Bài tập Toán Lớp 12 - Chủ đề: Phương pháp tọa độ trong không gian (Phần 1) - Trường THPT Trực Ninh

 CHUÛ ÑEÀ
 PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN
 7.
 T￿NG H￿P KI￿N TH￿C
 Baøi 01
 HEÄ TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN
1. Tọa độ của vectơ
 r r r r r r r r
a) Định nghĩa: u = (x; y; z)Û u = xi + y j + zk với i, j, k là các vectơ đơn vị, tương ứng 
 trên các trục Ox, Oy, Oz .
 r r
b) Tính chất: Cho hai vectơ a = (a1;a2 ;a3 ), b = (b1;b2 ;b3 ) và k là số thực tùy ý, ta có:
 r r z
 • a + b = (a1 + b1;a2 + b2 ;a3 + b3 ).
 r r 
 k 0;0;1 
 • a - b = (a1 - b1;a2 - b2 ;a3 - b3 ).
 r
 • k.a = (ka1;ka2 ;ka3 ).
 j 0;1;0 
 ïì a1 = b1
 r r ï O y
 • a = b Û íï a = b .
 ï 2 2
 ï a = b 
 îï 3 3 x i 1;0;0 
 ïì a1 = kb1
 r r r r ï a a a
 a cùng phương b b ¹ 0 Û íï a = kb Û 1 = 2 = 3 với b , b , b ¹ 0 .
 ( ) ï 2 2 b b b 1 2 3
 ï 1 2 3
 îï a3 = kb3
 r r
 a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3.b3 .
 r r r r
 a ^ b Û a.b = 0 Û a1.b1 + a2 .b2 + a3.b3 = 0 .
 r 2 r r 2
 2 2 2 2 2 2
 • a = a1 + a2 + a3 , suy ra a = a = a1 + a2 + a3 .
 r r
 r r a.b a b + a b + a b r r r r
 • cos a;b = r r = 1 1 2 2 3 3 với a ¹ 0, b ¹ 0.
 ( ) 2 2 2 2 2 2
 a . b a1 + a2 + a3 . b1 + b2 + b3
2. Tọa độ của điểm
 uuur
a) Định nghĩa: M (x; y; z)Û OM = (x; y;z) ( x : hoành độ, y tung độ, z cao độ).
 Chú ý: Trong hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (x; y;z) ta có các khẳng định sau:
 M º O Û M (0;0;0).
 M Î (Oxy)Û z = 0 , tức là M (x; y;0). 
 M Î (Oyz)Û x = 0 , tức là M (0; y;z). 
 M Î (Oxz)Û y = 0 , tức là M (x;0;z). M Î Ox Û y = z = 0 , tức là M (x;0;0). 
 M Î Oy Û x = z = 0 , tức là M (0; y;0). 
 M Î Oz Û x = y = 0 , tức là M (0;0;z). 
 b) Tính chất: Cho bốn điểm không đồng phẳng 
 A(x A ; yA ;z A ), B(xB ; yB ;zB ), C (xC ; yC ;zC ) và D(x D ; yD ;z D ).
 uuur
 • AB = (xB - x A ; yB - yA ;zB - z A ).
 uuur 2 2 2
 • AB = AB = (xB - x A ) + (yB - yA ) + (zB - z A ) .
 æx + x y + y z + z ö
 • Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là I ç A B ; A B ; A B ÷.
 èç 2 2 2 ø÷
 • Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là 
 æx + x + x y + y + y z + z + z ö
 Gç A B C ; A B C ; A B C ÷.
 èç 3 3 3 ø÷
 • Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD là 
 æx + x + x + x y + y + y + y z + z + z + z ö
 Gç A B C D ; A B C d ; A B C D ÷.
 èç 4 4 4 ø÷
3. Tích có hướng của hai vectơ 
 r r
a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a = (a1;a2 ;a3 ), b = (b1;b2 ;b3 ). Tích có 
 r r r r
 hướng của hai vectơ a và b là một vectơ, kí hiệu là éa,bù và được xác định như sau: 
 ëê ûú
 r r æ ö
 ça2 a3 a3 a1 a1 a2 ÷
 éa,bù= ç ; ; ÷= (a b - a b ;a b - a b ;a b - a b ).
 ëê ûú ç ÷ 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
 èçb2 b3 b3 b1 b1 b2 ø÷
b) Tính chất 
 r r r r r
 • a cùng phương với b Û éa,bù= 0 .
