Ôn tập Toán Lớp 11 - Cấp số cộng

 CẤP SỐ CỘNG 
1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi 
số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai. Gọi d là 
công sai, theo định nghĩa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2,. ..). 
Khi d = 0 thì cấp số cộng có các số hạng đều bằng nhau. 
2. Số hạng tổng quát CSC 
Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công 
thức: un = u1 + (n – 1)d 
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng 
Định lí: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (và trừ số hạng cuối cùng đối với 
 uu 
cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là u k 1 k 1 (k ≥ 
 k 2
2). 
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng 
 n(u u ) n[2u (n 1)d]
S 1 n 1 
 n 22
BÀI TẬP TỰ LUẬN 
Bài 1. Xác định số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây: 
a. 2, 5, 8,. .. Tìm u15. 
b. 2 3, 4, 2 3,... Tìm u20. 
Bài 2. Xác định cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30. 
 u2 u 5 u 3 10
Bài 3. Cho cấp số cộng 
 u46 u 26
Tìm số hạng đầu và công sai của nó. 
Bài 4. Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165. 
Bài 5. Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 1140. 
Bài 6. Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công 
sai là 25. 
Bài 7. Cho cấp số cộng (un). Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147. Tính u1 + u6 + u11 + u16. 
Bài 8. Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80. Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. 
Bài 9. Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu 
là 30. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó. 
Bài 10. Cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = –3. Tính a10. 
Bài 11. Tính u1, d trong các cấp số cộng sau đây: 
 S94 
 u35 u 14 u5 19 u3 u 10 31
a. b. c. 45 d. 
 S13 129 u9 35 S 2u49 u 7
 6 2
Bài 12. Cho cấp số cộng (un) có u3 = –15, u14 = 18. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên. 
Bài 13. Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = 3. Tính u20 và S20. 
Bài 14. Cho cấp số cộng (un) có a10 = 10, d = –4. Tính u1 và S10. 
Bài 15. Cho cấp số cộng (un) có u6 = 17 và u11 = –1. Tính d và S11. 
Bài 16. Cho cấp số cộng (un) có u3 = –15, u4 = 18. Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên. 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
1. Công thức nào sau đây đúng với CSC có số hạng đầu u1 ,công sai d 
 a.un= un +d b.un= u1 +(n+1)d c.un= u1 -(n+1)d d.un= u1 +(n-1)d 
2. Cho cấp số cộng 1, 8, 15, 22, 29, .Công sai của cấp số cộng này là: 
 a. 7 b. 8 c.9 d.10 
 11
3. Cho cấp số cộng có u1= ;d 5 số hạng liên tiếp đầu tiên của của cấp số này là; 
 22
 11 1 1 1 1 3 5 1 1 3
 . a. ;0;1; ;1; b. ;0; ;0; c. ;1; ;2; d. ;0; ;1;
 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 1 
 4. Cho cấp số cộng u1= -3, u6 = 27. Công sai của cấp số cộng đó là: 
 a. 5 b.6 c.7 d.8 
5. Cho cấp số cộng u1= 3 , u8 = 24. Công sai của cấp số cộng đó là: 
 a.3 b.4 c.-3 d.5 
6. Cho cấp số cộng u1= - 0 ,1 ; d = 0,1 . Số hạng thứ 7 của cấp số cộng đó là: 
 a.1,6 b.0,5 c.6 0,6 
7. Viết 5 số xen giữa hai số 25 và 1 để được CSC có bảy số hạng 
 a.21; 17; 13; 9; 5 b.21; -17; 13; -9; 5 c.-21; 17; -13; 9; 5 d. 21; 16; 13; 9; 5 
 1 16
 8. Viết 4 số xen giữa hai số và để được CSC có sáu số hạng 
 3 3
 4 5 7 4 7 10 13 4 7 11 14 3 7 11 15
 a. ; ;2; b. ;;; c. ;;; d. ;;; 
