Ôn tập Toán Lớp 11 - Vectơ trong không gian

 VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN 
I. CHUẨN KIẾN THỨC. 
1. Các đẳng thức Vectơ. 
 + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta cĩ: AB BC AC 
 + Qui tắc trừ: AB AC CB 
 + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta cĩ: AB AD AC 
 + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A B C D , ta cĩ: AB AD AA'' AC 
 + Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý. 
 Ta cĩ: IA IB 0; OA OB2 OI 
 + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta cĩ: 
 GA GB GC 0; OA OB OC 3 OG 
 + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta cĩ: 
 GA GB GC GD 0; OA OB OC OD 4 OG 
 + Điều kiện hai vectơ cùng phương: a va b cung phuong( a 0)  ! k R : b ka 
 + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k 1), O tuỳ ý. Ta cĩ: 
 OA kOB
 MA kMB; OM 
 1 k
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ 
 • Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt 
 phẳng. 
 • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a,, b c , trong đĩ a va b khơng cùng 
 phương. Khi đĩ: a,, b c đồng phẳng ! m, n R: c ma nb 
 • Cho ba vectơ a,, b c khơng đồng phẳng, x tuỳ ý. 
 Khi đĩ: ! m, n, p R: x ma nb pc 
3. Tích vơ hướng của hai vectơ 
 • Gĩc giữa hai vectơ trong khơng gian: 
 AB u, AC v ( u , v ) BAC (000 BAC 180 ) 
 • Tích vơ hướng của hai vectơ trong khơng gian: 
 + Cho uv,0 . Khi đĩ: u. v u . v .cos( u , v ) 
 + Với u 00 hoặcv . Qui ước: uv.0 
 + u v u.0 v 
 VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC VECTƠ. 
* Các kỹ năng cần đạt. 
 - Nhận dạng nhanh các kiến thức. 
 - Biến đổi linh hoạt, mềm dẻo để đưa về các dạng đã học, các đẳng thức đã biết. 
 - Tìm lời giải gọn, nhẹ. Cĩ tính phát triển cho quá trình học lớp 12. 
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I là trung điểm của 
EF. 
 a) Chứng minh: IAIBICID 0. 
 b) Chứng minh: MA MB MC MD 4 MI , với M tuỳ ý. 
 c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố định (P) sao cho: MA MB MC MD nhỏ nhất. 
 1 
 Bài 2: Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kì, các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh 
đối đồng qui tại trung điểm của chúng. (Điểm đồng qui đĩ được gọi là trọng tâm của tứ diện) 
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi A , B , C , D lần lượt là các điểm chia các cạnh AB, BC, CD, 
DA theo tỉ số k (k 1). Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD và A B C D cĩ cùng trọng tâm. 
Bài 4: Chứng minh rằng với 4 điểm A, B, C, D bất kì, ta luơn cĩ: ABCD. AC . DB AD . BC 0 
Bài 5: cho hình chĩp S. ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Chứng minh rằng: 
 a. SA+ SC= SB + SD. 
 b. Tính tổng: SA + SB + SC +SD 
Bài 6: Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D'. Gọi P, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB và A'D'; 
gọi P' ; Q; Q' ; R' lần lượt là giao điểm của các đường chéo của các mặt ABCD; CDD'C', 
A'B'C'D', ADD'A'. 
 a. Chứng minh rằng: PP' QQ ' RR ' 0 
 b. Hai tam giác PQR và P'Q'R' cĩ cùng trọng tâm. 
 VẤN ĐỀ 2: CHỨNG MINH BA VECTƠ ĐỒNG PHẲNG. 
 PHÂN TÍCH MỘT VEC TƠ THEO BA VECTƠ KHƠNG ĐỒNG PHẲNG CHO 
 TRƯỚC 
 • Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta cĩ thể chứng minh bằng một trong các cách: 
 + Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng. 
 + Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: 
 Nếu cĩ m, n R: c ma nb thì a,, b c đồng phẳng 
 • Để phân tích một vectơ x theo ba vectơ a,, b c khơng đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p 
sao cho: x ma nb pc 
Bài 1: Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngồi mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm 
 1
M sao cho MS 2 MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho NB NC . Chứng minh rằng ba 
 2
vectơ AB,, MN SC đồng phẳng. 
 21
 HD: Chứng minh MN AB SC . 
 33
Bài 2: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh 
AE, CG, AD, DH, GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của NG và JH. 
 a) Chứng minh ba vectơ MN,, FH PQ đồng phẳng. 
 b) Chứng minh ba vectơ IL,, JK AH đồng phẳng. 
 HD: a) MN,, FH PQ cĩ giá cùng song song với (ABCD). 
 b) IL,, JK AH cĩ giá cùng song song với (BDG). 
 Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.DEF. Gọi G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của AE, EC, CD, 
BC, BE. 
 a) Chứng minh ba vectơ AJ,, GI HK đồng phẳng. 
 FM CN 1
 b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên AF và CE sao cho . Các đường thẳng 
 FA CE 3
vẽ từ M và N song song với CF lần lượt cắt DF và EF tại P và Q. Chứng minh ba vectơ 
 MN,, PQ CF đồng phẳng. 
Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A B C D . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD ; G 
và G lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A D MN và BCC D . Chứng minh rằng đường 
thẳng GG và mặt phẳng (ABB A ) song song với nhau. 
 2 
 1
 HD: Chứng minh GG' 5 AB AA ' AB, AA ', GG ' đồng phẳng. 
 8
Bài 5: Cho ba vectơ a,, b c khơng đồng phẳng và vectơ d . 
 a) Cho d ma nb với m và n 0. Chứng minh các bộ ba vectơ sau khơng đồng phẳng: 
 i) b,, c d ii) a,, c d 
 b) Cho d ma nb pc với m, n và p 0. Chứng minh các bộ ba vectơ sau khơng đồng 
 phẳng: i) a,, b d ii) b,, c d iii) a,, c d 
 HD: Sử dụng phương pháp phản chứng. 
Bài 6: Cho ba vectơ a,, b c khác 0 và ba số thực m, n, p 0. Chứng minh rằng ba vectơ 
 x ma nb,, y pb mc z nc pa đồng phẳng. 
 HD: Chứng minh px ny mz 0. 
Bài 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C cĩ AA',, a AB b AC c . Hãy phân tích các 
vectơ B',' C BC theo các vectơ a,, b c . 
 HD: a) B' C c a b b) BC' a c b . 
Bài 8: Cho tứ diện OABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. 
 a) Phân tích vectơ OG theo các ba OA,, OB OC . 
 b) Gọi D là trọng tâm của tứ diện OABC. Phân tích vectơ OD theo ba vectơ OA,, OB OC . 
 1 1
 HD: a) OG OA OB OC b) OD OA OB OC . 
 3 4
Bài 9: Cho hình hộp OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp. 
 a) Phân tích hai vectơ OI vàAG theo ba vectơ OA,, OC OD . 
 b) Phân tích vectơ BI theo ba vectơ FE,, FG FI . 
Bài 10: Cho hình lập phương ABCD.EFGH. 
 a) Phân tích vectơ AE theo ba vectơ AC,, AF AH . 
 b) Phân tích vectơ AG theo ba vectơ AC,, AF AH . 
 3