Lý thuyết và bài tập Toán Lớp 12 - Tọa độ điểm, tọa độ véc tơ và các phép toán véc tơ

 TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉC TƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ 
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 
1. AB (xBABABA x , y y ,z z )
 2 2 2
2. AB AB xBABABA x y y z z 
3. a b a1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 
 z 
4. k.a ka1 ,ka 2 ,ka 3 
 222
5. a a1 a 2 a 3 
 k 0;0;1 
 ab11 
 6. a b a22 b
 j 0;1;0
 ab33 y 
7. a.b a1 .b 1 a 2 .b 2 a 3 .b 3 O 
 aa12a3
8. a / /b a k.b a  b 0 i 1;0;0 
 b1 b 2 b 3 x 
9. a b a.b 0 a1 .b 1 a 2 .b 2 a 3 .b 3 0
 a2 a 3 a 3 a 1 aa12
10. a b , , 
 b2 b 3 b 3 b 1 bb12
 a.b a b a b a b
11. cos(a,b) 1 1 2 2 3 3 
 2 2 2 2 2 2
 a | b a1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3
12. a,b,c đồng phẳng a  b .c 0 
 xABABAB kx y ky z kz
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: M , , 
 1 k 1 k 1 k
 xABABAB x y y z z
14. M là trung điểm AB: M,, 
 2 2 2
 xABCABCABC x x y y y z z z
15. G là trọng tâm tam giác ABC: G,,, 
 3 3 3
16. Véctơ đơn vị : i (1,0,0); j (0,1,0);k (0,0,1) 
17. M(x,0,0) Ox;N(0, y,0) Oy;K(0,0,z) Oz 
18. M(x, y,0) Oxy;N(0, y,z) Oyz;K(x,0,z) Oxz 
 11
19. S AB  AC a222 a a 
 ABC22 1 2 3 1
20. V  (AB AC).AD 
 ABCD 6
 21. V  (AB AD).AA/ 
 ABCD.A//// B C D
B – BÀI TẬP 
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto AO 3 i 4j 2k 5j . Tọa độ của điểm A là 
 A. 3, 2,5 B. 3, 17,2 C. 3,17, 2 D. 3,5, 2 
Câu 2: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A,B,C thỏa:OA 2i j 3k; OB i 2j k; OC 3i 2j k 
với i; j; k là các vecto đơn vị. Xét các mệnh đề: 
 I AB 1,1,4 II AC 1,1,2 Khẳng định nào sau đây đúng ? 
 A. Cả (I) và (II) đều đúng B. (I) đúng, (II) sai 
 C. Cả (I) và (II) đều sai D. (I) sai, (II) đúng 
Câu 3: Cho Cho m (1;0; 1); n (0;1;1) . Kết luận nào sai: 
 A. m.n 1 B. [m,n] (1; 1;1) 
 C. m và n không cùng phương D. Góc của m và n là 600 
Câu 4: Cho 2 vectơ a 2;3; 5,b 0; 3;4,c 1; 2;3 . Tọa độ của vectơ n 3a 2b c là: 
 A. n 5;5; 10 B. n 5;1; 10 C. n 7;1; 4 D. n 5; 5; 10 
Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho a 5;7;2 ,b 3;0;4 ,c 6;1; 1 . Tọa độ của vecto 
n 5a 6b 4c 3i là: 
 A. n 16;39;30 B. n 16; 39;26 C. n 16;39;26 D. n 16;39; 26 
Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a (1;2;2) , b (0; 1;3) , c (4; 3; 1) . Xét 
các mệnh đề sau: 
 (I) a3 (II) c 26 (III) ab (IV) bc 
 2 10
 (V) a.c 4 (VI) a, b cùng phương (VII) cos a, b 
 15
 Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng ? 
 A. 1 B. 6 C. 4 D. 3 2 
Câu 7: Cho a và b tạo với nhau một góc . Biết a 3, b 5 thì ab bằng: 
 3
 A. 6 B. 5 C. 4 D. 7 
Câu 8: Cho a, b có độ dài bằng 1 và 2. Biết (a,b) . Thì ab bằng: 
 3
 3 32
 A. 1 B. C. 2 D. 
 2 2
Câu 9: Cho a và b khác 0 . Kết luận nào sau đây sai: 
 A. [a,b] a b sin(a,b) B. [a,3b]=3[a,b] 
 C. [2a,b]=2[a,b] D. [2a,2b]=2[a,b] 
Câu 10: Cho 2 vectơ a 1;m; 1 ,b 2;1;3 . ab khi: 
 A. m1 B. m1 C. m2 D. m2 
Câu 11: Cho 2 vectơ a 1;log53 3;m ,b 3;log 25; 3 . ab khi: 
 5 3 5
 A. m3 B. m C. m D. m 
 3 5 3
Câu 12: Cho 2 vectơ a 2; 3;1 ,b sin 3x;sin x;cos x . ab khi: 
 k2 7k 
 A. x  x k , k Z B. x  x k , k Z 
 24 4 3 24 2 12
 k 7k 
 C. x  x k , k Z D. x  x k , k Z 
 24 2 12 24 2 12
Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm 
A 2;0;4 , B 4; 3;5 , C sin 5t;cos3t;sin 3t và O là gốc tọa độ. với giá trị nào của t để AB OC . 