 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4
 u2 u 3 u 5 10
9. Cho CSC (un) với .Số hạng đầu và công sai là 
 uu34 17
 a.1 ; 3 b.2; 3 c.3 ; 1 d.3; 2 
 10. Số hạng đầu và công sai của CSC (un) vớiuu7 27; 15 59 lần lượt là 
 a.4 và 3 b.3 và 4 c.-4 và -3 d.-3 và -4 
 uu92 5
11. Cho CSC(un ) thỏa mãn khi đó 
 uu13 25 6
 a.u1=3 và d=4 b.u1=-3 và d=4 c.u1=4 và d=-3 d. u1=-4 và d= -3 
12. Cho CSC có d= -2 và S8 = 72 .Tìm u1 
 a.16 b.-16 c.1/16 d.-1/16 
13. Cho CSC có u1 = -1, d= 2, Sn = 483. Số các số hạng của CSCđó là: 
 a.n =20 b.n= 21 c.n= 22 d.n= 23 
 uu13 6
14. Số hạng tổng quát của CSC thỏa là: 
 u5 10
 a.un= 5-3n b.un= 5+3n c.un= 5n d. un=2-3n 
15. Với giá trị nào của x để 3 số 1-x; x2; 1+x lập thành CSC 
 a. 2 b. 1 c.0 d. không có x 
16. Với giá trị nào của x để 3 số 1+2x; 2x2 -1;-2x lập thành CSC 
 a. 3 b. 3 / 2 c. 3 / 4 d. khôngcó 
17. Với giá trị nào của x để 3 số 1+3x; x2+5 ;1-x lậpthành CSC 
 a. 0 b. c. 2 d. khôngcó 
18. Cho CSC có tổng của chúng bằng 22, tổng bình phương bằng 166. Bốn số hạng của CSC này là: 
 a.1;4;7;10 b.1;4;5;10 c.2;3;5;10 d.2;3;4;5 
19. Cho CSC có u2+ u22 = 60. Số hạng thứ 23 là 
 a.690 b.680 c.600 d.500 
 uu25 42
20. Cho CSC(un ) thỏa mãn Tổng của 346 số hạng đầu là: 
 uu3 10 66
 a.242546 b.242000 c.241000 d.240000 
 2 
 CẤP SỐ NHÂN 
1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số 
hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội. 
Gọi q là công bội, theo định nghĩa ta có 
un+1 = un.q (n = 1, 2,. ..). 
Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, 0, 0,. .., 0,. .. 
Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, u1,. .., u1,. .. 
Nếu u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0,. .. 
2. Số hạng tổng quát của CSN 
 n–1
Định lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức un = u1.q . 
3. Tính chất 
Định lí: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối với cấp số 
nhân hữu hạn) đều có giá trị tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng kề bên nó, tức là 
|uk| = uk 1 .u k 1 với k ≥ 2 
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân. 
Cho một cấp số nhân (un) với công bội q. 
 q1n 
Ta có: Su (q ≠ 1) 
 n1q1 
Nếu q = 1 thì Sn = nu1. 
BÀI TẬP TỰ LUẬN 
Bài 1. 
a. Tìm các số hạng của cấp số nhân có 6 số hạng biết u1 = 243 và u6 = 1. 
b. Cho cấp số nhân có q = 1/4, S6 = 2730. Tìm u1 và u6. 
Bài 2. Cho cấp số nhân có u3 = 18 và u6 = –486. Tìm số hạng đầu tiên u1 và công bội q của CSN đó. 
 u42 u 72
Bài 3. Tìm u1 và q của cấp số nhân biết: 
 u53 u 144
Bài 4. Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có: u3 = 12, u5 = 48. 
 u1 u 2 u 3 13
Bài 5. Tìm u và q của cấp số nhân (un) biết: 
 u456 u u 351
Bài 6. Tìm các số hạng của cấp số nhân (un) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng 
cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai. 
Bài 7. Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng 
thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó. 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
 1 1 1 1
1. Cho dãysố 1; ; ; ; ;...khẳng định nào sau đây sai? 
 2 4 8 16
 1
 a.dãylà CSN có u1 = 1,q = ½ b. Số hạng tổng quát un = 
 2n 1
 1
 c.Số hạng tổng quát un= d. Dãysốgiảm 
 2n
2. Cho dãy số-1;1;-1;1;-1; .khẳng định nào sau đây đúng 
 n
 a.Dãy số này không phải là CSN b.Số hạng tổng quát un = 1 =1 
 2n
 c. Dãy là CSN có u1 = -1, q=-1 d.Số hạng tổng quát un= (-1) 
