Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề 12: Vẽ hình phụ để giải toán

nh vẽ làm cho bài toán trở lên dễ chứng minh hơn.
2. Các loại đường phụ thường vẽ
- Kéo dài một đoạn thẳng cho trước với một độ dài tùy ý hoặc cắt một đường thẳng khác.
- Nối hai điểm cho trước hoặc cố định
- Từ một điểm cho trước dựng đuờng thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
- Dựng đường phân giác của một góc cho trước.
- Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khác một góc bằng một góc cho trước.
* Chú ý: Khi vẽ đường phụ phải có mục đích không vẽ tùy tiện.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A có Tia phân giác của góc B cắt AC tại D.
Chứng minh 
Giải
* Tìm cách giải. Đây là bài toán khó tuy nhiên nếu bạn biết lưu tâm đến giả thiết của bài toán và phương pháp kẻ đường phụ thì bài toàn trở nên đơn giản. Phân tích kết luận, chúng ta có hai hướng vẽ đường phụ cho bài toán này.
- Vì A, D, B không thẳng hàng, mà kết luận, do vậy chúng ta vẽ thêm hình phụ sao cho bằng một đoạn thẳng. Sau đó chứng minh đoạn thẳng đó bằng BC.
- Phân tích kết luận, chúng ta cũng có thể nghĩ tới việc tách BC thành tổng hai đoạn thẳng mà trong đó có một đoạn thẳng bằng BD (hoặc AD) và chứng minh đoạn thẳng còn lại bằng AD (hoặc BD).
Trong hai hướng suy nghĩ trên, chúng ta lưu ý đến giả thiết là tam giác cân và biết số đo góc để tính tất cả các góc có thể. 
* Trình bày lời giải
- Cách vẽ 1. Trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho.
 cân tại A có nên 
Ta có: (c.g.c),
Mà BD là tia phân giác của góc B nên 
Mặt khác: Từ đó ta có:
 (c.g.c) 
cân tại B 
Vậy 
- Cách vẽ 2. Trên tia BC lấy điểm M sao cho, lấy điểm N sao cho.
Ta có: (c.g.c) 
Do 
Mặt khác cân tại B nên 
Từ (1) (2) ta có: cân tại D 
nên (**)
Ta có: 
cân tại N, nên (***)
Từ (*)(**)(***) 
- Cách vẽ 3. Trên cạnh BC lấy điểm 
F sao cho trên cạnh AB 
lấy điểm K sao cho. Ta
sẽ chứng minh được tam giác BKD
cân tại K nên, mà 
nên do đó 
Vậy 
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D và E thuộc BC sao cho (... được dẫn tới cân tại O. Do đó nên nghĩ tới việc vận dụng vẽ thêm tam giác đều vào giải toán.
* Trình bày lời giải
Ta có: 
Vẽ tam giác đều BCM.
(M và A cũng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC)
Ta có: 
Gọi H là trung điểm của OB 
Mặt khác (gt) nên từ đó ta có 
Xét và có: (cmt) 
 (cạnh đều BMC)
Do đó (c.g.c) 
 và có, MH chung
.
Từ đó MB = MC, , OM là cạnh chung
Do đó 
Vậy cân tại O. (điều phải chứng minh)
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác BD. Trên tia BA lấy điểm E sao cho BE = 2CD. Chứng minh rằng 
Giải
* Tìm cách giải. Từ giả thiết BE = 2CD, gợi ý cho chúng ta vẽ trung điểm F của BE. Muốn chứng minh mà FB = FE, nên chúng ta chỉ cần chứng minh BF = FD = FE.
* Trình bày lời giải
- Cách 1. Gọi F là trung điểm của BE thì FB = CD (cùng bằng ). Mà AB = AC (tam giác ABC cân tại A) nên AF = AD. Suy ra tam giác AFD cân tại A.
Từ đó (cùng bằng ).
