Đề thi HSG Lớp 9 cấp Thành phố môn Toán - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

ố n, n+1, n+2, , 2n với n nguyên dương. Chứng minh trong dãy có ít nhất một lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Họ tên thí sinh..........................................................................SBD:................................
HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2017-2018
MÔN: TOÁN LỚP 9 ( BẢNG A)
Câu
Nội Dung
Điểm
Bài 1
5 đ
a/
3đ
a/ Cho biểu thức 
Rút gọn M và tìm x để M>1
*
Vậy M= với 
*M<1
Ta có . Vậy M>1 khi 1<x<4 và x
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
b/
2 đ
b/Cho a, b, c >0 thỏa mãn . Tính H=
Vì nên 1+c=
Tương tự ta có 
Vậy H=
=
=
0,5
0,5
1,0
Bài 2
4,0đ
a/
2,0đ
Giải phương trình ĐK: 
Vì , theo côsi ta có 
Dấu = có khi
Vì , theo côsi ta có 
Dấu = có khi 
Vây ta có 
 Dấu = có khi 
Vậy x=1 là nghiệm phương trình 
0,5
0,5
0,5
0,5
b/
2,0đ
Tìm số thực x để 3 số là số nguyên
Đặt với 
Từ từ , nên ta có
-Nếu a+10, vì VL
Vậy a+1=0 nên ta có 
Với ta có và nguyên, thỏa mãn đầu bài
0,75
0,5
0,5
0,25
Bài 3
4,0 đ
a/
2,0đ
a/ Tìm x nguyên dương để là số chính phương
Vì là số chính phương, nên ta có =k2 với N
Ta có 4==nên ta có =
Đặt với d*
Ta có 
Ta lại có 
Vậy 
mà = nên ta có 
x+2 và là số chính phương với a,b*
Vì x>0 nên ta có 
Vì b lẻ nên 
Với x=2 ta có =100=102 là số chính phương
0,5
0,5
0,75
0,25
b/
2,0đ
 b/ Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . 
Chứng minh rằng: 
Từ Gt suy ra: . 
Nên ta có: 
Vậy . 
Tương tụ ta có ; 
Vậy ta có 
Ta có 
Nên
Vậy ; 
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
Bài 4
6 đ
a/
3đ
a/ Chứng minh OMOB=ONOC và MN luôn đi qua 1 điểm cố định
*Ta có (t/c tiếp tuyến) vuông tại H, mà HMOB (gt) nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 
Chưng minh tương tự ta có . Vậy ta có 
* Ta có mà OA=R nên ta có
Xét OMA và OAB có chung, có . Ta có AO=AB=R (gt) cân , vậy cân 
Chứng minh tương tự ta có cân 
Ta có ;, vậy MN là trung trự