 ëê ûú r r
 éa,bù 
 r r r r ëê ûú
 • éa,bù vuông góc với cả hai vectơ a và b .
 ëê ûú
 r r r r r
 • éb,aù= - éa,bù. a 
 ëê ûú ëê ûú
 r r r r r r
 é ù
 • êa,bú= a . b .sin(a;b).
 ë û r
c) Ứng dụng b 
 • Xét sự đồng phẳng của ba vectơ: 
 r r r r r r
 +) Ba véctơ a; b; c đồng phẳng Û éa,bù.c = 0 .
 ëê ûú
 uuur uuur uuur
 +) Bốn điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện Û éAB, AC ù.AD ¹ 0 .
 ëê ûú
 uuur uuur
 é ù
 • Diện tích hình bình hành: SY ABCD = ëAB, ADû. 1 uuur uuur
 • Tính diện tích tam giác: S = éAB, AC ù.
 DABC 2 ëê ûú
 uuur uuur uuur
 • Tính thể tích hình hộp: V = éAB, AC ù.AD .
 ABCD.A' B 'C ' D ' ëê ûú
 1 uuur uuur uuur
 • Tính thể tích tứ diện: V = éAB, AC ù.AD .
 ABCD 6 ëê ûú
4. Phương trình mặt cầu
 ● Mặt cầu tâm I (a;b;c), bán kính R có phương trình 
 2 2 2
 (S):(x - a) + (y - b) + (z - c) = R2 .
 ● Xét phương trình x 2 + y2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 . (*) 
 Ta có (*)Û (x 2 + 2ax)+ (y2 + 2by)+ (z 2 + 2cz)= - d
 2 2 2
 Û (x + a) + (y + b) + (z + c) = - d + a2 + b2 + c 2 .
 Để phương trình (*) là phương trình mặt cầu Û a2 + b2 + c 2 > d . Khi đó (S) có 
 ì
 ï tâm I (- a;- b;- c)
 íï .
 ï 2 2 2
 îï bán kính R = a + b + c - d
 ïì tâm O(0;0;0)
 ● Đặc biệt: (S): x 2 + y2 + z 2 = R2 , suy ra (S) có íï .
 ï
 îï bán kính R
 CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM
 Vấn đề 1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vectơ 
 r r r r r r r r r r
 a = 2i + 3 j - 5k , b = - 3 j + 4k , c = - i - 2 j .
 Khẳng định nào sau đây đúng?
 r r r
 A. a = (2;3;- 5), b = (- 3;4;0), c = (- 1;- 2;0). 
 r r r
 B. a = (2;3;- 5), b = (- 3;4;0), c = (0;- 2;0). 
 r r r
 C. a = (2;3;- 5), b = (0;- 3;4), c = (- 1;- 2;0). 
 r r r
 D. a = (2;3;- 5), b = (1;- 3;4), c = (- 1;- 2;1). 
 r r
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = (0;1;3) và b = (- 2;3;1). 
 ur r r ur
 Nếu 2x + 3a = 4b thì tọa độ của vectơ x là:
 ur æ 9 5ö ur æ 9 5ö
 A. x = ç- 4; ;- ÷.B. x = ç4;- ; ÷.
 èç 2 2ø÷ èç 2 2ø÷ ur æ 9 5ö ur æ 9 5ö
 C. x = ç4; ;- ÷.D. x = ç- 4;- ; ÷. 
 èç 2 2ø÷ èç 2 2ø÷
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vectơ 
 r r r
 a = (2;- 1;3), b = (1;- 3;2) và c = (3;2;- 4).
 ur r
 ì
 ï x.a = - 5
 ur ï ur r ur
 Gọi x là vectơ thỏa mãn: íï x.b = - 11 . Tọa độ của vectơ x là:
 ï ur r
 ï x.c = 20
 îï
 A.(2;3;1). B. (2;3;- 2).C. (3;2;- 2).D. (1;3;2).
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vectơ 
 r r r
 a = (- 1;1;0), b = (1;1;0) và c = (1;1;1).
 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
 r r r r r r
 A. a = 2. B. c = 3. C. a ^ b. D. c ^ b.
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vectơ 
 r r r
 a = (- 1;1;0), b = (1;1;0) và c = (1;1;1).
