Ôn tập Toán 9 - Chuyên đề 9: Tam giác cân

một tam giác cân, nếu biết một góc thì tính được hai góc còn lại. Chẳng hạn: nếu cân tại A thì hoặc .
* Trình bày lời giải.
 cân tại A nên .
 cân tại A nên .
Ta có .
Ví dụ 2:
a) Một tam giác cân có một góc là . Số đo của hai góc còn lại là bao nhiêu?
b) Một tam giác cân có một góc là . Số đo của hai góc còn lại là bao nhiêu?
Giải
a) Nếu góc ở đỉnh tam giác cân là , thì mỗi góc ở đáy tam giác cân là .
- Nếu mỗi góc ở đáy tam giác cân là , thì góc ở đỉnh tam giác cân là .
b) Nếu góc ở đáy tam giác cân là , thì tổng hai góc ở đáy là (không xảy ra).
Do đó góc ở đỉnh tam giác cân là , thì mỗi góc ở đáy tam giác cân là .
* Nhận xét. Bài toán này dễ bỏ sót các trường hợp. Khi đề bài chưa cho cụ thể số đo đó là số đo góc ở đỉnh hay ở đáy, ta cần xét hai trường hợp.
Ví dụ 3: Cho hình vẽ bên. Biết ; và . Tính số đo .
Giải
* Tìm cách giải. Bài toán xuất hiện nhiều tam giác cân, nên có nhiều góc bằng nhau. Để lời giải giản đơn, không bị nhầm lẫn, chúng ta nên đặt góc nhỏ nhất trong hình vẽ là x. Sau đó biểu diễn các góc khác theo x. Trong quá trình giải, lưu ý tính chất góc của tam giác cân và tính chất góc ngoài của tam giác.
* Trình bày lời giải.
 cân tại D. Đặt .
 có (góc ngoài tam giác).
 cân tại E nên .
 có: (góc ngoài tam giác)
 cân tại C nên .
 cân tại A nên .
 có .
Suy ra .
Do đó: .
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm E sao cho . Trên tia BE lấy điểm M sao cho . So sánh và .
Giải
* Cách 1. Trên tia BE lấy điểm K sao cho cân tại B
 cân tại C ; 
Mà 
, suy ra .
* Cách 2. Kẻ 
Gọi MH cắt tia phân giác tại I.
Ta có: 
mà (so le trong).
 có cân .
Từ đó suy ra 
 cân tại I, mà 
nên dễ có 
 cân tại C suy ra .
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao điểm của CD và BE, K là giao điểm của AB và DC.
a) Chứng minh rằng: .
b) Chứng minh rằng: .
c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng đều.
d) Chứng minh rằng .
e) Chứng m...c DAB vuông cân tại D; điểm E (khác A) không thuộc đoạn AD. Đường thẳng qua E, vuông góc với BE cắt AC tại F. Chứng minh rằng .
Giải
* Tìm cách giải. Để chứng minh , thông thường chúng ta nghĩ tới việc ghép vào hai tam giác, sau đó chứng minh hai tam giác bằng nhau. Tuy nhiên, với hình vẽ chúng ta chưa thể ghép được. Phân tích đề bài, chúng ta có nhiều góc vuông, góc cũng như cặp cạnh bằng nhau , . Với sự phân tích trên, chúng ta nghĩ tới việc kẻ thêm đường phụ nhằm kết hợp được giả thiết với nhau cũng như ghép EF và EB là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. Từ đó chúng ta có hai hướng giải sau:
· Cách 1. Có thể EF ghép vào có nên cần ghép EB vào tam giác có góc đối diện với nó cũng bằng . Khai thác yếu tố tam giác vuông cân ADB, ta lấy điểm K trên BD sao cho vuông cân.
· Cách 2. Nhận thấy , tia AD là tia phân giác góc ngoài đỉnh A của , nên có thể kẻ EM, EN vuông góc với các đường thẳng AC, AB. Dễ chứng minh được . Từ đó cũng có lời giải.
