Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề 11: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

uông tại A, vẽ AH vuông góc với BC. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho. Kẻ . Chứng minh rằng 
Giải
* Tìm cách giải. Để chứng minh, chúng ta cần ghép chúng vào hai tam giác và chứng minh hai tam giác đó bằng nhau. Do vậy cần chứng minh . 
* Trình bày lời giải. 
 cân tại B nên (vì cùng vuông góc với AC) (so le trong) 
 (cạnh huyền - góc nhọn), suy ra .
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC (AB < AC), M là trung điểm của BC. Đường trung trực của BC cắt tia phân giác của góc BAC tại điểm P. Vẽ PH và PK lần lượt vuông góc với đường thẳng AB và đường thẳng AC.
a) Chứng minh PB = PC và BH = CK.
b) Chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng.
c) Gọi O là giao điểm của PA và HK.
Chứng minh 
Giải
a) và có , MP là cạnh chung
 (hai cạnh tương ứng)
b) và có , AP là cạnh chung
 (cạnh huyền - góc nhọn)
 (hai cạnh tương ứng)
và có 
 (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
 (hai cạnh tương ứng)
b) Kẻ (hai góc đồng vị) (1)
Mà (chứng minh trên) (hai cạnh tương ứng)
cân tại A (tính chất tam giác cân) (2)
Từ (1) và (2) hay 
 cân tại 
Mà (chứng minh trên) 
 và có 
 (c.g.c)
 (hai góc tương ứng)
Mà (hai góc kề bù)
 E, M, K thẳng hàng.
Mà H, M, K thẳng hàng.
c) và có là cạnh chung
, suy ra , mà hai góc này kề bù nên
 tại O.
Áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông tại O là OAH, OAK, OPH, OPK ta có:
 (vì và )
Mà tam giác PAH vuông tại H (định lý Py-ta-go)
C. Bài tập vận dụng
11.1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy D, E (D nằm giữa B và E) sao cho. Vẽ tại M, tại N. Gọi K là giao điểm của MD và NE. Chứng minh rằng:
a) 
b) 
11.2. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho. Kẻ tại H, kẻ tại K.
Chứng minh rằng:
a) 
b) 
c) 
11.3. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, AM là tia phân giác góc A. Kẻ MH vuông góc với AB; MK vuông góc với AC. Chứng minh rằng:
a) 
b) cân.
11.4. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho. Từ C kẻ . Chứng minh rằng:
a) Tam giác ...a có và có ;
 (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
c) 
 cân tại A 
 cân tại A 
. Vậy BC // HK.
11.3.
a) và có: ;
AM chung; 
 (cạnh huyền góc nhọn)
.
b) và có ;
 (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
 cân tại A.
11.4.
a) (c.g.c), suy ra AB = AD.	
 vuông tại A, có nên .
Tam giác ABD cân, có nên là tam giác đều.
b) 
 (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra CH = AE.
 cân tại vì nên DA = DC.
Suy ra hay . Do đó cân tại D, hai tam giác cân DAC và DEH có góc ở đỉnh 
.
11.5. 
a) và có:
 (Vì ) (giả thiết), BE: cạnh chung
Vậy (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
.
b) Từ câu a) suy ra , do đó BK là phân giác của góc ABC.
Vẽ .
Tam giác vuông KMC và tam giác vuông KHC có: (giả thiết); CK cạnh chung.
Do đó (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra (1)
Ta lại có (cạnh huyền – góc nhọn) nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Tam giác vuông AKH và tam giác vuông AKN có:
 cạnh chung.
Do đó (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
11.6. Kẻ 
 vuông cân tại A có nên dễ dàng suy ra (c.c.c), từ đó suy ra 
Ta có: 
 và có 
 (cạnh huyền – góc nhọn).
 và có , MK chung; MH = MI
 (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Vậy KM là tia phân giác 
11.7. Áp dụng ví dụ 10 chuyên đề 8, ta có: ME = MD
 cân tại M 
Mặt khác, ta có: (cùng phụ với góc HDF)
Ta có: 
11.8.
a) Từ A kẻ tại K và tại Q.
Hai tam giác vuông MAK và NCH có
 (cùng phụ với góc AMC)
 (1)
 và có AK = CH, , AB = CA
 và có AN = NC,
 (2)
Từ (1) và (2), suy ra: AK = AQ.
 và có chung
 là tia phân giác của góc KHQ 
Từ 
Tam giác AKH có nên nó vuông cân tại K suy ra KA = KH.
 hay cân tại B.
b) Dễ chứng minh được và 
Mà (góc đồng vị) vì .
Hay HM là tia phân giác góc BHE.