 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
 r r r r r r 2 r r r
 A. a.c = 1 .B. a, b cùng phương.C. cos(b,c)= .D. a + b + c = 0 .
 6
 ur r
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ p = (3,- 2,1), q = (- 1,1,- 2), 
 r r
 r = (2,1,- 3) và c = (11,- 6,5). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
 r ur r r r ur r r r ur r r r ur r r
 A. c = 3p - 2q + r .B. c = 2 p - 3q + r .C. c = 2 p + 3q + r .D. c = 3p - 2q - 2r .
 r r
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a = (2;3;1), b = (- 1;5;2), 
 r ur
 c = (4;- 1;3) và x = (- 3,22,5). Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau?
 ur r r r ur r r r ur r r r ur r r r
 A. x = 2a + 3b - c .B. x = - 2a + 3b + c .C. x = 2a - 3b + c .D. x = 2a - 3b - c .
 r r
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vectơ a = (1;0;- 2), b = (- 2;1;3), 
 r r r r
 c = (- 4;3;5). Tìm hai số thực m , n sao cho m.a + n.b = c ta được:
 A. m = 2; n = - 3. B. m = - 2; n = - 3. C. m = 2; n = 3. D. m = - 2; n = 3. 
 r r
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = (2;m + 1;- 1) và b = (1;- 3;2). 
 r r r
 Với những giá trị nguyên nào của m thì b(2a - b) = 4 ?
 A. - 4 .B. 4 .C. - 2 .D. 2 .
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ 
 r r
 u = (m;- 2;m + 1) và v = (0;m - 2;1). r r
 Tất cả giá trị của m có thể có để hai vectơ u và v cùng phương là:
 A. m = - 1. B. m = 0. C. m = 1. D. m = 2.
 r r
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , để hai vectơ a = (m;2;3) và b = (1;n;2) 
 cùng phương, ta phải có:
 ïì 1 ïì 3 ïì 3 ïì 2
 ï m = ï m = ï m = ï m =
 ï 2 ï 2 ï 2 ï 3
 A. íï . B. íï . C. íï . D. íï .
 ï 4 ï 4 ï 2 ï 4
 ï n = ï n = ï n = ï n =
 îï 3 îï 3 îï 3 îï 3
 r
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = (2;1;- 2) và 
 r r r r r r r
 b = (0;- 2; 2). Tất cả giá trị của m để hai vectơ u = 2a + 3mb và v = ma - b vuông 
 góc là:
 ± 26 + 2 ± 26 + 2 26 ± 2 2
 A. . B. . C. .D. ± .
 6 6 6 6
 r r
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u = (1;1;- 2) và v = (1;0;m). Tìm 
 r r
 tất cả các giá trị của m để góc giữa hai vectơ u và v có số đo bằng 450 :
 Một học sinh giải như sau:
 r r 1- 2m
 Bước 1: cos(u,v)= .
 6. m2 + 1
 r r
 Bước 2: Góc giữa hai vectơ u và v có số đo bằng 450 nên suy ra
 1- 2m 1
 = Û 1- 2m = 3. m2 + 1 . (*)
 6. m2 + 1 2
 é = -
 2 2 2 êm 2 6
 Bước 3: Phương trình (*)Û (1- 2m) = 2(m + 1)Û m - 4m - 2 = 0 Þ ê .
 ëêm = 2 + 6
 Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
 A. Đúng B. Sai ở bước 1 C. Sai ở bước 2 D. Sai ở bước 3
 r r r r
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độO xyz , cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = 2 3, b = 3 
 r r r r
 và (a,b)= 300 . Độ dài của vectơ 3a - 2b bằng:
 A. - 54. B. 54. C. 9. D. 6.
 r r
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u = (2;- 1;2) và vectơ đơn vị v 
 r r r r
 thỏa mãn u - v = 4. Độ dài của vectơ u + v bằng:
 A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. 
 r r
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a và b thỏa mãn 
 r r r r r r
 a = 2, b = 5 và a,b = 300 . Độ dài của vectơ éa,bù bằng:
 ( ) ëê ûú
 A. 10 . B. 5 . C. 8 . D. 5 3 . r r r r
Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độO xyz , cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = 2 3, b = 3 
 r r r r
 và a,b = 300 . Độ dài của vectơ é5a,- 2bù bằng:
 ( ) ëê ûú
 A. 3 3. B. 9. C. 30 3. D. 90.
 r r r
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ u và v thỏa mãn u = 2 , 
 r r r r r r
 v = 1 và (u,v)= 600 . Góc giữa hai vectơ v và u - v bằng:
 A. 300. B. 450. C. 600. D. 900.
 Vấn đề 2. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 2;0;0 , B 0;2;0 , C 0;0;2 
 và D 2;2;2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tọa độ trung điểm I 
 của MN là:
 1 1 
 A. I ; ;1 . B. I 1;1;0 . C. I 1; 1;2 . D. I 1;1;1 .
 2 2 
Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a 1;1; 2 , b 3;0; 1 
  
 và điểm A 0;2;1 . Tọa độ điểm M thỏa mãn AM 2a b là:
 A. M 5;1;2 . B. M 3; 2;1 . C. M 1;4; 2 . D. M 5;4; 2 .
Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hình chiếu của điểm M (1;- 3;- 5) trên 
 mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là:
 A.(1;- 3;5). B.(1;- 3;0). C.(1;- 3;1). D.(1;- 3;2). 
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (- 3;2;- 1). Tọa độ điểm M ' 
 đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) là:
 A. M '(- 3;2;1). B. M '(3;2;1). C. M '(3;2- 1). D. M '(3;- 2;- 1). 
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (2016;- 1;- 2017). Hình chiếu 
 vuông góc của điểm M trên trục Oz có tọa độ:
 A.(0;0;0) B.(2016;0;0) C.(0;- 1;0) D.(0;0- 2017)
Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(- 3;2;- 1). Tọa độ điểm A' 
 đối xứng với A qua trục Oy là:
 A. A'(- 3;2;1) B. A'(3;2- 1) C. A'(3;2;1) D. A'(3;- 2;- 1) 
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;2;3). Khoảng cách từ A đến 
 trục Oy bằng:
 A. 10. B. 10. C. 2. D. 3. Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (3;- 1;2). Trong các phát biểu 
 sau, phát biểu nào sai?
 A. Tọa độ hình chiếu của M trên mặt phẳng (xOy) là M '(3;- 1;0). 
 B. Tọa độ hình chiếu của M trên trục Oz là M '(0;0;2).
 C. Tọa độ đối xứng của M qua gốc tọa độ O là M '(- 3;1;- 2).
 D. Khoảng cách từ M đến gốc tọa độ O bằng 3 14.
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (2;- 5;4). Trong các phát biểu 
 sau, phát biểu nào sai?
 A. Tọa độ điểm M ' đối xứng với M qua mặt phẳng (yOz) là M (2;5;- 4).
 B. Tọa độ điểm M ' đối xứng với M qua trục Oy là M (- 2;- 5;- 4).
 C. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng tọa (xOz) bằng 5 .
 D. Khoảng cách từ M đến trục Oz bằng 29. 
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;- 2;3). Trong các phát biểu 
 sau, phát biểu nào sai?
 A. Tọa độ đối xứng của O qua điểm M là O '(2;- 4;6).
 B. Tọa độ điểm M ' đối xứng với M qua trục Ox là M '(- 1;- 2;3).
 C. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng tọa (yOz) bằng 1.
 D. Khoảng cách từ M đến trục Oy bằng 10. 
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độO xyz , cho ba điểm A(- 3;4;2), B(- 5;6;2), C (- 4;7;- 1). 
 uuur uuur uuur
 Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn AD = 2AB + 3AC . 
 A. D(- 10;17;- 7) B. D(10;17;- 7) C. D(10;- 17;7) D. D(- 10;- 17;7) 
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho sáu điểm A(1;2;3), B(2;- 1;1), 
 uuuur uuuur uuuur r
 C (3;3;- 3), A', B ', C ' thỏa mãn A' A + B ' B + C 'C = 0 . Nếu G ' là trọng tâm tam giác 
 A' B 'C ' thì G ' có tọa độ là:
 æ 4 1ö æ 4 1ö æ 4 1ö æ 4 1ö
 A.ç2; ;- ÷ B.ç2;- ; ÷ C.ç2; ; ÷ D.ç- 2; ; ÷ 
 èç 3 3ø÷ èç 3 3ø÷ èç 3 3ø÷ èç 3 3ø÷
Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm M (2;- 3;5), N (4;7;- 9), 
 P (3;2;1) và Q(1;- 8;12). Bộ ba điểm nào sau đây là thẳng hàng?
 A. M , N, P B. M , N, Q C. M , P, Q D. N, P, Q 
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;- 1;3), B(- 10;5;3) và 
 M (2m - 1;2;n + 2). Để A, B, M thẳng hàng thì giá trị của m, n là:
 3 3 3 2 3
 A. m = 1;n = B. m = - , n = 1 C. m = - 1, n = - D. m = ,n =
 2 2 2 3 2 Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1;- 3;5) và B(3;- 2;4). 
