Chuyên đề luyện thi Toán 9 tuyển sinh vào Lớp 10

 SKATER để xem giá cả của các loại ván trượt.
Ở cửa hàng này bạn có thể mua ván trượt hoàn chỉnh hoặc có thể mua các bộ phận rời của nó: thân ván, một bộ phận 4 bánh xe, 2 trục, 1 bộ các chi tiết đi kèm (vòng bi, miếng đệm cao su, bu-lông và các đai ốc) và tự lắp cho mình một cái ván trượt. Sau đây là bảng giá của cửa hàng (Hình vẽ).
Bảng giá của cửa hàng
Các mặt hàng
Gía (zed)
Ván trượt hoàn chỉnh
82 hoặc 84
Thân ván
40, 60 hoặc 65
Một bộ 4 bánh xe
14 hoặc 36
Một bộ gồm 2 trục
16
Một bộ các chi tiết
(vòng bi, miếng đệm cao su, bu-lông, đai ốc)
10 hoặc 20
Câu hỏi
Eric có 120 zeds và muốn mua một ván trượt tốt nhất tỏng khả năng có thể. Eric có thể trả bao nhiêu tiền cho mỗi bộ phận của ván trượt. Hãy viết câu trả lời vào bảng dưới đây:
Bảng liệt kê số tiền Eric
trả khi mua các bô phận của ván trượt
Bộ phận
Số tiền (Zeds)
Thân ván
Một bộ 4 bánh xe
Một bộ gồm 2 trục
Một bộ các chi tiết (vòng bi, miếng đệm cao su, bu – lông, đai ốc)
Ta có những phân tích sau đối với bài toán:
Vấn đề được đặt ra là chọn mua ván trượt có chất lượng tốt nhất. Đây là tình huống thực tế, thực sự phản ánh thực tế cuộc sống hàng ngày của nhiều Học sinh vì hầu hết chỉ có một lượng tiền nhất định để chi tiêu và muốn mua ván trượt chất lượng tốt nhất với số tiền mình có. Đối với những học sinh không quen với ván trượt thì các hình ảnh được đưa ra để cung cấp thêm các thông tin cần thiết.
Có 4 thành phần cho một chiếc ván trượt và học sinh phải lựa chọn 3 trong số 4 thành phần đó (vì chỉ có một mức giá cho một bộ trục). Học sinh có thể dễ dàng xác định các số tiền để mua khi thay đổi các thành phần và so sánh nó với số tiền ban đầu. Có thể xây dựng bản tính ban đầu như sau:
	Thân ván	40	60	65
	Một bộ 4 bánh xe	14	36
	Một bộ gồm 2 trục	16	
	Một bộ các chi tiết	10	20
	Tổng số tiền Eric có	120
Cần tìm 4 số mà tổng tối đa của chúng nhỏ hơn hoặc bằng 120. Những hạn chế đối với những con số là: số đầu tiên là 40, 60 hoặc 65; số thứ hai là 14 hoặc 36; số thứ ba là 16; s... cách làm ta thấy điều phải liệt kê khả năng xảy ra nhưng cách giải quyết sau ngắn gọn, giúp ta tìm thấy được ngay lời giải tối ưu và đây cũng là một cách làm có thể áp dụng trong nhiều tình huống khác trong thực tế cuộc sống. Như vậy khi giải quyết một bài toán cần suy nghĩ đến tất cả những giải pháp có thể, đánh giá để tìm được giải pháp tối ưu nhất về một ý nghĩa nào đó (tiết kiệm thời gian, tiền bạc, công sức,..)
Qua các bước trên ta thấy rằng phương án tốt nhất tìm được là . Tuy nhiên bài toán trên cũng cho thấy một thực tế rằng giữa lý thuyết và thực tế có những khác biệt nhất định. Cụ thể là ở ví dụ này với lập luận thích hợp, một trong những giải pháp đưa ra ở trên có thể được coi là “tốt hơn” ví dụ học sinh có thể lập luận rằng đối với một chiếc ván trượt có bộ bánh xe chất lượng tốt là vấn đề quan trọng hơn cả.