 1 1 1 1
3. Cho dãy số-1; ;;; .khẳng định nào sau đây sai ? 
 3 9 27 81
 1
 a.Dãy số này không phải là CSN b.Dãylà CSN có u1 = -1, q= 
 3
 n 1
 c.Số hạng tổng quát un = (-1) d.là dãy không tăng , không giảm 
 3n 1
4. Cho CSN u1 = -2, q= -5 ba số hạng tiếp theo của dãy là 
 a. 10;50;-250 b.10;-50;250 c.-10;50;250 d.10;50;250. 
 3 
 5. Cho CSN với u1 = 4,q= -4 ba số tiếp theo của CSN là 
 a.-16;64;-256 b.-16;-64;-256 c.16;64;256 d.-16;64;256 
 1
6. Cho CSN với u1 ;u 32 Công bội của CSN là: 
 2 7
 1
 a.q= b.q= 4 c.q= 2 d.q= 1 
 2
7. Viết 5 số xen giữa số 1 và 729 để được CSN có 7 sốhạng 
 a.3;9;27;81;243 hoặc -3;9;-27;81;-243 b.-3;9;-27;81;-243 hoặc 3;9;27;81;243 
 c. 3;9;27;81;243 hoặc 3;-9;27;-81;243 d.-3;-9;-27;-81;-243 hoặc 3;9;27;81;243 
8. Cho CSN với u1 = -2,u8= 256 công bội q của CSN là: 
 a.q= 2 b.q=-2 c.q= 2 q= 1 
9. Số hạng đầu và công bội q của CSN với u7= -5 , u10= 135 là 
 5 5 5 5
 a.u1= ,3q b.u1= ,3q c.u1= ,3q d.u1= ,3q 
 729 729 729 729
10. Cho CSN với u1=3 q= -2 .Số 192 là số hạng thứ mấy của CSN 
 a.Số hạng thứ 5 b.Số hạng thứ 7 c.Số hạng thứ 6 d.Không là số hạng của CSN 
11. Cho CSN với u1=3 q= -1/2 .Số 222 là số hạng thứ mấycủa CSN 
 a.Số hạng thứ 11 b.Sốhạngthứ 9 c.Sốhạngthứ 12 d.Không là số hạng của CSN 
 uu42 54
12. Cho CSN với u1và q của CSN là 
 uu53 108
 a.u1= 9 và q = 2 b.u1= 9 và q = -2 c.u1= -9 và q = 2 d.u1= -9 và q = -2 
 11
13. Cho CSN ;;x Giá trị của x là 
 5 125
 1 1 1
 a. b. c. d. 5 
 5 25 5
 1
14. Cho dãy số ;b ; 2 .Chọn b để dãy số đã cho là CSN 
 2
 a. -1 b.2 c.1 d. khôngcógiátrị b 
15. Với giá trị nào của x để 3 số 2x-1; x ; 2x +1 là CSN 
 1 1
 a. b. 3 c. d.không có x 
 3 3
16. Với giá trị nào của x để 3 số x-2; x +1 ; 3-x là CSN 
 a. 1 b.2 c.-3 d. khôngcó 
 2
17. Cho CSN có u1= -3,q = . Tính u5 
 3
 27 16 16 27
 a. b. c. d. 
 16 27 27 16
 1
18. Cho CSN có u2= , u5= 16 Khi đó q và u1 là: 
 4
 11 11 1 1
 a. qu , 1 b. qu , 1 c. qu 4, 1 d. qu 4, 1 
 22 22 16 16
 2 96
19. Cho CSN có u1= -3,q= Số là số hạng thứ mấycủa CSN này. 
 3 243
 a.5 b.6 c.7 d. Không phải làsố hạng của CSN. 
20. Tìm haisố x và y sao cho x; 2x-3y;y theo thứ tự lập thành CSC, các số x2; xy-6 ; y2lập thành CSN 
 37 37 37 37
 a.( 7; ) và( 7; ) b.( 7; ) và( 7; ) 
 7 7 7 7
 32 32 37 37
 c.( 2; ) và( 2; ) b.( 2; ) và( 2; ) 
 2 2 7 7
 4