 2 2 
 tk tk 
 3 3
 A. (k ) B. (k ) 
 k k
 t t 
 24 4 24 4
 2 
 tk tk 
 3 3
 C. (k ) D. (k ) 
 k k
 t t 
 24 4 24 4
Câu 14: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho u 4;3;4, v 2; 1;2, w 1;2;1 . khi đó u, v .w là: A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 
Câu 15: Điều kiện cần và đủ để ba vec tơ a,b,c khác 0 đồng phẳng là: 
 A. a.b.c 0 B. a,b .c 0 
 C. Ba vec tơ đôi một vuông góc nhau. D. Ba vectơ có độ lớn bằng nhau. 
Câu 16: Chọn phát biểu đúng: Trong không gian 
 A. Vec tơ có hướng của hai vec tơ thì cùng phương với mỗi vectơ đã cho. 
 B. Tích có hướng của hai vec tơ là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đã cho. 
 C. Tích vô hướng của hai vectơ là một vectơ. 
 D. Tích của vectơ có hướng và vô hướng của hai vectơ tùy ý bằng 0 
Câu 17: Cho hai véctơ u, v khác 0 . Phát biểu nào sau đây không đúng ? 
 A. u, v có độ dài là u v cos u, v B. u, v 0 khi hai véctơ u, v cùng phương. 
 C. u, v vuông góc với hai véctơ u, v D. u, v là một véctơ 
Câu 18: Ba vectơ a 1;2;3 ,b 2;1;m ,c 2;m;1 đồng phẳng khi: 
 m9 m9 m9 m9 
 A. B. C. D. 
 m1 m1 m2 m1 
Câu 19: Cho ba vectơ a 0;1; 2 , b 1;2;1 , c 4;3;m . Để ba vectơ đồng phẳng thì giá trị của m là ? 
 A. 14 B. 5 C. -7 D. 7 
Câu 20: Cho 3 vecto a 1;2;1 ; b 1;1;2 và c x;3x;x 2 . Nếu 3 vecto a,b,c đồng phẳng thì x bằng 
 A. 1 B. -1 C. -2 D. 2 
Câu 21: Cho 3 vectơ a 4;2;5 ,b 3;1;3 ,c 2;0;1 . Chọn mệnh đề đúng: 
 A. 3 vectơ đồng phẳng B. 3 vectơ không đồng phẳng 
 C. 3 vectơ cùng phương D. c a,b 
Câu 22: Cho 4 điểm M 2; 3;5 , N 4;7; 9 , P 3;2;1 , Q 1; 8;12 . Bộ 3 điểm nào sau đây là thẳng hàng: 
 A. N,P,Q B. M, N,P C. M,P,Q D. M, N,Q 
Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho 3 vecto a 1;1;0 ; b 1;1;0 ; c 1;1;1 . Trong các mệnh đề sau, 
mệnh đề nào sai A. a2 B. c3 C. ab D. bc 
Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm M 2;3; 1 , N 1;1;1 , P 1;m 1;2 . Với giá trị 
nào của m thì tam giác MNP vuông tại N ? 
 A. m3 B. m2 C. m1 D. m0 
Câu 25: Cho vecto u (1;1; 2) và v (1;0;m) . Tìm m để góc giữa hai vecto u và v có số đo 450 . 
 Một học sinh giải như sau : 
 1 2m
 Bước 1: cos u, v 
 6 m2 1
 Bước 2: Góc giữa hai vecto u và v có số đo 450 suy ra: 
 1 2m 1
 1 2m 3 m2 1 (*) 
 6 m2 1 2
 2 m 2 6
 Bước 3: Phương trình (*) 12m 2m 22 1 m 4m20 
 m 2 6
 Bài giải trên đúng hay sai ? Nếu sai thì sai ở bước nào ? 
