Chuyên đề Một số bài toán có nội dung hình học

ỉnh là A, B, C, D; có 4 cạnh là AB, BC, CD, AD; có 4 góc là góc A, góc B, góc C và góc D. 
A 
B 
C 
D 
 Hình chữ nhật ABCD có hai chiều dài AD và BC bằng nhau và song song với nhau ; hai chiều rộng AB và CD bằng nhau và song song với nhau . 
A 
B 
C 
D 
 - Hình vuông là hình chữ nhật có 4 cạnh bằng nhau . 
 - Hình vuông ABCD có 4 cạnh AB, BC, CD và AD đều bằng nhau . 
A 
B 
C 
D 
6 . Hình vuông là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc vuông . 
7. Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song . 
 - Hình thang ABCD có hai cạnh AD và BC song song , AD là đáy nhỏ , BC là đáy lớn , AB và DC là các cạnh bên . 
A 
B 
D 
C 
 - Hình thang ABCD có các góc A, góc B vuông là hình thang vuông . 
A 
B 
D 
C 
 8. Hình bình hành là tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song và bằng nhau . 
 - Hình bình hành ABCD có hai cạnh AB và CD song song với nhau và bằng nhau , hai cạnh AD và BC song song và bằng nhau . 
A 
B 
D 
C 
9. Hình thoi ABCD có : AB = BC 
= CD = AD, hai đường chéo AC và 
BD vuông góc với nhau . 
A 
B 
C 
D 
10. Điểm O là tâm của hình tròn . Đường bao quanh hình tròn gọi là đường tròn . 
 Đoạn thẳng nối tâm O với một điểm nằm trên đường tròn gọi là bán kính . Các bán kính của đường tròn đều bằng nhau , các đoạn OA, OB, OM là các bán kính . 
 Đoạn thẳng nối 2 điểm trên đường tròn và đi qua tâm gọi là đường kính , đoạn AB gọi là đường kính . 
O 
M 
B 
A 
 Ví dụ 1 . Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Hỏi khi nối 5 điểm đó với nhau ta được bao nhiêu đoạn thẳng ? 
Giải : 
- Có 4 đoạn thẳng chung đầu mút A là : AB; AC; AD, AE. 
- Có 3 đoạn thẳng chung đầu mút B là : BC; BD; BE. 
- Có 2 đoạn thẳng chung đầu mút C là:CD , CE. 
- Có 1 đoạn thẳng chung đầu mút D là : DE 
Vậy số đoạn thẳng có được khi nối 5 điểm A, B, C, D, E là : 
4 + 3 + 2 + 1 = 10(đoạn) 
 Đáp số : 10 đoạn thẳng . 
 Ví dụ 2 . Cho tam giác ABC, trên cạnh BC ta lấy 4 điểm D, E, M, N. Nối đỉnh A với 4 điểm vừa lấy . Hỏi đếm được bao nhiêu tam giác trên hình vẽ ? 
Giải : 
Các...(3) 
(4) 
(5) 
Cách 3: 
 Ta nhận xét : 
Nối 2 đầu mút của mỗi đoạn thẳng tạo thành trên cạnh đáy BC với đỉnh A ta được một tam giác . Vậy số tam giác đếm được trên hình vẽ bằng số đoạn thẳng trên cạnh đáy BC. Trên cạnh đáy BC có tất cả 6 điểm B, C, D, E, M và N. 
 Áp dụng kết quả trong ví dụ 1 ( phương pháp quy nạp ) ta có số đọan thẳng đếm được là : 
 6 x (6 – 1) : 2 = 15 ( đoạn thẳng ). 
 Vậy ta đếm được 15 tam giác trên hình vẽ . 
A 
B 
C 
D 
E 
M 
N 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
Cách 4. ( Phương pháp quy nạp ) 
Ta nhận xét : 
 - Có 3 tam giác đơn là : (1), (2), (3). 
 - Có 2 tam giác ghép đôi là : (1) +(2), (2) +(3). 
 - Có 1 tam giác ghép 3 là : (1) + (2) + (3). 
 Tổng số tam giác đếm được là : 
 3 + 2 + 1 = 6 (tam giác ) 
A 
B 
C 
D 
E 
(1) 
(2) 
(3) 
* Nếu trên BC, ta lấy 2 điểm và nối với đỉnh A thì ta đếm được : 
 - Có 2 tam giác đơn là : (1), (2). 
 - Có 1 tam giác ghép đôi là : (1) + (2). 
