Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề 13: Chứng minh Ba điểm thẳng hàng

 và AC. Nếu K’ là trung điểm BD thì và A, K, C thẳng hàng.
(Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm).
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC).Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng. 
Giải
* Tìm cách giải. Muốn B, M, D thẳng hàng 
cần chứng minh Do
 nên cần chứng minh
* Trình bày lời giải
và có:
AB = DC (gt), 
MA = MC (M là trung điểm AC)
Do đó: (c.g.c), suy ra: 
Mà (kề bù) nên 
Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chứng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng. 
Giải
* Tìm cách giải. Chứng minh: CM // BD và CN // BD từ đó suy ra M, C, N thẳng hàng.
* Trình bày lời giải 
 và có OA = OC
(vì O là trung điểm AC)
 (hai góc đối đỉnh)
OD = OB 
(vì O là trung điểm BD)
Do đó (c.g.c)
Suy ra: . Mà hai góc ở vị tri so le trong,
do do: AD // BC, nên (ở vị trí đồng vị)
 và có: AD = BC (do), , AB = BM (B là trung điểm AM). Vậy (c.g.c). Suy ra .Do đó BD // CM. (1)
Lập luận tương tự ta được BD // CN. (2)
Từ (1) và (2), theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm BC.
a) Chứng minh. 
b) Vẽ hai đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm P và Q. Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
Giải
* Tìm cách giải. Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng, chúng ta có thể:
- Chứng minh AM, PM, QM cùng vuông góc BC
- Hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC.
* Trình bày lời giải
a) và có: AB =AC (giả thiết), AM chung, MB = MC (M là trung điểm BC)
Vậy (c.c.c), do đó (hai góc tương ứng).
Mà (hai góc kề bù) nên 
Do đó: (điều phải chứng minh).
b) Cách 1. Chứng minh tương tự ta được: (c.c.c).
Suy ra: (hai góc tương ứng), mà n...được ME = CN.
Gọi là giao điểm của BC và MN.
và có: 
(so le trong của ME //AC)
ME = CN (chứng minh trên), (so le trong của ME //AC).
Do đó: (g.c.g) 
Vậy là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên .
Do đó ba điểm B, K, C thẳng hàng.
- Lưu ý. Cả hai cách giải trên, có nhiều bạn chứng minh vô tình thừa nhận B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý lắm nhưng không biết là chưa chính xác.
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC cân ở A, Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho Vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng.
Giải
* Tìm cách giải. Chứng minh từ đó suy ra tia CA và tia CM trùng nhau. 
* Trình bày lời giải
Tam giác ABC cân ở A nên 
(tính chất của tam giác cân).
Mà CO là tia phân giác của ,
nên Do đó 
 đều nên 
Vậy: 
 và có: OB = OM (vì đều); 
OC chung, do đó: (c.g.c)
Suy ra: mà (gt) nên 
Hai tia CA và CM cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ CO và 
nên tia CA và tia CM trùng nhau. Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng. (đpcm).
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC vuông tại A và Vẽ tia và lấy CE = CA (CE và CA cùng phía với BC). Trên tia đối tia BC và lấy F sao cho BF = BA. Chứng minh rằng:
a) đều;
b) E, A, F thẳng hàng.
Giải
* Tìm cách giải. Nhận thấy tam giác 
ABC vuông tại A và nên
 đều.
Do đó muốn chứng tỏ B, A, F
thẳng hàng thì chúng ta chỉ cần
chứng tỏ 
* Trình bày lời giải.
a) ABC vuông tại A và nên 
mà CA = CB nên đều.
b) Ta có: BA = BF (gt) cân .
Suy ra: 
Vậy: 
Ta suy ra ba điểm F; A; E thẳng hàng.
C. Bài Tập vận dụng
13.1. Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho .
a) Chứng minh rằng AC = EB và AC // BE.
b) Gọi I là một điểm trên AC; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK.
Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng.
13.2. Cho cân tại A, có góc . Kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng:
a) 
b) 
c) AK là phân giác góc BAC.
d) Ba điểm A, K, I thẳng hàng (với I là trung...m D, E sao cho BD vuông góc và bằng BA, BE vuông góc và bằng BC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CE. Chứng minh A, D, M thẳng hàng. 
13.8. Cho vuông tại A, BC = 2AB. Gọi D là điểm trên cạnh AC sao cho . Lấy E là một điểm trên cạnh AB sao cho . BD và CE cắt nhau tại F; I và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ F đến BC và AC. Vẽ các điểm G và H sao cho I là trung điểm của FG, K là trung điểm của FH. Chứng minh rằng ba điểm H, D, G thẳng hàng.
13.9. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H; Dựng tam giác ACD đều (D và B nằm khác phía đối với AC). Kẻ HK vuông góc với AC tại K. Đường thẳng qua H và song song với AD cắt AB kéo dài tại M. Chứng minh rằng ba điểm M, K, D thẳng hàng.
HƯỚNG DẪN GIẢI
13.1.
a) và có MA = ME,	
 (c.g.c)
.
b) và có AM = EM;
 (c.g.c)
 mà 
 I, M, K thẳng hàng.
13.2.
a) và có ; BC là cạnh chung
 (cạnh huyền, góc nhọn)
b) 
 và có
 (góc nhọn, cạnh góc vuông) 
c) 
 và có ;
AI chung; KE = KD 
Hay AK là tia phân giác (1).
d) và có AB = AC; AI là cạnh chung; BI = CI
 (c.c.c)
 hay AI là tia phân giác của (2)
Từ (1) và (2) suy ra A; K; I thẳng hàng.
13.3.
a) và có AB = AE; ; AD là cạnh chung
 (c.g.c) .
Mặt khác nên .
Ta có .
 và có BF = CF;
 (c.g.c)
b) 
 mà 
 thẳng hàng.
c) Gọi H là giao điểm của AD và CF
 và có AF = AC; ; AH chung
 (c.g.c) mà 
Vậy hay 
13.4.
Gợi ý: Tính góc 
 mà BN;
BM thuộc cùng một nửa mặt phẳng
bờ AB nên tia BM trùng với tia BN.
Vậy B, M, N thẳng hàng.
13.5.
a) Ta có vuông tại M nên mà (vì )
Xét và có ;
 nên 
(cạnh huyền, góc nhọn) .
b) Chứng minh tương tự câu a, ta có:
 suy ra AH = EN. 
Xét và có ,
IM = IN, DM = DN (= AH), suy ra
 (c.g.c) .
Mặt khác 
Vậy D, I, E thẳng hàng.
13.6. và có: OB = OC (gt); OD cạnh chung;
BD = CD (D là giao điểm của hai đường tròn tâm B và tâm C cùng bán kính). Vậy (c.c.c), suy ra: .
Điểm D nằm trong góc xOy nên tia
OD nằm giữa hai tia Ox và Oy.
Do đó OD là tia phân giác của .
Chứng minh tương tự ta được OA là
tia