 A. Đúng B. Sai ở bước 1 C. Sai ở bước 2 D. Sai ở bước 3 
Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho 3 vecto a 1;1;0 ; b 1;1;0 ; c 1;1;1 . Trong các mệnh đề sau, 
mệnh đề nào đúng 
 2
 A. a.c 1 B. a,b,c đồng phẳng C. cos b,c D. a b c 0 
 6
Câu 27: Cho hai vectơ a,b thỏa mãn: a 2 3, b 3, a,b 300 . Độ dài của vectơ a 2b là: 
 A. 3 B. 23 C. . 63 D. 2 13 
Câu 28: Cho a 3;2;1 ; b 2;0;1 . Độ dài của vecto ab bằng 
 A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 
 0
Câu 29: Cho hai vectơ a 1;1; 2 ,b 1;0;m . Góc giữa chúng bằng 45 khi: 
 A. m 2 5 B. m 2 3 C. . m 2 6 D. m 2 6 . 
Câu 30: Trong hệ trục Oxyz , cho ba điểm A 2,1,0 , B 3,0,4 , C 0,7,3 . Khi đó , cos AB,BC bằng: 
 14 72 14 14
 A. B. C. D. 
 3 118 3 59 57 57 
Câu 31: Trong không gian Oxyz cho a 3; 2;4 ; b 5;1;6 ; c 3;0;2 . Tọa độ của x sao cho x đồng 
thời vuông góc với a,b,c là: 
 A. (0;0;1) B. (0;0;0) C. (0;1;0) D. (1;0;0) 
Câu 32: Trong hệ tọa độ Oxyz cho điêm M(3;1;-2). Điểm N đối xứng với M qua trục Ox có tọa độ là: 
 A. (-3;1;2) B. (-3;-1;-2) C. (3;1;0) D. (3;-1;2) 
Câu 33: Trong hệ trục Oxyz , M’ là hình chiếu vuông góc của M 3, 2,1 trên Ox. M’ có toạ độ là: 
 A. 0,0,1 B. 3,0,0 C. 3,0,0 D. 0, 2,0 
Câu 34: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm A(2;-2;1), B(3;-2;1) Tọa độ điểm C đối xứng với A 
qua B là: 
 A. C(1;2;1) B. D(1; 2; 1) C. D( 1;2; 1) D. C(4; 2;1) 
Câu 35: Cho A 1;0;0 ,B 0;0;1 ,C 3;1;1 . Để ABCD là hình bình hành tọa điểm D là:: 
 A. D 1;1;2 B. D 4;1;0 C. D 1; 1; 2 D. D 3; 1;0 
Câu 36: Cho ba điểm 1;2;0 , 2;3; 1 , 2;2;3 . Trong các điểm A 1;3;2 ,B 3;1;4 , C 0;0;1 thì điểm 
nào tạo với ba điểm ban đầu thành hình bình hành là ? 
 A. Cả A và B B. Chỉ có điểm C. C. Chỉ có điểm A. D. Cả B và C. 
Câu 37: Cho A(4; 2; 6), B(10;-2; 4), C(4;-4; 0), D(-2; 0; 2) thì tứ giác ABCD là hình: 
 A. Bình hành B. Vuông C. Chữ nhật D. Thoi 
Câu 38: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’, biết A(1;0;1), B(2;1;2), D(1; 1;1), C'(4;5; 5) . Tìm tọa độ đỉnh 
A’ ? 
 A. A'( 2;1;1) B. A'(3;5; 6) C. A'(5; 1;0) D. A'(2;0;2) 
Câu 39: Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm B(1;2;-3) và C(7;4;-2). Nếu E là điểm thỏa mãn đẳng thức 
CE 2EB thì tọa độ điểm E là 
 88 88 8 1
 A. 3; ; B. ;3; C. 3;3; D. 1;2; 
 33 33 3 3
Câu 40: Trong các bộ ba điểm: 
 (I). A(1;3;1); B(0;1;2); C(0;0;1),
 (II). M(1;1;1); N( 4;3;1); P( 9;5;1), 
 (III). D(1;2;7); E( 1;3;4); F(5;0;13), 
Bộ ba nào thẳng hàng ?
 A. Chỉ III, I. B. Chỉ I, II. C. Chỉ II, III. D. Cả I, II, III. Câu 41: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A( 1;0;2) , B(1;3; 1) , C(2;2;2) . 
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai ? 