 Tổng số tam giác đếm được là : 
 2 + 1 = 3 (tam giác ) 
A 
B 
C 
D 
(1) 
(2) 
 * Nếu trên cạnh BC, lấy 1 điểm và nối với điểm A thì ta đếm được : 
 Vậy quy luật ở đây là : Nếu trên cạnh đáy BC ta lấy n điểm và nối chúng với đỉnh A thì ta sẽ đếm được (n + 1) tam giác đơn và số tam giác đếm được là : 
 1 + 2 + 3 ++ (n + 1) = (n + 2) x (n +1) : 2 (tam giác ) 
 Áp dụng : 
 Trên cạnh đáy BC lấy 4 điểm thì số tam giác đơn đếm được là 5 và số tam giác đếm được là : 
 (4 + 2) x (4 + 1) : 2 = 15 (tam giác ) 
 Ví dụ 2 . Cần ít nhất bao nhiêu điểm để khi nối chúng lại ta được 6 đoạn thẳng ? 
Giải : 
Ta nhận xét : 
 - Nếu có 3 điểm thì khi nối chúng lại ta được 3 đoạn thẳng . 
 - Nếu có 4 điểm thì khi nối chúng lại ta được : 
 4 x (4 – 1) : 2 = 6 ( đoạn thẳng ) 
 Vậy để nối lại được 6 đoạn thẳng ta cần ít nhất 4 điểm . 
 Bài 1 . Cho 6 điểm phân biệt . Hỏi khi nối chúng lại với nhau ta được bao nhiêu đoạn thẳng ? ( Đs : 15 đoạn thẳng ). 
 Bài 2 . Cần ít nhất bao nhiêu điểm để khi nối chúng lại ta được 10 đoạn thẳng ? ( Đs : 5...hóm 2. Các bài toán về cắt và ghép hình 
Loại 1. Các bài toán về cắt hình 
Loại 2. Các bài toán về ghép hình 
Loại 3. Các bài toán về cắt và ghép hình 
 Cơ sở để thực hiện các bài toán này là dựa vào tính chất sau : Tổng diện tích của hình cắt ra bằng diện tích của hình ban đầu . 
 Ta thường gặp ở hai dạng sau : 
 + Dạng 1 : Cắt một hình cho trước thành các hình nhỏ có kích thước và hình dạng cho trước . 
 + Dạng 2 : Cắt một hình cho trước thành các hình nhỏ có hình dạng tùy ý. 
Loại 1. Các bài toán về cắt hình 
 Dạng 1 : Cắt một hình cho trước thành các hình nhỏ có kích thước và hình dạng cho trước . 
 Ví dụ : Cho một mảnh bìa hình tam giác . Hãy cắt mảnh bìa đó thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau . 
Giải : 
 Cách 1: Trên cạnh BC ta lấy điểm I sao cho BI = IC. Nối AI rồi dùng kéo cắt theo chiều mũi tên . Ta có : S ABI = S AIC ( vì chung đường cao hạ từ A và đáy BI = CD). 
A 
B 
I 
C 
N 
 Tương tự , ta có 2 cách sau : 
A 
B 
C 
M 
A 
B 
C 
 Dạng 2: Cắt một hình cho trước thành các hình 
 nhỏ có hình dạng tùy ý. 
 Ví dụ : Cho một mảnh bìa hình tam giác . Hãy cắt mảnh bìa đó thành 4 mảnh bìa có diện tích bằng nhau . 
Giải : 
 Lấy điểm M bất kì trên cạnh đáy BC. Chia đoạn AM thành 4 phần bằng nhau rồi cắt theo các đường nối từ B và C đến các điểm chia như hình vẽ . 
 Bài toán có vô số cách giải . 
A 
B 
C 
M 
BÀI TẬP 
 Bài 1 . Cho một mảnh bìa hình chữ nhật . Hãy cắt mảnh bìa đó thành 4 mảnh bìa hình tam giác có diện tích bằng nhau . Hãy giải bài toán bằng 12 cách khác nhau . 
 Bài 2 . Cho một mảnh bìa hình tam giác . Hãy cắt mảnh bìa đó thành mảnh bìa hình tam giác sao cho diện tích mảnh này gấp 3 lần mảnh kia . 
 Bài 3. Cho một mảnh bìa hình tứ giác . Hãy cắt mảnh bìa đó thành 3 mảnh bìa có diện tích bằng nhau . 
 Bài 4 . Cho mảnh bìa hình chữ nhật có chiều dài bằng 36cm và chiều rộng bằng 18cm. Từ đỉnh A hãy dùng 2 nhát cắt để chia mảnh bìa đó thành 3 mảnh có diện tích bằng nhau . 
Loại 2. Các bài toán về ghép hình 
 Cơ