Đề cương ôn tập môn Toán học Lớp 12 - Chuyên đề: Nguyên hàm và tích phân

ûa hàm số f(x) = e1-2x , biết F( 
 4. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = , biết F(
II.C¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh tÝnh tÝch ph©n-§ỉi biÕn sè 
Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất.
Phương pháp giải: 
 Thường đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng kết quả.
Ví dụ: Tìm tích phân các hàm số sau:
 a/ 	b/ 	c/ 
 Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1:
 Phương pháp giải: 
 b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b) dx = 
 b2: Đổi cận: 
 x = a u(t) = a t = 
 x = b u(t) = b t = ( chọn , thoả đk đặt ở trên)
 b3: Viết về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân .
Ví dụ: Tính :
 	§Ỉt x = sint dx = cost.dt. Víi x [0;1] ta cã t
 	§ỉi cËn: x = 0 t = 0 ; x= 1 t = 
VËy = = 
 Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng :
 thì đặt x= sint t 
 thì đặt x= tgt t 
 thì đặt x= t \ 
Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
Phương pháp giải: 
 b1: Đặt t = (x) dt = 
 b2: Đổi cận: 
 	 x = a t =(a) ; x = b t = (b)
 b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được .
Ví dụ : Tính tích phân sau :
 	a/ b/
Giải:
a/ Đặt t = x2 + x +1 dt = (2x+1) dx
Đổi cận: x = 0 t =1 ; x = 1 t = 3. Vậy I= 
b/ Đặt t= t2= x2+ 3 tdt = x dx
Đổi cận: x = 0 t = ; x = 1 t = 2 . Vậy J = 
III.C¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh tÝnh tÝch ph©n-Tõng phÇn 
1/ Tính tích phân bằng phương pháp tùng phần:
 Công thức từng phần : 
Phương pháp giải: 
 B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính du. phần còn lại là dv tìm v.
 B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức từng phần.
 B3: Tích phân suy ra kết quả.
Chú ý:
a) Khi tính tính tích phân từng phần đặt u, v sao cho dễ tính hơn nếu khó hơn phải tìm cách đặt khác.
... 
Giải
 Vậy ta có: 
* Trường hợp mẫu số có nghiệm kép:
Ví dụ: Tính các tích phân : 
 Đặt 
 Ax -2A+B= 0 
Vậy = 
*Trường hợp mẫu số vô nghiệm:
Ví dụ: Tính các tích phân :I= 
Giải:
Ta có = 
Tính J= 
Đặt x+1=(t ) dx=. Khi x= -1 thì t = 0 ; khi x=0 thì t= 
 J= . Vậy I= ln ) 
3/ Tính tích phân hàm vô tỉ:
Dạng1: Đặt t=
Dạng 2: Đặt t=
Ví dụ: Tính tích phân I = 
Giải
Đặt t = t3= 1-x x= 1-t3 dx= -3t2dt.
Đổi cận:
x=0 t=1; x=1 t=0. Vậy I= 
4/ Tính tích phân của một số hàm lượng giác thường gặp
Dạng:
Phương pháp giải:
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi giải.
Dạng: 
Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến. 
Ví dụ :
Dạng: Đặc biệt: 
Phương pháp giải: Đặt t =sinx
Dạng: Đặc biệt: 
Phương pháp giải: Đặt t =cosx
Các trường hợp còn lại đặt x=tgt
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a/ b/ c/ 	d/
Giải
a/ = 
b/
c/I==
đặt u=sinx du = cosx dx. x=0 u=0 ; x= u=1 
 Vậy: I=
d/J==
đặt u=sinx du = cosx dx. x=0 u=0 ; x= u=1 
VËy: J=
IV.øng dơng tÝch ph©n 
1/ Diện tích hình phẳng:
a) Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường thẳng.
Công thức:
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) :y=f(x) và các đường thẳng x= a; x=b; y= 0 là :
b) Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng.
Công thức:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) và y=g(x) có đồ thị (C’) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và các đường thẳng x= a; x=b là : 
Phương pháp giải toán:
 B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)
 B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:
 TH1:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b)... (d): 2x+y-4 = 0.
Giải: 
Ta có (P): y2 = 4 x x = và (d): 2x+y-4 = 0 x= .
Phương trình tung độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) là: = 
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S= 
2/ Thể tích của một vật thể tròn xoay
 Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) có phương trình y= f(x) và các đường thẳng x= a, x=b , y= 0 quay một vòng xung quanh trục ox là: 
Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu sinh ra do quay hình tròn có tâm O bán kính R quay xung quanh trục ox tạo ra. 
Giải: 
Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình :x2 + y2 = R2 y2= R2-x2
Thể tích khối cầu là : V= = = = (đvtt)
Ví dụ 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x
Giải: 
Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là : 
== (đvtt)
Bài tập đề nghị: 
1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (P): y= x2 - 2x và trục hoành.
 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (H): và các đường thẳng có phương trình x=1, x=2 và y=0
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (C): y= x4 - 4x2+5 và đường thẳng (d): y=5. 
 4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x3 –3 x , và y = x .
 5/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox:
a/ y = cosx ; y = 0 ; x = 0 ; x = 
b/ y = sin2x ; y = 0 ; x = 0 ; x = 
BÀI TẬP : TRẮC NGHIỆM
Câu 1. bằng:
	B. 	 C. 	 D.
Câu 2. Nguyên hàm của hàm sốlà
A. 	 B. C. 	D. 
Câu 3. bằng:
A. B. 	C. 	D. 
Câu 4. bằng:
A. 	B. 
C. 	D. 
Câu 5. Diện tích hình phẳng giới hạn bởilà.
A. 5	B. 	C. 4	D. 3
Câu 6. Một thợ gốm làm một cái lọ cĩ dạng khối trịn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường và trục quay quanh trục biết đáy lọ và miệng lọ cĩ đường kính