 Điểm M trên trục Ox cách đều hai điểm A, B có tọa độ là:
 æ3 ö æ 3 ö
 A. M ç ;0;0÷. B. M ç- ;0;0÷. C. M (3;0;0). D. M (- 3;0;0).
 èç2 ø÷ èç 2 ø÷
Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;1;1), B(- 1;1;0), 
 C (3;1;- 1). Điểm M trên mặt phẳng (Oxz) cách đều ba điểm A, B, C có tọa độ là:
 æ 5 7ö æ7 5ö æ5 7ö æ6 6ö
 A.ç0; ; ÷. B. ç ;0;- ÷.C. ç ;0;- ÷. D. ç ;0;- ÷.
 èç 6 6ø÷ èç6 6ø÷ èç6 6ø÷ èç5 7ø÷
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC biết (1;0;- 2), 
 B(2;1;- 1), C (1;- 2;2). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. 
 æ4 1 1ö æ - 1 1ö æ4 1 1ö
 A.G(4;- 1;- 1) B.Gç ;- ;- ÷ C.Gç2; ;- ÷ D.Gç ; ; ÷ 
 èç3 3 3ø÷ èç 2 2ø÷ èç3 3 3ø÷
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A 0;0;1 , 
 B 1; 2;0 , C 2;1; 1 . Khi đó tọa độ chân đường cao H hạ từ A xuống BC là:
 5 14 8 4 
 A. H ; ; B. H ;1;1 
 19 19 19 9 
 8 3 
 C. H 1;1; D. H 1; ;1 
 9 2 
Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;2;- 1), B(2;- 1;3), 
 C (- 4;7;5). Tọa độ chân đường phân giác trong góc Bµ của tam giác ABC là:
 æ 2 11 ö æ2 11 1ö æ11 ö
 A.ç- ; ;1÷ B.ç ; ; ÷ C.ç ;- 2;1÷ D.(- 2;11;1) 
 èç 3 3 ø÷ èç3 3 3ø÷ èç 3 ø÷
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(2;- 1;3), B(4;0;1), C (- 10;5;3). Độ 
 dài đường phân giác trong góc Bµ của tam giác ABC bằng:
 2 2
 A. 2 3 B. 2 5 C. D. 
 5 3
Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(0;- 4;0), B(- 5;6;0), 
 C (3;2;0). Tọa độ chân đường phân giác ngoài góc Aµ của tam giác ABC là:
 A. (15;- 14;0) B. (15;- 4;0) C. (- 15;4;0) D. (- 15;- 14;0)
Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M (2;3;- 1), N (- 1;1;1), 
 P (1;m - 1;2). Với những giá trị nào của m thì tam giác MNP vuông tại N ?
 A. m = 3 B. m = 2 C. m = 1 D. m = 0 
Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có đỉnh C (- 2;2;2) và 
 trọng tâm G(- 1;1;2). Tìm tọa độ các đỉnh A, B của tam giác ABC , biết A thuộc mặt 
 phẳng (Oxy) và điểm B thuộc trục cao. A. A(- 1;- 1;0), B(0;0;4) B. A(- 1;1;0), B(0;0;4)
 C. A(- 1;0;1), B(0;0;4) D. A(- 4;4;0), B(0;0;1)
Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độO xyz , cho tam giác ABC có A(- 4;- 1;2), B(3;5;- 10). 
 Trung điểm cạnh AC thuộc trục tung, trung điểm cạnh BC thuộc mặt phẳng (Oxz). 
 Tọa độ đỉnh C là:
 A.C (4;- 5;- 2). B.C (4;5;2). C.C (4;- 5;2). D.C (4;5;- 2). 
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độO xyz , cho tam giác ABC có A(2;- 1;6), B(- 3;- 1;- 4), 
 C (5;- 1;0). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
 tam giác ABC là
 A. Tam giác cân.B. Tam giác đều.
 C. Tam giác vuông.D. Cả A và C.
Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;- 2;0), B(1;0;- 1) và 
 C (0;- 1;2). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
 A. Ba điểm A, B, C thẳng hàng.
 B. Ba điểm A, B, C tạo thành tam giác cân.
 C. Ba điểm A, B, C tạo thành tam giác có một góc bằng 600.
 D. Ba điểm A, B, C tạo thành tam giác vuông.
Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A(2;0;1), B(0;2;0) và C (1;0;2). 