 25
 A. Điểm G ; ;1 là trọng tâm của tam giác ABC. 
 33
 B. AB 2BC 
 C. AC BC 
 31
 D. Điểm M 0; ; là trung điểm của cạnh AB. 
 22
Câu 42: Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành OADB có OA ( 1;1;0) , OB (1;1;0) (O là gốc tọa 
độ). Khi đó tọa độ tâm hình hình OADBlà: 
 A. (0;1;0) B. (1;0;0) C. (1;0;1) D. (1;1;0) 
Câu 43: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(3;1; 1) , C(1;2;3) . Tọa độ 
điểm D để ABCD là hình bình hành là: 
 A. D(2;1;2) B. D(2; 2; 2) C. D( 2;1;2) D. D(0;2;4) 
Câu 44: Cho 3 điểm A(2; 1; 4), B(–2; 2; –6), C(6; 0; –1). Tích AB.AC bằng: 
 A. –67 B. 65 C. 67 D. 33 
Câu 45: Cho tam giác ABC với A 3;2; 7;B2;2; 3 ;C 3;6; 2 . Điểm nào sau đây là trọng tâm của 
tam giác ABC 
 4 10 4 10
 A. G 4;10; 12 B. G ; ;4 C. G 4; 10;12 D. G ; ; 4 
 33 33
Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A 1,0,0 ;B 0,1,0 ;C 0,0,1 ;D 1,1,1 . Xác định tọa độ trọng 
tâm G của tứ diện ABCD 
 111 111 222 111
 A. ,, B. ,, C. ,, D. ,, 
 222 333 333 444
Câu 47: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;0;1), B(-2;1;3) và C(1;4;0). Tọa độ trực tâm H của tam giác 
ABC là 
 8 7 15 8 7 15 8 7 15 8 7 15
 A. ;; B. ;; C. ;; D. ;; 
 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13
Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2; 1),B(2;1;1),C(0;1;2) . Gọi H a;b;c là trực 
tâm của tam giác. Giá trị của a b c 
 A. 4 B. 5 C. 7 D. 6 Câu 49: Cho 3 điểm A 2; 1;5 ; B 5; 5;7 và M x; y;1 . Với giá trị nào của x ; y thì A, B, M thẳng hàng ? 
 A. x 4 ; y 7 B. x 4; y 7 C. x 4;y 7 D. x 4 ;y 7 
Câu 50: Cho A 0;2; 2 ,B 3;1; 1 ,C 4;3;0 ,D 1;2;m . Tìm m để A, B, C, D đồng phẳng: 
 A. m5 B. m1 C. 1 D. 5 
Câu 51: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD. Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD cho bởi 
công thức nào sau đây: 
 AB,AC .AD 1 AB,AC .AD
 A. h B. h 
 AB.AC 3 
 AB,AC
 AB,AC .AD 1 AB,AC .AD
 C. h D. h 
 3 
 AB,AC AB,AC
 u (1;1;2) v ( 1;m;m 2) u, v 4
Câu 52: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho , . Khi đó thì 
: 
 11 11 11
 A. m 1;m B. m 1;m C. m3 D. m 1;m 
 5 5 5
Câu 53: Cho ba điểm A 2;5; 1 ,B 2;2;3 ,C 3;2;3 . Mệnh đề nào sau đây là sai ? 
 A. ABC đều. B. A, B, C không thẳng hàng. 
 C. ABC vuông. D. ABC cân tại B. 
Câu 54: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0); B(0;1;0); C(0;0;1); D(1;1;1). Trong các mệnh đề 
sau, mệnh đề nào sai 
 A. Bốn điểm ABCD tạo thành một tứ diện B. Tam giác ABD là tam giác đều 
 C. AB CD D. Tam giác BCD là tam giác vuông. 
Câu 55: Cho bốn điểm A(-1, 1, 1), B(5, 1, -1) C(2, 5, 2) , D(0, -3, 1). Nhận xét nào sau đây là đúng 
 A. A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện B. Ba điểm A, B, C thẳng hàng 
 C. Cả A và B đều đúng D. A, B, C, D là hình thang
Câu 56: Cho bốn điểm A(1, 1, -1) , B(2, 0, 0) , C(1, 0, 1) , D (0, 1, 0) , S(1, 1, 1) 
 Nhận xét nào sau đây là đúng nhất 
 A. ABCD là hình chữ nhật B. ABCD là hình bình hành
 C. ABCD là hình thoi D. ABCD là hình vuông Câu 57: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có A(1;0;1), B(2;1;2); D(1;-1;1) và C’(4;5;5). Tọa độ của C và A’ 
là: 
 A. C(2;0;2), A’(3;5;4) B. C(2;0;2), A’(3;5;-4) 
 C. C(0;0;2), A’(3;5;4) D. C(2;0;2), A’(1;0;4) 
Câu 58: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0) , C(0;0;1) và D(1;1;1) . Gọi M, N lần 
lượt là trung điểm của AB và CD . Khi đó tọa độ trung điểm G của đoạn thẳng MN là: 
 111 111 111 222
 A. G;; B. G;; C. G;; D. G;; 
 222 333 444 333
Câu 59: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A 1,1,1 ;B 1,3,5 ;C 1,1,4 ;D 2,3,2 . Gọi I, J lần lượt là 
trung điểm của AB và CD. Câu nào sau đây đúng ? 
