Đề thi KS chọn đội tuyển HSG Lớp 9 lần 2 môn Toán - Trường THCS TT Thanh Ba (Có đáp án)

 sao cho DC = 3DB và EA = 2EC; AD cắt BE tại I. Tính diện tích tam giác BID.
Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hết
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
ý
Đáp án và hướng dẫn chấm
Điểm
1
a
ĐKXĐ: 
0.25đ
0.75đ
b
	(vì )
0.25đ
0.75đ
c
Vậy GTLN của A =
0.75đ
0.25đ
2
a
Đặt ta được phương trình:
y =<0 (loại); với y = 2 ta có
 hoặc (thỏa mãn phương trình đã cho)
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: , 
0,5 đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
b
Biến đổi 
Từ hệ ta có x – y > 0
Nhân hai vế của (1) với 17 và nhân hai vế của (2) ta được:
17(x – y)(x + y)2 = 9(x - y)(x2 + y2) 4x2 + 17xy + 4y2 = 0
Nếu y = 0 thì x = 0 không thỏa mãn hệ.
Nếu y 0 , chia hai vế của 4x2 + 17xy + 4y2 = 0 cho y2 
và đặt t = ta được PT: 4t2 +17t + 4 = 0 (t + 4)(4t + 1) = 0
 t = - 4 hoặc t = - 1/4
 x = - 4y hoặc y = - 4x
thay vào hệ phương trình trên được nghiệm của phương trình đã cho là: (x ; y) {(4;-1);(1;- 4)}
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
3
a
1đ
1đ
b
 là số chính phương nên A có dạng 
(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)
Vậy với n = 5 thì A là số chính phương
0.5đ
0.5đ
0.75đ
0.25đ
4
a
A
P
M
N
O
B
C
Gọi chu vi của tam giác ABC là PABC ta có:
= AB + BC + CA
 = AB + BP + PC + CA
 = (AB + BM) + (CN + CA)
 = AM + AN = 2AM
 (t/c 2 tt cắt nhau)
 = 
Vì A cố định nên OA = a không đổi vậy khi P di chuyển trên cung nhỏ MN thì chu vi tam giác ABC không đổi.
= 
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
b
A
B
C
D
E
I
Trình bày c/m: 
Trình bày c/m: 
Trình bày c/m: 
0.5đ
1.0đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
5
ĐK: x ≠ 0, y ≠ 0
Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là Q = – khi x2 = y2 = 1
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
Gi¶i: (Ph­¬ng ph¸p: Chøng minh duy nhÊt)
+ NÕu p = 3 th× p + 10 = 3 + 10 = 13
vµ p + 14 = 3 + 14 = 17 ®Òu lµ c¸c sè nguyªn tè
p = 3 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m
+ NÕu p ¹ 3 => p cã d¹ng 3k + 1 hoÆc d¹ng 3k – 1
* NÕu p = 3k + 1 th× p + 14 = 3k + 15