Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở GD&ĐT Gia Lai (Có đáp án)

 của AQ và .BN Chứng minh rằng .AFB BPQ ABR 
Câu 5 (2,0 điểm). Giả sử A là một tập con của tập các số tự nhiên . Tập A có phần tử nhỏ 
nhất là 1, phần tử lớn nhất là 100 và có tính chất, mỗi x thuộc A ( 1x ) luôn tồn tại ;a b cũng 
thuộc A sao cho x a b ( a có thể bằng b ). Hãy tìm một tập A có số phần tử nhỏ nhất. 
.. Hết .. 
Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. 
- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh..; số báo danh.....; phòng thi số 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
GIA LAI 
ĐỀ DỰ BỊ 
(Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang) 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2017 – 2018 
Môn thi: TOÁN 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: 13/03/2018. 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
Câu 1 (3,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2 2; ; 4 2 4 2 6 12f x y z x y z xy yz y x . 
Hướng dẫn 
Ta có 
2 2
; ; 2 3 9 9f x y z x y y z . 
Vậy 
min
9f khi 1x y z . 
Câu 2 (3,0 điểm). Giải hệ phương trình 
2 2
2 2 3
1
2 2.x y
x xy y
x xy y
Hướng dẫn 
Cộng từng vế hai phương trình ta có 22 3 1x xy x y 
2 2 1 0x x y x x y 
1 2 1 0x x y . 
TH1: 21 0 0x y y y hoặc 1y (thỏa mãn). 
TH2: 2 1 1 2x y y x , suy ra 
22 1 2 1 2 1x x x x 27 5 0x x
0 1
5 3
7 7
x y
x y
. 
Đáp số 
5 5
; 1; 0 , 1; 1 , 0; 1 , ;
7 7
x y . 
Câu 3 (6 điểm). 
1). Tìm tất cả các cặp số nguyên ;x y thỏa mãn 
2 2 2 2 5x xy y x y . 
Hướng dẫn 
Dễ thấy với 0x hoặc 0y không thỏa mãn. 
Xét , 1x y do vai trò như nhau, giả sử x y 
Khi đó ta có 2 2 23x xy y x 
Suy ra 2 2 2 2 25 8x y x xy y x 2 8 1, 2 .y y 
+ Nếu 2 21 6 6y x x x x . 
+ Nếu 2 21 6 6y x x x x . 
+ Nếu 2 22 2 4 4 5y x x x x loại. 
+ Nếu 2 22 2 4 4 5y x x x x loại. 
Đáp số: ; 6; 1 , 6; 1 , 1; 6 , 1; 6x y . 
2). Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số dạng abcde sao cho 10abc d e chia hết cho 
101? 
Hướng dẫn. 
Ta có 00 100abcde abc de abc de 
101 1 101abc de abc abc de 
Suy ra abcde chia hết cho 101 10abc de abc d e chia hết cho 101 . 
Ta c...ao BC tại D, AQ giao BR tại E ta có các biến đổi góc sau 
.EQD DQB AQB PRB ACB RBC EBD 
Vậy tứ giác BEDQ nội tiếp, suy ra 090BEQ BDQ BR AQ . 
3). Ta có 0 090 90BPQ BRQ RBN RNB EBF BAE BFE ABE 
0180 BFE ABE AFB ABR . 
Do đó AFB BPQ ABR . 
 Câu 5 (2,0 điểm). Giả sử A là một tập con của tập các số tự nhiên . Tập A có phần tử nhỏ 
nhất là 1, phần tử lớn nhất là 100 và có tính chất, mỗi x thuộc A ( 1x ) luôn tồn tại ;a b cũng 
thuộc A sao cho x a b ( a có thể bằng b ). Hãy tìm một tập A có số phần tử nhỏ nhất. 
Hướng dẫn. 
• Từ 1 đến 100 có 100 số tự nhiên. Tập hợp A là tập hợp con của tập có phần tử nhỏ 
nhất bằng 1 và lớn nhất bằng 100 nên tập hợp A không vượt quá 100 phần tử. 
Tổng quát, tập hợp A có 2 100n phần tử, sắp xếp các phần tử này theo thứ tự 
1 2 2
1 100
n
x x x x 
• Theo đề bài có x a b với x, a, b đều là thuộc tập hợp A nên ta có 
x a
x b
 do đó mỗi 
1,2,3, , 1k n ta có 1 2k i j k k kx x x x x x với 1 , .i j k 
• Áp dụng kết quả 1 2k i j k k kx x x x x x ta được 
2
1 1 2x ; 
3
2 2 4x ; 
4
8x ; 
5
16x ; 
6
32x ; 
7
64x , 
suy ra tập A phải có ít nhất 8 phần tử. 
• Giả sử 8n theo thứ tự giả sử ta suy ra được 8 100x . 
• Áp dụng các kiến thức trên, cùng cách tính toán giải phương trình bậc nhất. 
+ Vì 6 7 8 7 732 64 96 2 50.x x x x x 
+ Vì 5 6 7 6 616 32 48 2 25.x x x x x 
+ Vì 4 5 6 5 5
25
2
8 16 24 25 2x x x x x
(mâu thuẫn). 
• Vì A là tập hợp có ít nhất 8 phần tử mà xét trường hợp có 8 phần tử cho kết quả mâu 
thuẫn nên tập hợp A có ít nhất 9 phần tử. 
Với 9n theo thứ tự giả sử ta suy ra được 9 100x từ đó ta tìm được một tập hợp 
1,2,3,5,10,20,25,50,100 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Đáp số: 9n .