 Mệnh đề nào sau đây đúng?
 A. Ba điểm A, B, C thẳng hàng.
 B. Ba điểm A, B, C tạo thành tam giác cân ở A .
 C. Ba điểm A, B, C tạo thành tam giác cân ở B .
 D. Ba điểm A, B, C tạo thành tam giác vuông.
Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A, B, C có tọa độ thỏa mãn 
 uur r r r uur r r r uuur r r r
 OA = i + j + k , OB = 5i + j - k , BC = 2i + 8 j + 3k . Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD 
 là hình bình hành là:
 A. D(3;1;5) B. D(1;2;3) C. D(- 2;8;6) D. D(3;9;4)
Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M (2;0;0), N (0;- 3;0), P (0;0;4). 
 Nếu MNPQ là hình bình thành thì tọa độ của điểm Q là:
 A.(- 2;- 3;4) B.(3;4;2) C.(2;3;4) D.(- 2;- 3;- 4) 
Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;2;- 1), B(3;- 1;2), C (6;0;1). 
 Trong các điểm sau đây, điểm nào là đỉnh thứ tư của hình bình hành có ba đỉnh làA ,B,C .
 M (4;3;- 2) ; N (- 2;1;0) ; P (2;1;- 1)
 A. Chỉ có điểm M B. Chỉ có điểm N C. Chỉ có điểm P D. Cả hai điểm M và N 
 uur
Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình bình hành OABD , có OA = (- 1;1;0) 
 uur
 và OB = (1;1;0) với O là gốc tọa độ. Khi đó tọa độ của D là:
 A. (0;1;0). B. (2;0;0). C. (1;0;1). D. (1;1;0). 
Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độO xyz , cho bốn điểm A(1;0;- 2), B(2;1;- 1), C (1;- 2;2) 
 và D(4;5- 7). Trọng tâm G của tứ diện ABCD có tọa độ là:
 A.(- 2;1;2) B.(8;2;- 8) C.(8;- 1;2) D.(2;1;- 2)
Câu 51. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' . Biết A(2;4;0), 
 B(4;0;0), C (- 1;4;- 7) và D '(6;8;10). Tọa độ điểm B ' là:
 A.(10;8;6) B.(6;12;0) C.(13;0;17) D.(8;4;10) 
 Vấn đề 3. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
 r r r
Câu 52. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a và b khác 0 . Kết luận 
 nào sau đây sai?
 r r r r r r r r r
 A. éa,bù= a b sin a,b B. éa,3bù= 3 éa;bù
 ëê ûú ( ) ëê ûú ëê ûú
 r r r r r r r r
 C. é2a,bù= 2 éa,bù D. é2a,2bù= 2 éa,bù
 ëê ûú ëê ûú ëê ûú ëê ûú
 r r r
Câu 53. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ u và v khác 0 . Phát biểu 
 nào sau đây là sai?
 r r r r r r r r r r r
 A. éu,vùcó độ dài là u v cos u,v B. éu,vù= 0 khi hai vecto u, v cùng phương
 ëê ûú ( ) ëê ûú
 r r r r r r
 C. éu,vùvuông góc với hai vecto u, v D. éu,vùlà một vectơ
 ëê ûú ëê ûú
 r r r r
Câu 54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vectơ a, b và c khác 0 . Điều kiện 
 r r r
 cần và đủ để ba vectơ a, b, c đồng phẳng là:
 r r r r r r r r
 A. a.b.c = 0 B. éa,bù.c = 0
 ëê ûú
 C. Ba vectơ đôi một vuông góc với nhauD. Ba vectơ có độ lớn bằng nhau
 r r r
Câu 55. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , trong các bộ ba vectơ a, b, c sau đây, bộ 
 r r r r r r
 nào thỏa mãn tính chất éa,bù.c = 0 (hay còn gọi là ba vectơ a, b, c đồng phẳng).
 ëê ûú
 r r r r r r
 A. a = (1;- 1;1), b = (0;1;2), c = (4;2;3). B. a = (4;3;4),b = (2;- 1;2), c = (1;2;1).
 r r r r r r
 C. a = (2;1;0), b = (1;- 1;2), c = (2;2;- 1). D. a = (1;- 7;9), b = (3;- 6;1), c = (2;1;- 7).
 r r
Câu 56. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn vectơ a = (2,3,1), b = (5,7,0),