 11
 C. f( x ) x3 2 x . D. f() x x3 x x . 
 x 2 x
 2. THÔNG HIỂU 
 4xx32 5 1
Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số y . 
 x2
 1 1 1
A. 2x2 5 x C . B. x2 5. x C C. 2x2 5 x C . D. 2x2 5 x ln x C . 
 x x x
 xx( 2)
Câu 12: Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số fx() 
 (x 1)2
 xx2 1 x2 xx2 1 xx2 1
A. . B. . C. . D. . 
 x 1 x 1 x 1 x 1
 33254
Câu 13: Biết x d x a . x b ln x C . Khi đó, ab bằng? 
 x
 23 17 23 17
A. . B. . C. . D. . 
 5 5 5 5
 1
Câu 14: Tích phân I x. e2x dx 
 0
 e2 1 e2 1 e2 1 e2 1
A. I B. I C. I D. I 
 4 4 4 4
 4
Câu 15. Nếu f 1 12 , fx' liên tục và f' x dx 17 . Giá trị của f 4 bằng 
 1
A. 29 B. 5 C. 15 D. 19 
 2
 2
Câu 16: Cho tích phân I esinx sin x cos 3 x d x . Nếu đổi biến số tx sin2 thì: 
 0
 11 1 1 1 1 2
A. I 2 ett d t te d t . B. I et 1 t d t . C. I 2 et 1 t d t . D. I et 1 t d t .
 00 2 0 0 2 0
 2 2
Câu 17: Cho f x dx 5. Khi đó f x 2sin x . dx bằng: 
 0 0
A. 5 B. 5 C. 7 D. 3 
 2
Câu 18: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x42 5 x 4, trục hoành và 2 đường 
thẳng xx 0, 1. 
 38 7 8 64
A. . B. . C. . D. . 
 15 3 5 25
Câu 19: Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) trong hình là? 
 23 03
A. f( x )d x f ( x )d x . B. f( x )d x f ( x )d x . 
 00 20
 03 3
C. f( x )d x f ( x )d x . D. f( x )d x . 
 20 2
Câu 20: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm 
số y x(4 x ) với trục hoành. 512 512 32 32
A. . B. . C. . D. . 
 15 15 3 3
 3. VẬN DỤNG 
 20x2 30x 7
Câu 1: Biết F x ax2 bx c 2x 3 là một nguyên hàm của hàm số f (x) ; với 
 2x 3
 3
x . Tính tổng P = a + b + c. 
 2
A. P 2. B. P3 C. P 4.. D. P 5. 
Câu 2: Hàm số f (x) x x 1 có một nguyên hàm là F(x). Nếu F(0) 2 thì giá trị của F(3) là 
 16 46 36 68
A. B. C. D. 
 5 5 5 5 
 ln x 1
Câu 3: Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm y ln2 x 1. mà F(1) . Giá trị F2 (e) bằng: 
 x 3
 8 1 8 1
A. B. . C. . D. . 
 9 9 3 3
 x1 
Câu 4: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm y . Nếu F(0) = 1 thì F(2) thuộc khoảng nào sau 
 x12 
đây? 
A. 0;1 B. 1;2 C. 2;3 D. 3;4 
Câu 5: Họ nguyên hàm của hàm số: f(x) cos2x.ln(sin x cosx) là 
 1111
A. F(x) = 1 sin 2x ln 1 sin 2x sin 2x C B. F(x) = 1 sin 2x ln 1 sin 2x sin 2x C
 2442 
 1111
C. F(x) = 1 sin 2x ln 1 sin 2x sin 2x C D. F(x) = 1 sin 2x ln 1 sin 2x sin 2x C 
 4444
 e 31ea 
Câu 6. Biết x3 ln xdx trong đó a, b là những số nguyên? 
 1 b
A. ab. 64. B. ab. 46 C. ab 12 D. ab 4 
 e ln xe ln x
Câu 7. Cho tích phân I dx ea b , giá trị của a + 2b bằng 
 1 x
 3 5
A. 2 B. . C. . D. 3. 
 2 2
 0 3xx2 5 1 2
Câu 8. Giả sử rằng I dx aln b . Khi đó giá trị của ab 2 là 
 1 x 23
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 
 1 2x 1 ex 2 x eb 
Câu 9: Cho tích phân I dx a ln , trong đó a, b, c là ba số nguyên. Tính giá trị 
 x
 0 ec 1
biểu thức P a2 b 2 c 2. 
A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. 
 1 xdx
Câu 10: Tính J 
 3
 0 (x 1)
 1 1
A. J B. J C. J =2 D. J = 1 
 8 4 Câu 11: Cho hình cong (H) giới hạn bởi các đường y x x2 1 ; 
y 0; x 0 và x 3 . Đường thẳng xk với 13 k chia 
hình (H) thành 2 phần có diện tích là S1 và S2 . Để SS12 6 thì k 
gần bằng 
A. 1,37 B. 1,63 
C. 0,97 D. 1,24 
 x2
Câu 12: Parabol y chia đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính 22 thành hai phần, gọi S là 
 2 1
 S2
diện tích của phần nằm phía trên trục hoành và S2 là diện tích của phần còn lại. Tỉ số gần bằng . 
 S1
A. 0,34 B. 0,43 C. 2,5 D. 2,3 
Câu 13: Cho ba hàm số sau, xác định với 
 x2
x 0,y x 6(C);y x(C)2 và y (C ) . Tính diện tích 
 128 3
hình phẳng giới hạn bởi ba đường (C1 ), (C 2 ),(C 3 ) 
 A. 4 B. 5 
 C. 6 D. 3 
Câu 14: 
Một chiếc thùng đựng rượu vang như hình vẽ ở bên được ghép bởi các thanh gỗ 
uốn cong có dạng là một parabol và được buộc chắc bằng các đai thép hình tròn. 
Biết đáy của thùng rượu là một đường tròn có bán kính đáy bằng 30cm , chiều 
cao của thùng rượu là 1m , chiếc đai thép hình tròn đặt chính giữa thùng rượu có 
bán kính 40cm . Hỏi thùng rượu chứa được tối đa bao nhiêu lít rượu. 
A. 215 lít. B. 320 lít. 
C. 425 lít. D. 540 lít. 
Câu 15: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì gặp chướng ngại vật, người lái xe đạp phanh, từ thười 
điểm đó ô tô chuyên động chậm dần đều với vận tốc v 5 t 10( m / s ) , trong đó t là khoảng thời gian 
tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hăn, ô tô còn di chuyển 
được bao nhiêu mét? 
A. 0,2 (m) B. 2 (m) C. 10 (m) D. 20(m) 
 4. VẬN DỤNG CAO 
 π
 4 1 x2 f() x
Câu 1: Cho hàm số fx() liên tục trên và I f(tan x ) dx 4 , J dx 2 . Tính tích phân 
 2
 0 0 x 1
 1
I f() x dx . 
 0
A. I 6. B. I 2. C. I 3 . D. I 1. 
Câu 2: Xét hàm số fx() liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn 2f ( x ) 3 f (1 x ) 1 x2 . Tính 
1
 f() x dx . 
0
A. . B. . C. . D. . 
 4 6 20 16