Ví dụ 2 (Nhịp tim)
Vì lý do sức khỏe, người ta nên hạn chế những nỗ lực của họ, ví dụ như trong thể thao nhịp tim không vượt quá tần số nhất định. Trong nhiều năm qua mối quan hệ giữa tỷ lệ khuyến cáo giữa nhịp tim tối đa và độ tuổi của một người được mô tả bởi công thức sau:
Nhịp tim tối đa được khuyến cáo 
Nghiên cứu gần thấy cho thấy rằng công thức này nên được sửa đổi một chút. Công thức mới như sau:
Nhịp tim tối đa được khuyến cáo 
Câu hỏi 1
Hoàn thiện bảng sau về nhịp tim tối đa được khuyến cáo:
Bảng nhịp tim tối đa được khuyến cáo
Tuổi (theo năm)
9
12
15
18
21
24
Nhịp tim tối đa được khuyến cáo (công thức cũ)
211
208
205
202
199
196
Nhịp tim tối đa được khuyến cáo (công thức mới)
201,7
197,5
195,4
191,2
Câu hỏi 2
Ở tuổi nào thì công thức cũ và mới cho chính xác cùng một giá trị và giá trị đó là bao nhiêu?
Câu hỏi 3
Bạn Hoa chú ý rằng hiệu số của hai nhịp tim tối đa được khuyến cáo trong bảng có vẻ giảm đi khi tuổi tăng lên. Tìm một công thức thể hiện hiệu số này theo tuổi.
Câu hỏi 4
Nghiên cứu cũng chỉ ra rằng tập thể dục có hiệu quả nhất khi nhịp tim là của nhịp tim tối đa được khuyến cáo theo công thức mới....ẩn để suy ra là và .
Nội dung của câu 3, 4 thực chất ứng với kỹ năng rút gọn biểu thức. Đó là rút gọn: và .
Câu 5 sẽ được giải quyết dễ dàng nếu học sinh biểu diễn đồ thị của hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ (Hình vẽ).
Kết hợp với câu 2 ta thấy, khi ta có đồ thị hàm nằm phía dưới đồ thị hàm và khi thì đồ thị hàm nằm phía trên đồ thị hàm . Điều đó có nghĩa là ở độ tuổi trên 40 thì nhịp tim được khuyến cáo ở công thức mới cao hơn công thức ban đầu và thấp hơn công thức ban đầu với lứa tuổi dưới 40.
Đồ thị biểu diễn nhịp tim theo công thức cũ và mới
Bài toán trên minh họa cho những lợi ích của toán học trong việc giải quyết những vấn đề có liên quan đến chất lượng cuộc sống của con người. Học sinh phải kết hợp nhiều kỹ năng đã học: kỹ năng xây dựng hàm số, kỹ năng rút gọn biểu thức, kỹ năng vẽ và đọc hiểu ý nghĩa thực tế của đồ thị...
Ví dụ 3 (Gía sách)
Để làm được một giá sách người thợ mộc cần các bộ phận sau: tấm gỗ dài, tấm gỗ ngắn, cái kẹp nhỏ, cái kẹp lớn và cái ốc vít. Người thợ mộc đang có tấm gỗ dài, tấm gỗ ngắn, kẹp nhỏ, kẹp lớn, cái ốc vít. Người thợ mộc có thể làm được nhiều nhất là bao nhiêu cái giá sách?
Ta có những phân tích sau đối với bài toán:
Vấn đề đặt ra là tìm số giá sách người thợ mộc có thể làm được. Câu hỏi được đặt trong bối cảnh thế giới thực và sự thực tế này là xác thực tuy nhiên ít phức tạp hơn so với hầu hết các vấn đề thực tế do hầu như không có thông tin không liên quan hoặc dư thừa được đưa ra.
Một cái giá sách cần số tấm gỗ dài, tấm gỗ ngắn, kẹp nhỏ, kẹp lớn, ốc vít theo thứ tự là: 4, 6, 12, 2 và 14. Chúng ta có theo đề bài số tấm gỗ dài, tấm gỗ ngắn, kẹp nhỏ, kẹp lớn, ốc vít theo thứ tự là 26, 33, 200, 20, 510.
Cần chuyển câu hỏi: “Người thợ mộc có thể làm được bao nhiêu cái giá sách?” thành một vấn đề toán học. Đó có thể là tìm bội số lớn nhất của tập đầu tiên (4, 6, 12, 2 và 14) thỏa mãn tập còn lại (26, 33, 200, 20, 510).
Từ đó học sinh sẽ có mô hình toán học của bài toán thực tế trên thực chất là đi tìm là số tự nh