 A. AB IJ B. CD IJ 
 C. AB và CD có chung trung điểm D. IJ ABC 
Câu 60: Cho A(0;2; 2) , B( 3;1; 1) , C(4;3;0) và D(1;2;m) . Tìm m để bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng. 
Một học sinh giải như sau: 
 Bước 1: AB ( 3; 1;1); AC (4;1;2) ; AD (1;0;m 2) 
 1 1 1 3 3 1 
 Bước 2: AB,AC ; ; ( 3;10;1) 
 1 2 1 4 4 1
 AB,AC .AD 3 m 2 m 5 
 Bước 3: A,B,C,D đồng phẳng AB,AC .AD 0 m 5 0 
 Đáp số: m5 
 Bài giải trên đúng hay sai ? Nếu sai thì sai ở bước nào ? 
 A. Sai ở bước 2 B. Đúng C. Sai ở bước 1 D. Sai ở bước 3 
Câu 61: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng a và AB  BC . 
Tính thể tích khối lăng trụ. Một học sinh giải như sau: 
 Bước 1: Chọn hệ trục như hình vẽ: 
 a3 a3 a a
 a 
 A ;0;0 , B 0; ;0 , B 0; ;h , C ;0;0 , C ;0;h ( h là 
 2 2 2 2 2
 a a 3 a a 3
chiều cao của lăng trụ), suy ra AB ; ;h ; BC ; ;h 
 22 22
 a22 3a a 2 
 Bước 2: AB  BC AB.BC 0 h2 0 h 
 4 4 2
 a23 3 a 2 a 6
 Bước 3: V B.h . 
 ABC.A B C 2 2 4
 Bài giải trên đúng hay sai ? Nếu sai thì sai ở bước nào ? 
 A. Lời giải đúng B. Sai ở bước 1 C. Sai ở bước 3 D. Sai ở bước 2 
Câu 62: Cho vectơ u (1;1; 2) và v (1;0;m) . Tìm m để góc giữa hai vectơ u và v có số đo bằng 450 . 
Một học sinh giải như sau: 
 1 2m
 Bước 1: cos u, v 
 6. m2 1
 1 2m 1
 Bước 2: Góc giữa u , v bằng 450 suy ra 1 2m 3. m2 1 (*) 
 6. m2 1 2
 m 2 6
 Bước 3: phương trình (*) (1 2m)2 3(m 1) m2 4m 2 0 
 m 2 6
 Bài giải trên đúng hay sai ? Nếu sai thì sai ở bước nào ? 
 A. Sai ở bước 2 B. Sai ở bước 3 C. Bài giải đúng D. Sai ở bước 1 
Câu 63: Cho A 2;0;0 ,B 0;3;0 ,C 0;0;4 . Tìm mệnh đề sai: 
 2 1
 A. AB 2;3;0 B. AC 2;0;4 C. cos A D. sin A 
 65 2
Câu 64: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2;0;0), B(0;3;0) và C(0;0;4). Tìm câu đúng 
 2 65 61
 A. cos A B. sin A C. dt ABC 61 D. dt ABC 65 
 65 65
Câu 65: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD với A(0;0;1); B(0;1;0); C(1;0;0) và D(-2;3;-1). Thể tích 
của ABCD là: 
 1 1 1 1
 A. V đvtt B. V đvtt C. V đvtt D. V đvtt 
 3 2 6 4
Câu 66: Cho A 1;0;0 ,B 0;1;0 ,C 0;0;1 ,D 2;1; 1 . Thể tích của khối tứ diện ABCD là: 
 1 3
 A. đvtt B. đvtt C. 1 đvtt D. 3 đvtt 
 2 2
Câu 67: Cho A 2; 1;6 ,B 3; 1; 4 ,C 5; 1;0 ,D1;2;1 . Thể tích của khối tứ diện ABCD là: 
 A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 
Câu 68: Cho A 1;0;3 ,B 2; 2;0 ,C 3;2;1 . Diện tích tam giác ABC là: 
 A. 62 B. 2 62 C. 12 D. 6 
Câu 69: Cho A 2; 1;3 ,B 4;0;1 ,C 10;5;3 . Độ dài phân giác trong của góc B là: 
 5
 A. 5 B. 7 C. D. 25 
 2