Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

hỏi rất nhiều và bền bỉ. Đối với
giáo viên: Làm thế nào để trang bị cho các em đầy đủ kiến thức? Đó là câu
hỏi mà giáo viên nào cũng phải đặt ra cho bản thân.
Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tôi cũng rất chú ý đến phân
tích ra thừa số, thành nhân tử, nó phục vụ cho các bài toán rút gọn hay giải
phương trình tích
Với ý nghĩa đó tôi đã thực hiện nghiên cứu SKKN với đề tài ''Một số
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử''.
2PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1- Cơ sở lý luận của vấn đề:
Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục trong giai đoạn hiện nay (thế kỷ 21) là
phải đào tạo ra con người có trí tuệ phát triển, giầu tính sáng tạo và có tính
nhân văn cao. Để đào tạo ra lớp người như vậy thì từ nghị quyết TW 4 khoá
7 năm 1993 đã xác định ''Phải áp dụng phương pháp dạy học hiện đại để
bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn
đề". Nghị quyết TW 2 khoá 8 tiếp tục khẳng định "Phải đổi mới giáo dục
đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nề nếp tư duy
sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến,
phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên
cứu cho học sinh''.
Định hướng này đã được pháp chế hoá trong luật giáo dục điều 24 mục
II đã nêu ''Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự
giác chủ động sáng tạo của học sinh, phải phù hợp với đặc điểm của từng
môn học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến
tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh"
2- Thực trạng của vấn đề:
Trong chương trình Giáo dục phổ thông của nước ta hiện nay nhìn chung
tất cả các môn học đều cho chúng ta tiếp cận với khoa học hiện đại và khoa
học ứng dụng. Đặc biệt bộ môn toán, các em được tiếp thu kiến thức xây
dựng trên tinh thần toán học hiện đại. Trong đó có nội dung xuyên suốt quá
trình học tập của các em đó là phân tích ra thừa số (hay nhân tử). Ngay từ khi
cắp sách đến trường các em đã được làm quen với phân t...ệt của bài
toán.
Trong quá trình giảng dạy toán tại trường THCS tôi thấy dạng toán
phân tích thành nhân tử luôn luôn là một trong những dạng toán cơ bản.
Dạng toán này không thể thiếu được trong các bài kiểm tra định kỳ, học kỳ
môn toán lớp 8, lớp 9, cũng như trong các bài thi tốt nghiệp trước đây, nó
chiếm từ 2,5 điểm đến 3 điểm nhưng đại đa số học sinh bị “mất điểm” ở bài
này do không nắm chắc cách giải chúng, cũng có những học sinh biết cách
làm nhưng cách chọn phương pháp chưa tối ưu.
Vì vậy, nhiệm vụ của người giáo viên phải rèn cho học sinh kỹ năng
giải các loại bài tập này tránh những sai lầm của học sinh hay mắc phải. Do
đó, khi hướng dẫn học sinh giải loại toán này phải dựa trên quy tắc chung là:
4Yêu cầu về giải bài toán, quy tắc giải bài toán, phân loại các bài toán dựa vào
các dạng để từ đó khi gặp là biết vận dụng đúng phương pháp.
Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở
trường phổ thông tôi đã mạnh dạn viết đề tài ''Một số phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử'' dành cho học sinh lớp 8, lớp 9 ở trường THCS.
3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:
Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ phân tích đa thức thành
nhân tử là gì và ngoài giải những bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử thì
những dạng bài tập nào được vận dụng nó và vận dụng nó như thế nào ?
- Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức đã cho thành
một tích của các đa thức, đơn thức khác.
- Phân tích đa thức thành nhân tử là bài toán đầu tiên của rất nhiều bài toán
khác. Ví dụ:
+ Bài toán chứng minh chia hết.
+ Rút gọn biểu thức
+ Giải phương trình bậc cao
+ Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất...
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
1- Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm, tách,
thêm, bớt hạng tử.
Ví dụ 1: x4 + 5x3 +15x - 9
Đa thức đã cho có 4 số hạng không thể đặt ngay nhân tử chung hoặc áp dụng
ngay các hằng đẳng thức, vì vậy ta nghĩ tới cách nhóm các số hạng ... hai số hạng để đa thức trở thành 4 số hạng thì có thể nhóm các hạng tử để
xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện các hằng đẳng thức ... Từ đó có nhiều
khả năng biến đổi đa thức đã cho thành tích.
Cách 1: x2 + 6x + 8 = x2 + 2x + 4x + 8
= x (x+2) + 4 (x+2) = (x+2) (x+4)
Cách 2: x2 + 6x + 9 - 1 = (x+3)2 - 1
= (x + 3 - 1) (x+ 3 +1) = (x+2) (x+4)
Cách 3: x2 - 4 + 6x + 12 = (x-2) (x+2) + 6 (x+2)
= (x+2) (x+4)
Cách 4: x2 + 6x + 8 = x2 - 16 + 6x + 24
= (x - 4) (x + 4) + 6 (x + 4) = (x + 4) (x - 4 + 6) = (x+2) (x+4).
Ví dụ 4: x3 - 7x - 6
Ta có thể tách như sau:
Cách 1: x3 - 7x - 6 = x3 - x - 6x - 6 = x (x2 - 1) - 6 (x + 1)
= x (x - 1) (x + 1) - 6 (x + 1) = (x + 1) (x2 - x - 6)
= (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x +1) [ x (x - 3) + 2 (x - 3)]
6= (x + 1) (x + 2) (x - 3)
Cách 2: x3 - 7x - 6 = x3 - 4x - 3x - 6 = x (x2 - 4) - 3 (x + 2)
= x (x - 2) (x + 2) - 3 (x + 2) = (x + 2) (x2 - 2x - 3)
= (x + 2) (x2 - 3x + x - 3) = (x + 2) (x - 3) (x + 1)
Cách 3: x3 - 7x - 6 = x3 - 27 - 7x + 21 = (x - 3) (x2 + 3x + 9 - 7)
= (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x2 + x + 2x + 2)
= (x - 3) (x + 2) (x + 1)
Cách 4: x3 - 7x - 6 = x3 + 1 - 7x - 7 = (x + 1) (x2 - x + 1) - 7 (x + 1)
= (x + 1) (x2 - x + 1 - 7)
= (x + 1) (x2 - x - 6) = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6)
= (x + 1) (x + 2) (x - 3)
Cách 5: x3 - 7x - 6 = x3 + 8 - 7x - 14 = (x + 2) (x2 - 2x + 4 - 7)
= (x + 2) (x2- 2x - 3) = (x + 2) (x2 + x - 3x - 3)
= (x + 2) (x + 1) (x - 3)
Cách 6: x3 - 7x - 6 = x3 - 9x + 2x - 6 = x (x - 3) (x + 3) + 2 (x - 3)
= (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x + 1) (x + 2).
Chú ý: Cần lưu ý học sinh khi phân tích đa thức này phải triệt để, tức là kết
quả cuối cùng không thể phân tích được nữa. Tất nhiên yêu cầu trên chỉ có tính
chất tương đối vì nó còn phụ thuộc tập hợp số mà ta đang xét. Nếu phân tích
không triệt để học sinh có thể gặp tình huống là mỗi cách phân tích có thể có
một kết quả khác nhau. Chẳng hạn ở bài tập trên cách 1, cách 4 có thể cho ta
kết quả là:
x3 - 7x - 6 = (x + 1) (x2 - x