Suy ra DF // BC (hai góc đồng vị bằng nhau), 
nên (cùng bằng ). Điều này
dẫn đến tam giác FBD cân tại F, hay
Tam giác BDE có F là trung điểm cạnh BE và nên tam giác BDE vuông tại D hay (điều phải chứng minh).
- Cách 2. Từ D kẻ Suy ra (so le trong)
 cân tại 
Mặt khác, và cân tại A, suy ra AF = AD, AB = AC
BF = CD.
Từ đó suy ra BF = FD = FE tam giác BDE vuông tại D hay (điều phải chứng minh).
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC (AB < AC),
kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi 
M là trung điểm của BC. Biết rằng
AH và AM chia góc A thành 3 góc 
bằng nhau. Chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC vuông. 
b) Tam giác ABM là tam giác đều.
Giải
* Tìm cách giải. Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy ra và suy ra.
* Trình bày lời giải.
a) Vẽ MI vuông góc với AC. 
 và có, AM là cạnh chung, 
và có AH là cạnh chung,
Vậy Tam giác ABC vuông tại A.
b) Ta có tam giác ABM cân có một góc bằng tam giác ABM đều.
* Nhận xét: Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như rất khó giải, tuy nhiên,...của cạnh AC lấy điểm E sao Cho BD = CE. Gọi F là giao điểm của DE và BC. Chứng minh DF = FE
12.2. Cho có Trên tia đối của tia CB lấy D sao cho CD = 2.CB. Tính 
12.3. Ở trong góc nhọn vẽ Oz sao cho . Qua điểm A thuộc Oy vẽ AH vuông góc Ox cắt Oz ở B. Trên tia Bz lấy D sao cho BD = OA. Chứng minh tam giác AOD cân.
12.4. Cho có . Tia phân giác góc ACB cắt AB tại M. Trên MC lấy điểm N sao cho . Chứng minh rằng: 
12.5. Cho tam giác đều ABC. Trên tia đối của tia CB, lấy điểm D sao cho . Đường vuông góc với BC tại C cắt AD ở E. Tia phân giác của góc B cắt AD ở K. Chứng minh rằng AK = ED.
12.6. Cho tam giác ABC với trung điểm M của BC. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đường thẳng AB kẻ đoạn thẳng AE vuông góc với AB sao cho AB = AE. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đường thẳng AC kẻ đoạn thẳng AF = AC và AF vuông góc với AC. Chứng minh rằng và .
12.7. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi E là trung điểm của cạnh AC. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC tại D. Chứng minh rằng AD = 2ED.
12.8. Về phía ngoài của tam giác ABC, dựng tam giác XBC cân tại X có góc BXC bằng và các tam giác YCA, ZAB đều. Chứng minh XA vuông góc với YZ.
12.9. Cho tam giác ABC vuông tại A và .Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng AM và đường phân giác trong CD của tam giác cắt nhau tại E. Chứng minh rằng CE = AB.
12.10. Cho vuông tại A, AB < AC. Vẽ AH vuông góc với BC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Gọi I là trung điểm của BD. Chứng minh rằng 
HƯỚNG DẪN GIẢI
12.1. Cách 1. Từ D kẻ suy ra , mà 
 cân tại D 
 và có 
Suy ra 
- Cách 2. Từ E kẻ 
, mà 
 cân tại E 
 và có,
Suy ra 
- Cách 3. Hạ 
và có ,
BD = CE, 
Suy ra (cạnh huyền, góc nhọn)
 DH = EK. 
 và có ,
DH = KE, 
Suy ra 
Tóm lại: Chứng minh DF = EF dựa vào cặp tam giác bằng nhau, do đó cần tạo ra cặp tam giác bằng nhau.
12.2. Tìm cách giải. Dễ thấy mà CD = 2.BC nên ta nghĩ tới tam giác vuông có góc nhọn .
Ta hạ 
Dễ thấy và cân tại E
 cân tại E.
Từ đó tính được:
12.3. Đặt 
Lấy điểm E trên