* Trình bày lời giải.
- Cách 1. Trên đoạn BD lấy điểm K sao cho . Vì tam giác DAB vuông cân tại D nên vuông cân tại D, suy ra , do đó: ;
Mà ,
Nên 
Mặt khác, (do )
Từ (1), (2), (3) suy ra: 
Từ đó .
- Cách 2. Vẽ EM, EN vuông góc với các đường thẳng AC, AB.
vàcó:; ; AE là cạnh chung
 (cạnh huyền – góc nhọn)
.
Mặt khác, và là tam giác vuông cân, suy ra .
 và có: ; ; 
 (cạnh huyền – góc nhọn) .
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, có . Chứng minh rằng .
Giải
* Tìm cách giải. Từ đề bài, suy ra được. Gợi cho chúng ta liên tưởng tới góc của tam giác đều. Phân tích kết luận , dễ dàng cho chúng ta hai hướng suy luận:
· Hướng 1. Tạo ra một đoạn thẳng bằng , sau đó chứng minh đoạn thẳng ấy bằng BC. Chú ý , nên chúng ta dựng điểm D trên tia CA sao cho , sau đó chứng minh . Bài toán được giải quyết.
· Hướng 2. Tạo ra một đoạn thẳng bằng , sau đó chứng minh đoạn thẳng ấy bằng AC. Chú ý , nên chúng ta gọi trung điểm M của BC. Sau đó chứng minh . Bài toán được giải quyết.
* Trình bày lời giải.
· Cách 1. Dựng đ...và E. Biết rằng . Tính số đo .
9.4. Cho tam giác ABC có đường phân giác góc A cắt BC tại D. Biết rằng ; . Tính số đo góc . 
9.5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy hai điểm M và N sao cho ; . Tính góc MAN.
9.6. Cho tam giác ABC nhọn. Lấy D thuộc AC sao cho , lấy điểm E thuộc AB sao cho . Gọi F là giao điểm của BD và CE. Biết . Tính số đo góc .
9.7. Tìm x trong hình vẽ sau:
9.8. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho .
a) Chứng minh rằng tam giác ADE là tam giác cân.
b) Kẻ , kẻ . Chứng minh rằng .
c) Gọi O là giao điểm của BH và CK. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao?
9.9. Cho tam giác ABC có . Kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC). Trên tia đối BA lấy . Đường thẳng EH cắt AC tại F. Chứng minh: 
a) .
b) .
9.10. Cho tam giác , đường cao AH. Kẻ HI vuông góc với AB, kẻ HK vuông góc với AC. Gọi E; F lần lượt là điểm sao cho I; K lần lượt là trung điểm của HE và HF. Đường thẳng EF cắt AB; AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:
a) ;
b) HA là phân giác của .
9.11. Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa A và B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tam giác đều ACD và BCE. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE và BD. Chứng minh rằng:
a) .
b) .
c) Tam giác MNC là tam giác đều.
9.12. Cho tam giác LMN có 3 góc đều nhọn. Dựng ra phía ngoài tam giác ấy ba tam giác đều LMA; MNB và NLC. Chứng minh rằng: .
9.13. Cho góc . Oy là tia phân giác ; Ot là tia phân giác của . M là điểm miền trong góc yOz. Vẽ MA vuông góc Ox, MB vuông góc Oy, MC vuông góc Ot. Chứng minh rằng: .
9.14. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho . Các đường thẳng vuông góc kẻ từ A và E với CD cắt BC ở G và H. Đường thẳng EH và đường thẳng AB cắt nhau ở M. Đường thẳng kẻ từ A song song với BC cắt MH ở I. Chứng minh rằng:
a) ;
b) ;
c) .
9.15. Cho tam giác ABC với . Trên tia phân giác của góc ABC lấy điểm N sao cho . Hãy so sánh độ dài của CN và CA.
9.16. Cho c